资源简介

6.3.1平面向量基本定理5种常考题型归类
高频考点
题型1 基底的概念及辨析
基底概念的理解
基底的判断
几何图形中基底的判断
与向量平行的结合
题型2 用基底表示向量
题型3 利用平面向量基本定理求参数
题型4 运用平面向量基本定理解决证明问题
题型5 平面向量基本定理的综合应用
与面积的结合
与数量积的结合
与基本不等式的结合
解题策略
1、两个向量是否能构成基底
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
2、平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
3、应用平面向量基本定理一般思路：
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　
考点精析
题型1 基底的概念及辨析
（1）基底概念的理解
1．（2022·高一课时练面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
【答案】正确
【分析】根据平面向量的基本定理进行判断.
【详解】平面向量的基底确定后，根据平面向量的基本定理可知，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.
所以说法正确.
故答案为：正确
2．（2022·高一课时练面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
【答案】错误
【分析】根据基底的知识进行判断.
【详解】平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.
两个共线的向量不能作为一组基底，
所以说法错误.
故答案为：错误.
3．（2021·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【答案】B
【分析】根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】由共线向量的性质可知选项A正确；
根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，
故选：B
4．（2023下·高一课时练习）下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念进行判断.
【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确；
由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确.
故选：B
5．【多选】（2020上·辽宁大连·高一统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
【答案】CD
【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD.
【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；
对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误；
对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；
对于D，由向量共线定理可知，
其中，
若则，故D正确.
故选：CD.
（2）基底的判断
6．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
7．（2022下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于选项ACD，可以判断选项的向量共线，所以不能作为基底；对于选项B, ,不共线，所以可以作为基底.
【详解】对于选项A，，所以共线，所以不能作为基底；
对于选项B, ,所以不共线，所以可以作为基底；
对于选项C, 共线，所以不能作为基底；
对于选项D, ，所以共线，所以不能作为基底.
故选：B
8．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
9．（2023·全国·高一专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号）
【答案】③
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③；
其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选．
故答案为：③．
10．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据基底的概念确定正确答案.
【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中，，即和为共线向量，
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C
11．【多选】（2023下·安徽阜阳·高一田家炳实验中学校考期中）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】不能用表示，故不共线，所以A符合；
不能用表示，所以不共线，故B符合；
，故共线，所以C不符合；
不能用表示，故不共线，所以D符合.
故选：ABD.
12．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项.
【详解】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C中的向量，满足，向量，不能作为基底.
故选：C
13．【多选】（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】两个向量不共线，则可以作为基底.
【详解】对于A， ，则，不能作为基底；故A错误；
对于B，，则，不能作为基底，故B错误；
对于C，，则，，与不共线，可作为基底，故C正确；
对于D，，可作为基底，故D正确；
故选：CD.
（3）几何图形中基底的判断
14．【多选】（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】BC
【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，
故选：BC
15．（2022下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
【答案】A
【分析】根据基底的概念及平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，
且，
故选：A.
16．（2022上·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（ ）
B．
C． D．和能构成一组基底
【答案】B
【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量的线性运算，对每个选项逐一分析即可判断.
【详解】在正八边形中，
对于A，，所以选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确；
对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确.
故选：B.
17．【多选】（2022·广东惠州·统考一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断；
对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；
对C，由，利用平行四边形法则即可计算；
对D，由，即可根据向量数量积定义计算
【详解】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
，所以，所以，B项正确；
因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；
正八边形的每一个内角为，，
所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）.
故选：BC
（4）与向量平行的结合
18．（2023下·江西赣州·高一校考期中）已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.
【详解】依题意，，，
，即，
，解得．
故选：B．
19．【多选】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】AD
【分析】依题意可得向量，可以作为平面内的一组基底，则，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为向量，是两个不共线的向量，所以向量，可以作为平面内的一组基底，
