资源简介

5.1导数的概念及其意义
1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.
2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
一、平均速度与瞬时速度
（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度
（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即
二、割线的斜率和切线的斜率
（1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率.
（2）切线与切线的斜率
①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.
三、导数
（1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率
（2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.
（3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即.
（4）导函数
当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.
说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢.
②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值.
四、求切线方程
1.求曲线“在”点处的切线方程：
第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2.求曲线“过”点处的切线方程
第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
考点01平均变化率（平均速度）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
4．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A． B．
C． D．
5．路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；
(2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.
6．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
考点02瞬时变化率（瞬时速度）
7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
8．一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（ ）
A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s
9．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
11．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
12．某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系.
(1)当，时，求与的值；
(2)求当时的瞬时速度.
考点03导数的定义
13．若函数的满足，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
14．若可导函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
16．若是函数的导数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
17．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 .
19．已知，用割线逼近切线的方法可以求得 .
考点04利用导数的定义求切线斜率
20．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
21．设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
22．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
24．函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为 ．
25．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为 .
26．求函数的图象上点处切线的斜率．
考点05求切线方程
27．曲线在点处的切线方程为 .
28．求曲线上点处的切线方程．
29．（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求函数在点处的切线方程．
30．已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
31．已知曲线
(1)求过的点的切线方程；
(2)（1）中以为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？
32．已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
33．已知函数f(x)＝x3.
（1）求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程；
（2）若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程．
考点06已知切线(斜率)求其他
34．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
35．（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　）
A． B．
C． D．
36．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
37．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ．
38．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝ .
39．若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝ .
40．若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，求的最小值．
基础过关练
1．设函数在处可导，若，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
3．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5．（多选）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
6．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是 ．
①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ， ．

9．已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 .
10．（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；
（2）已知函数，求在区间上的平均变化率．
11．正方形的边长变化时，其面积关于的变化率是正方形周长的多少倍？
12．求双曲线在点处的切线方程．
能力提升练
1．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
2．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
3．校考期中）①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（多选）下列有关导数的说法，正确的是（ ）.
A．就是曲线在点处的切线的斜率
B．与的意义是一样的
C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度
5．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是 .
6．已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ．
7．已知函数f(x)＝求的值．
8．若函数，求其图象在与轴交点处的切线方程．5.1导数的概念及其意义
1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.
2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
一、平均速度与瞬时速度
（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度
（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即
二、割线的斜率和切线的斜率
（1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率.
（2）切线与切线的斜率
①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.
三、导数
（1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率
（2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.
（3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即.
（4）导函数
当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.
说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢.
②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值.
四、求切线方程
1.求曲线“在”点处的切线方程：
第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2.求曲线“过”点处的切线方程
第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
考点01平均变化率（平均速度）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据平均变化率的计算即可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为，
故选：A
2．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.
【详解】当时，位移为，
当时，位移为，
在这段时间里，该物体的平均速度为：．
故选：A.
3．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
【答案】2
【分析】利用平均变化率公式直接求解即可.
【详解】由题意得，
所以，或（舍去）．
故答案为：2
4．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A． B．
C． D．
【答案】容器（1）对应B，容器（2）对应A，容器（3）对应D，容器（4）对应C.
【分析】根据容器的形状判断水面高度h随时间t的变化率的变化趋势，即可确定对应函数图象.
【详解】由于单位时间内注入水的体积相同，
容器（1）水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，即为B；
容器（2）水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，即为A；
容器（3）水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，即为D；
容器（4）水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，即为C；
故答案为：（1）对应B；（2）对应A；（3）对应D；（4）对应C.
5．路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；
(2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.
【答案】(1)；
(2)0.35 m/s.
【分析】（1）根据题设，利用相似比，列方程即可得关系式；
（2）根据（1）所得关系，分别求出区间内对应自变量、函数值的增量，即可得平均变化率.
