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2024年数学新高考专题特训：三角函数（解答题篇）
1．（1）已知，求：的值
（2）已知，求：，的值
2．已知，其中是的一个内角．
(1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形；
(2)求的值．
3．已知，，
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
4．已知为第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
5．在中，已知，
(1)求的值；
(2)求的值.
6．已知函数的最小正周期为，且．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，，，求的值．
7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为.
(1)若在为增函数，求的取值范围.
(2)若对恒成立，求的取值范围.
8．已知.
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
9．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
10．已知函数是的一个零点.
(1)求；
(2)当时，求的值域.
11．已知
(1)求的值；
(2)若是第三象限角，化简，并求值.
12．已知水渠在水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有两种设计：图（a）的过水断面为等腰，，过水湿周；图（b）的过水断面为等腰梯形，过水湿周.若与梯形的面积都为.

(1)分别计算和的最小值；
(2)为使流量最大，给出最佳设计方案.
13．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：.（为自然对数的底数，……）.
(1)解方程：；
(2)证明：两角和的双曲正弦公式
14．已知集合,函数的值域为集合.
(1)当时,求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求正数的取值范围.
15．已如函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在上的最值；
(3)若，求的值．
16．如图所示，已知函数，在内取得一个最大值和一个最小值.

(1)求函数的解析式:
(2)是否存在实数m满足 若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
17．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)计算．
18．（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）计算：．
19．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．