又向量与共线，所以，
即，解得或；
故选：AD
20．（2021下·高一课时练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可.
【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量，
由与共线可得使得，即，
又因为不共线，所以，
所以，
故选：A
21．（2021·高一课时练习）设，为平面内所有向量的一组基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】A
【分析】由基底的定义和向量共线的条件求参数.
【详解】.
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ使得，
即
，为平面内所有向量的一组基底，，解得，.
故选：A
22．（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）设，是平面内不平行的非零向量，，.
(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）证明不共线即可；
（2）设，然后可建立方程组求解即可.
【详解】（1）假设共线，设，
则，
因为，是平面内不平行的非零向量，所以，无解，
所以不共线，所以，组成平面上向量的一组基底，
（2）假设存在实数k，使得和平行，
设，则，
因为，是平面内不平行的非零向量，所以，解得，
所以存在实数k，使得和平行，.
23．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解.
【详解】当时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为是一组基底，
所以两个向量不共线，
所以.
故答案为：.
24．（2019·高一课时练习）已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线的性质进行求解即可.
【详解】当平面向量共线时，有，即，因此有，
因此要想能作为平面内的一组基底，则必有平面向量不共线，所以，
故答案为：
题型2 用基底表示向量
25．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
26．（2021·高一课时练习）如图，平行四边形中，，，是的中点，以、为基底表示向量＝ .
【答案】/
【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.
【详解】由题意可得.
故答案为：.
27．（2020·全国·高一专题练习）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【详解】因为，所以.
所以
故选：C
28．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合图形，根据向量的线性运算即得.
【详解】因为，，，，四边形为平行四边形，
则，
故选：D.
29．（2023·河北·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.
【详解】注意到.
又为DC中点，则；
F为AD中点，则.
则；
.
则.
故选：D
30．（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据A，C，F三点共线及D，E，F三点共线，结合平面向量基本定理用和表示出，然后根据向量相等即可得解．
【详解】
由题，A，C，F三点共线，则，
D，E，F三点共线，则，
∴　，得　，
∴．
故选：B.
31．（2023上·河南·高三校联考期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解.
【详解】选取为基底，
，
，
，
设
，
，，
即.
故选：A
32．【多选】（2023下·河南驻马店·高一统考阶段练习）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由题意，选定和作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将和用基底表示出来，比较系数即可求得．
【详解】设，，
因为是线段的中点，则有，
由，可得，
设
，
则由平面向量基本定理可得，解得，
又，，三点共线，
故可设，
设，由为中点可知，
，将代入可得，
即，正确；
又，
，
，
设，
则有，
即，解得，，
故，正确；
故选：CD．
33．【多选】（2023下·湖南·高二开学考试）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答.
【详解】在中，为的中点，为的中点，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，有，C正确；
对于D，依题意，，于是
，D正确.
故选：BCD
34．【多选】（2023下·山西·高一统考阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解.
【详解】因为，所以，故A错误．
，故B正确．
，故C正确．
因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．
故选：BCD.
35．【多选】（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.
【详解】对于A选项，
，故A选项正确；
对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，结合B，，故C选项错误；
对于D选项，结合B，，故D选项正确.
故选：ABD.
题型3 利用平面向量基本定理求参数
36．（2021下·高一课时练习）设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　）
A．3 B．4
C．－ D．－
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算及基底的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，
又因为和是某一平面内所有向量的一组基底，
所以
解得
故选：B．
37．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量、不共线，且，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理，列方程求解.
【详解】向量、不共线，且，
则有，解得，所以.
故选：D
38．（2024·广东·高三学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，则
故答案为：
39．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 .
【答案】/
【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，则.
故答案为：
40．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 .
【答案】/
【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
41．【多选】（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，，所以，
因为为的中点，所以，
所以，所以，.
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义.
42．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，
根据向量的线性运算法则，可得，
又因为三点共线，可得，即，
可得，
因为，可得，
所以，整理得，即，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
题型4 运用平面向量基本定理解决证明问题
43．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．
(1)用和表示；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果；
（2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论.
【详解】（1），
，
又为上靠近的三等分点，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三点共线，
，解得，
．
即
44．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