【详解】（1）如题图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m，
由于，则，即，所以.
（2）设人离开C点的时间为t s，而，而，所以.
在内自变量的增量为，
函数值的增量为，
所以.
即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为 m/s.
6．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据体积公式，求解出.
（2）根据平均变化率的定义代入求解即可；
【详解】（1）∵
∴，
∴，即.
（2）函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为≈0.16(dm/L).
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢.
考点02瞬时变化率（瞬时速度）
7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据瞬时速度的定义直接求解即可．
【详解】运动员在时的瞬时速度即为，令，
根据导数的定义，
，
所以，
故运动员在时的瞬时速度为.
故选：A．
8．一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（ ）
A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s
【答案】B
【分析】根据导数的知识求得正确答案.
【详解】由于，
所以该物体开始运动后第2s时的速度是m/s.
故选：B
9．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
【答案】80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的物理定义，对函数求导代入即可求解；
【详解】由，得：，所以时体积关于半径的瞬时变化率为;
故选：D.
11．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
【答案】
【分析】计算出，代入即可求解.
【详解】运动方程为，
因为
所以，
所以，
由题意知，，s，
所以，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为.
12．某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系.
(1)当，时，求与的值；
(2)求当时的瞬时速度.
【答案】(1)，
(2)210 m/s
【分析】（1）代入计算出，进而计算出；
（2）在（1）的基础上得到，进而得到赛车在时的瞬时速度.
【详解】（1）
;
（2）由（1）可知，
当趋于0时，趋于210，
所以赛车在时的瞬时速度为210 m/s.
考点03导数的定义
13．若函数的满足，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】由极限的定义化简即可求出答案.
【详解】因为，
所以
故选：D
14．若可导函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数定义可直接得到结果.
【详解】由导数的定义知：.
故选：C.
15．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解.
【详解】由函数，
则，
所以，解得.
故选：B.
16．若是函数的导数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据导数值的定义，将待求表达式转化成和有关的形式后计算.
【详解】根据导数值的定义，
.
故选：A
17．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义可求得所求极限的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故选：A.
18．已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 .
【答案】/
【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值.
【详解】依题意，
即，解得.
故答案为：
19．已知，用割线逼近切线的方法可以求得 .
【答案】
【分析】根据导数的定义直接计算即可
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
考点04利用导数的定义求切线斜率
20．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
21．设为可导函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解.
【详解】解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
22．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为，
，
所以斜率，
．
故选：C
23．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．
【答案】2
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【详解】，故.
故答案为：2
24．函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为 ．
【答案】135°/
【分析】利用导数的极限定义求解
【详解】，即函数的图象在点处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角．
故答案为：135°
25．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为 .
【答案】2
【分析】根据导数的定义，代入化简，即可得答案.
【详解】根据导数的定义可得：
故答案为： 2
26．求函数的图象上点处切线的斜率．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义以及导数的定义，即可求解.
【详解】根据点在抛物线上，所以，
由导数的定义可知，
，
所以函数的图象上点处切线的斜率为.
考点05求切线方程
27．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据切点和斜率来求得切线方程.
【详解】切线的斜率为
，
所以切线方程为.
故答案为：
28．求曲线上点处的切线方程．
【答案】答案见解析
【分析】利用导数的概念求导函数，再利用导数的几何意义求直线的斜率，进而由点斜式得切线方程.
【详解】由P在曲线上可得，解得或.
由导数的定义得
.
所以，
故在点处的切线方程为，即.
在点处的切线方程为，即.
29．（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求函数在点处的切线方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】利用导数的定义，结合导数的几何意义求解.
【详解】（1），
故所求切线的斜率为2，切线方程为，即．
（2）因为，
故所求切线的斜率为6，切线方程为，即．
30．已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可；
（2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可.