45．（2023下·甘肃武威·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，．

(1)若，证明：A，F，E三点共线；
(2)若AE，BD交于点F，求的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算，用基底表示出，根据共线定理可证；
（2）设，结合（1）中结论表示出，再设，由平面向量基本定理列方程求出，然后可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
又，所以，
因为，
，
所以，
又有公共点A，所以A，F，E三点共线.
（2）记，则，
由（1）知，
由题知，A，F，E三点共线，记，
所以，
因为不共线，所以，解得，
所以，所以.
46．（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.
（2）利用三点共线的判定证明即可.
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
47．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值.
（2）根据向量的线性运算可得，故可证.
【详解】（1）由题可知，
因为点为的中点，所以
，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为4.
（2）
由，则，即，
，
所以，又三点不共线，所以．
题型5 平面向量基本定理的综合应用
（1）与面积的结合
48．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 .
【答案】
【分析】由向量的线性运算求得，具体为利用平行四边形定则结合图形关系令，，解得，再令，，解得，确定点是线段的中点，最后由面积关系得出结果.
【详解】如图，令，，
于是，
而，并且不共线，因此，解得，
令，，
则，
从而，解得，因此点是线段的中点，
所以，所以.
故答案为：
49．【多选】（2023上·福建福州·高三校联考期中）在中，，为中点，交于点，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积是面积的
D．和的面积相等
【答案】AB
【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设，求得，结合三点共线，求得，可判定B正确；设的面积为，根据三角形的面积公式，求得四边形的面积为，可判定C不正确；根据题意，得到，可判定D错误.
【详解】对于A，因为，即为（靠近点）的三等分点，
所以，所以A正确；
对于B，设，
由点为的中点，可得，
可得，
因为三点共线，可得，
所以，可得且，
解得，即，所以B正确；
对于C，设的面积为，因为，可得，
又因为为中点，且，可得，
所以四边形的面积为，所以C错误；
对于D，由，可得，所以，
所以和的面积不相等，所以D错误.
故选：AB
（2）与数量积的结合
50．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】将，设为基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.
【详解】解：
.
故答案选：A.

51．（2024上·黑龙江鸡西·高三校考期末）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
【答案】18
【分析】表达出，，利用数量积运算法则求出答案.
【详解】因为平行四边形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案为：18
52．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，，点分别为的中点，与交于点，则 ．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，连接，交于点，根据相似得到和的关系，设，根据三点共线得到的值即可求出.
【详解】如图，连接，交于点，