【详解】（1）
，
当时，，
所以函数的导函数为．
（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，
则切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
从而切线方程为或．
31．已知曲线
(1)求过的点的切线方程；
(2)（1）中以为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？
【答案】(1)或
(2)有
【分析】（1）分点P为切点和不是切点讨论，利用定义求出导数值，代入点斜式求出切线方程；
（2）联立直线与曲线方程，解方程即可判断.
【详解】（1）因为在曲线上，所以有两种可能，即点为切点或点不是切点，
①当点为切点时，
所以切线方程为，即；
②当点不是切点时，设切点为.
由导数的定义，知在处，，所以切线方程为.
因为切线方程过点，将其代入整理，得，所以，
所以或（舍去），故切点为，所以切线方程为
综上所述，所求切线法方程为或.
（2）由（1），知以点为切点的切线方程为，
由，得，解得.
从而求得公共点为和.
故以点为切点的切线与曲线的公共点除切点外，还有其他公共点.
32．已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】.
【分析】根据导数的定义可求出，根据导数的几何意义，可得，进而求出切线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
【详解】
，
根据导数的概念可得，
，
所以，则，
根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线的方程为，即．
令，得；令，得．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为与，所以所求三角形的面积．
33．已知函数f(x)＝x3.
（1）求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程；
（2）若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程．
【答案】（1） y＝3x－2；（2）y＝0或y＝3x－2.
【分析】（1）由导函数的概念求得函数在点(1，1)处的导数值，再根据导数的几何意义即可得切线的斜率，从而可求的切线方程；
（2）设切点为，则由第一问得切线的斜率为k＝，再将P(，0)代入即可求得，从而可得切线的方程．
【详解】解：（1）由导函数的概念，得
＝
＝
＝
＝
＝ [3x(x＋Δx)＋(Δx)2]
＝3x2，
又＝3，，
所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2；
（2）设切点为，则由第一问得切线的斜率为k＝，
切线方程为，即.
因为切线过点P(，0)，
所以，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或y＝3x－2.
考点06已知切线(斜率)求其他
34．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
35．（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先设切点为，再利用导数的定义及几何意义求得，从而求得相应的，由此得解.
【详解】依题意，设切点坐标为，
因为，
所以，解得，
当时，；当时，；
综上：所求切点为或.
故选：BC.
36．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标.
【详解】设，则
，
因为点处的切线垂直于直线，
所以点处的切线的斜率为，
所以，解得，则，
即点的坐标是．
故答案为：
37．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】设切点，由题意可知切线斜率为，求函数在处的导数，列出方程即可得解.
【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设，
因为，
当时，，
所以，则点P的坐标为或．
故答案为：或.
38．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝ .
【答案】-1
【分析】利用导数的定义结合导数的几何意义即可求得答案.
【详解】由题意，.
故答案为：－1.
39．若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝ .
【答案】3
【分析】先设出切点坐标，进而根据导数的定义求出切点坐标，最后代入曲线的方程解得答案.
【详解】设切点坐标为(x0，1)，由题意
k＝
∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)，∴2－4＋m＝1，即m＝3.
故答案为：3
40．若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，求的最小值．
【答案】
【分析】设，根据导数的定义和曲线在点A处的切线方程求出，，进而可得，结合基本不等式“1”的用法即可求得的最小值.
【详解】设，的导数为
由曲线在点A处的切线方程为，可得，，
解得，或，，
由点A在直线（其中，）上，
可得（，舍去），
则，
当且仅当即时，等号成立．
所以的最小值为．
基础过关练
1．设函数在处可导，若，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】，，
.
故选：D.
2．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
【答案】D
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
3．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【详解】依次作出，，，在的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知．
故选：A．
4．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据导数的定义求出曲线在点处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.