由题意易知，所以，
所以，设，
因为点为的中点，所以，
所以，
又三点共线，所以，
从而，
则，
所以
．
故答案为：.
53．（2023上·天津津南·高三天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则 ，若，则 ．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解.
【详解】连接DF，
因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以，
则
，
所以，所以；
因为，
所以，
故
.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到点是的重心，从而利用中位数定理得到，进而利用平面向量的相关运算即可得解.
54．（2024上·天津河北·高三统考期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用，表示，计算即可得到结果．
【详解】平行四边形，，，，，
可得，
是线段的中点，
可得，
；
，
则
．
故选：C
55．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算结合数量积公式计算即可.
【详解】由题意可知
，
所以
，
所以，
故选：A．
56．（2023下·河南焦作·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用重心的性质及平面向量的线性运算得，再由平面向量数量积运算律计算即可；
（2）即，根据上问及中线性质结合平面向量数量积及模长求夹角即可.
【详解】（1）由题可知为的重心，则，
所以，
所以.
（2）因为为的中点，所以.
又，
所以
.
又，
所以.
又与，的夹角相等，
所以，所以的余弦值为.
（3）与基本不等式的结合
57．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】画出图形，通过向量线性运算分析得到，从而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意验证取等条件是否满足.
【详解】如图所示：
不妨设，则，
同理设，则，
所以
又由题意，
所以，
从而，
当时，由基本不等式可得，
等号成立当且仅当.
综上所述：的最小值为2.
故选：C.
58．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以
，当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值是.
故选：D
59．（2024上·天津和平·高三统考期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题知，
，
即.
由，，
所以，
因为、、三点共线，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：；
60．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
61．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根据平面向量基本定理即可求；②由三点共线可得，结合①列方程即可求出的值；
（2）设，根据平面向量基本定理可得，结合已知得到，与之间的关系，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.6.3.1平面向量基本定理5种常考题型归类
高频考点
题型1 基底的概念及辨析
基底概念的理解
基底的判断
几何图形中基底的判断
与向量平行的结合
题型2 用基底表示向量
题型3 利用平面向量基本定理求参数
题型4 运用平面向量基本定理解决证明问题
题型5 平面向量基本定理的综合应用
与面积的结合
与数量积的结合
与基本不等式的结合
解题策略
1、两个向量是否能构成基底
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
2、平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
3、应用平面向量基本定理一般思路：
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　
考点精析
题型1 基底的概念及辨析
（1）基底概念的理解
1．（2022·高一课时练面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
2．（2022·高一课时练面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
3．（2021·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
4．（2023下·高一课时练习）下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．【多选】（2020上·辽宁大连·高一统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
（2）基底的判断
6．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2022下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．（2023·全国·高一专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号）
10．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．【多选】（2023下·安徽阜阳·高一田家炳实验中学校考期中）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
13．【多选】（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
（3）几何图形中基底的判断
14．【多选】（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
15．（2022下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
16．（2022上·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（ ）
B．
C． D．和能构成一组基底
17．【多选】（2022·广东惠州·统考一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底 B．
C． D．
（4）与向量平行的结合
18．（2023下·江西赣州·高一校考期中）已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
19．【多选】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C．4 D．3
20．（2021下·高一课时练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（ ）
A． B．
C． D．或
21．（2021·高一课时练习）设，为平面内所有向量的一组基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
22．（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）设，是平面内不平行的非零向量，，.
(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
23．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 .
24．（2019·高一课时练习）已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 .
题型2 用基底表示向量
25．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·高一课时练习）如图，平行四边形中，，，是的中点，以、为基底表示向量＝ .
27．（2020·全国·高一专题练习）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·河北·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
31．（2023上·河南·高三校联考期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
32．【多选】（2023下·河南驻马店·高一统考阶段练习）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ）

A． B． C． D．
33．【多选】（2023下·湖南·高二开学考试）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，则
34．【多选】（2023下·山西·高一统考阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
35．【多选】（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型3 利用平面向量基本定理求参数
36．（2021下·高一课时练习）设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（　　）
A．3 B．4
C．－ D．－
37．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量、不共线，且，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
38．（2024·广东·高三学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 .
39．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 .
40．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 .
41．【多选】（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）

A． B．
C． D．
42．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
题型4 运用平面向量基本定理解决证明问题
43．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．
(1)用和表示；
(2)求证：．
44．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
45．（2023下·甘肃武威·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，．

(1)若，证明：A，F，E三点共线；
(2)若AE，BD交于点F，求的值．
46．（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
47．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．
题型5 平面向量基本定理的综合应用
（1）与面积的结合
48．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 .
49．【多选】（2023上·福建福州·高三校联考期中）在中，，为中点，交于点，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积是面积的
D．和的面积相等
（2）与数量积的结合
50．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
51．（2024上·黑龙江鸡西·高三校考期末）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
52．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，，点分别为的中点，与交于点，则 ．
53．（2023上·天津津南·高三天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则 ，若，则 ．
54．（2024上·天津河北·高三统考期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
55．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（ ）
A． B． C． D．3
56．（2023下·河南焦作·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
（3）与基本不等式的结合
57．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
58．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
59．（2024上·天津和平·高三统考期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ．
60．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
61．（2023上·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.

展开更多......

收起↑