【详解】，
所以，故在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即．令，得，令，得，
所以，
故选：B
5．（多选）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
6．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
7．如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是 ．
①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
【答案】③④
【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确；
根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误；
【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误．
瞬时速度为切线斜率，故②错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故③正确．同理④正确．
故答案为：③④．
8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ， ．

【答案】 1 －2
【分析】利用导数的几何意义求出，再利用切点在切线上求出．
【详解】根据导数的几何意义可知，
由切点在切线上，所以，
故答案为：1，－2．
9．已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 .
【答案】
【分析】设切点，根据导数的几何意义以及导数的定义得，进而可以求出的值，进而得到结果.
【详解】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为.
故答案为：.
10．（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；
（2）已知函数，求在区间上的平均变化率．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据平均变化率的意义直接计算，然后比较大小即可.
（2）根据平均变化率的意义直接计算.
【详解】（1）自变量x从1变到2时，函数的平均变化率为
，
自变量x从3变到5时，函数f（x）的平均变化率为
，
因为，所以函数在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
（2），
所以在区间上的平均变化率为．
11．正方形的边长变化时，其面积关于的变化率是正方形周长的多少倍？
【答案】
【分析】先表示出正方形的面积，周长，再求出正方形的面积关于的变化率是，然后与周长作比即可得解．
【详解】解：边长为的正方形的面积，
所以正方形的面积关于的变化率是 ，
又正方形的周长为，所以，
所以正方形的边长变化时，其面积关于的变化率是正方形周长的倍．
12．求双曲线在点处的切线方程．
【答案】
【分析】设，根据导数的定义，求出.然后根据导数的几何意义可得切线的斜率，代入点斜式，整理即可得到切线方程.
【详解】设双曲线在点处的切线斜率为.
函数的定义域为.
设，因为，
根据导数的定义知，.
根据导数的几何意义，，又切点为，
代入点斜式方程可得，整理可得.
能力提升练
1．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.
【详解】因为OP是匀速旋转，
选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；
选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合
故选：D
2．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
【答案】D
【分析】A：设，由图得，所以该选项错误；
B:根据图像和导数的几何意义得，所以该选项错误；
C:设 ，所以该选项错误；
D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确.
【详解】解：A：设，由图得，
所以所以，所以该选项错误；
B:由图得图像上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项错误；
C:设，因为
所以，所以该选项错误；
D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，
所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确.
故选：D
3．校考期中）①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；
对于②中，根据导数的定义：
（1）导数：，
（2）左导数：，
（3）右导数：，
函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；
对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为
（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
4．（多选）下列有关导数的说法，正确的是（ ）.
A．就是曲线在点处的切线的斜率
B．与的意义是一样的
C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度
【答案】ACD
【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD，根据常数函数的导数为判断B.
【详解】表示曲线在点处的切线的斜率，故A正确；
表示对函数值求导，因为是常函数，所以，
与的意义不一样，故B错误；C，D易知正确.
故选：ACD
5．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是 .
【答案】③
【分析】先根据平均变化率的定义，求得，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解．
【详解】根据平均变化率的计算公式，可得，
所以在附近取，则平均变化率的公式为，
则要比较平均变化率的大小，只需比较的大小，
下面逐项判定：
①中，函数，则；
②中，函数，则；
③中，函数，则；
④中，函数中, 则，
所以，平均变化率最大的是③．
【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先利用已知条件得到两曲线的交点坐标，再利用导数的定义得到，利用导数的几何意义以及点斜式写直线方程即可.
【详解】由，
得，
∴两曲线的交点坐标为．
由，
得＝，
∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，
即．
故答案为：；.
7．已知函数f(x)＝求的值．
【答案】
【分析】根据导数的定义 ,分别求出，，即可得到答案.
【详解】当 时，
当 时，
由导数的定义，得，
.
8．若函数，求其图象在与轴交点处的切线方程．
【答案】和.
【分析】根据函数的导数的定义先求出，然后由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.
【详解】解：函数的图象与轴有两个交点，不妨设交点坐标分别为，，
，
∴，
∴在处的切线方程为；
同理，在处的切线方程为．

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