(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
20．已知角的终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值．
21．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
22．已知函数的图象经过点，且关于直线对称，
(1)求的解析式；
(2)若在区间上单调递减，求的最大值.
23．已知，．
(1)当，求的值；
(2)求函数的最大值．
24．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2），
【分析】（1）根据题意，将原式化为正切函数的齐次式，即可得到结果；
（2）根据题意，由同角的平方关系可得，从而可得，即可得到，即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）因为，则，
则，且，则，
所以，又，
所以，则，则.
2．(1)，钝角三角形；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数值的符号法则求解即得.
（2）由（1）的结论，结合同角公式计算即得.
【详解】（1）由，两边平方得，即，
所以；
由是的一个内角，得，则，而，则，有，
所以是钝角三角形.
（2）由（1）知，，，
所以.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，平方结合正弦的倍角公式，即可求解；
（2）根据题意，求得和，结合两角差的正弦公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
又由，
可得.
（2）解：因为，所以，且，
所以，所以，
因为，可得，所以，
所以
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解；
（2）根据三角函数的诱导公式，化简得到，原式，代入即可求解.
【详解】（1）解：由为第二象限角，且，
因为，所以，
则.
（2）解：.
5．(1)
(2)
【分析】结合同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得.
【详解】（1）由，可得
因为，所以，
亦可得，
由，
则，
解得，则，
所以；
（2）原式.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求得，再由解出，得出，然后利用正弦函数的单调性即可求出结果；
（2）由条件分别求出和，进而利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）依题意得，
，
由得，即，
，，
由得：，
所以函数的单调递增区间为：.
（2）由，
得，即，
，又，，
由，
得，即，
，又，，
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）先通过求出，再根据相邻两个交点的距离为可求出，再根据求出的范围，大概估计增区间所在位置然后列不等式求解；
（2）根据求出的范围，确定单调性，进而得到最小值的位置，列不等式求解即可.
【详解】（1）令，解得，
则由已知，解得，
所以，
因为，所以，
又，得，
因为，
所以，即，又
解得；
（2）当时，，
因为，
所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
若对恒成立，
则，即，
即，又，
解得.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式直接求解；
（2）根据诱导公式以及同角三角函数的平方关系求解.
【详解】（1）由已知条件得；
（2）因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
9．(1)的单调递增区间为；最小正周期为.
(2)；
【分析】（1）由正弦函数的单调递增区间及整体代换思想即可求出的增区间，由周期公式即可求出的最小正周期.
（2）由得，整体代换思想结合正弦函数的图像即可求出的最大值和最小值.
【详解】（1）由得，
所以的单调递增区间为.
的最小正周期为.
（2）因为，所以
当时，即，取最小值，；
当时，即，取最大值，；
10．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的零点，结合特殊角的三角函数值求出.
（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函数性质求出值域即得.
【详解】（1）依题意，，即，则，而，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值1，则，，
所以的值域是.
11．(1)2；
(2)详见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
（2）利用平方关系化简给定式子，再结合（1）利用同角公式求值即得.
【详解】（1）由，得，解得，
所以的值为2.
（2）由（1）知，，即，而，于是，
而是第三象限角，即，因此，
所以.
12．(1)，
(2)方案二中当取得最小值时的设计为最佳方案
【分析】（1）求出的表达式，继而结合三角函数性质，求得其最小值；结合梯形面积求出的表达式，利用基本不等式求得其最小值；
（2）比较，的最小值的大小，结合题意，即可得结论.
【详解】（1）图（a）中，设，则，
从而，得，当且仅当时取等号；
图（b）中，设，，
则梯形的高为，故，则，
故，则,
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
（2）由于过水湿周越小，其流量越大，
由于，故，
故方案二中当取得最小值时的设计为最佳方案.
13．(1)或
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据题意得到，解方程，求出答案；
（2）计算出公式右边，得到，证明出结论.
【详解】（1）由题意得，故，
故，
故或；
（2）
，
而
故.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数二倍角公式和辅助角公式化简,根据正弦型函数的值域可解得集合；将代入一元二次函数,解不等式可得集合.再进行交集运算即可.
（2）根据“”是“”的充分不必要条件,得集合是集合的真子集,根据真子集的包含关系进行计算即可.
【详解】（1）因为,
所以集合；
当时,得,解得,
所以.
所以．
（2）由条件知集合是集合的真子集,
又因为,且,解得,
所以,
所以得或解得.
又因为,所以正数的取值范围为．
15．(1)；，
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）直接利用周期公式求最小正周期，再利用整体换元可求得单调递增区间；
（2）先由，得，再结合正弦函数的性质求解即可；
（3）利用三角函数的诱导公式求出函数的值.
【详解】（1）因为函数，所以函数的最小正周期为，
令，，解得，，
所以函数的最小正周期为：；单调递增区间为，.
（2）因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数在上的最大值为，最小值为.
（3）由于，所以，
所以.
16．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题意，得到， ，进而求得，得到，代入点，求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）由实数满足，求得，再由函数在上单调递增，求得，即可得到结论.
【详解】（1）由题意可得，，则，
可得，所以，
因为点在函数图象上，可得，即，
因为，则，可得，即，
所以.
（2）因为，即，
则实数满足，解得，
因为，则，
同理可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，
令，可知函数在上单调递增，
若，只需，解得，
综上所述：存在，使成立.
17．(1)4
(2)0
【分析】（1）根据周期性的定义求得结果结合函数为奇函数以及上的图象即可得函数最小正周期；
（2）利用赋值法并结合函数的周期性求得结果.
【详解】（1），，
是周期为4的周期函数．
又当时，，是定义在上的奇函数，
所以当时，，所以
函数在上的图象如图所示：

由图可得函数在上不具有周期性，
故函数的最小正周期为；
（2）．
又是周期为4的周期函数，
．
．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据三角函数定义求出，再结合诱导公式化简求得结果；
（2）根据分数指数幂、零指数幂，以及对数的运算法则、换底公式求得结果.
【详解】（1）由角终边上一点，得，
故.
（2）解：
.
19．(1)20℃
(2)，
【分析】（1）图中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可得；
（2）由最高最低点可确定、，由周期可确定，由定点可确定.
【详解】（1）图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，
观察图形得出这段时间的最大温差为℃；
（2）由图可知,，，
解得，，
，，，
将代入，得，
即，即，，
，，
可取，故解析式，.
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的坐标定义求解；
（2）先利用诱导公式化简，再代入三角函数值即可得解.
【详解】（1）因为角的终边过点，
所以.
（2）
.
21．(1)
(2)对称轴为，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）利用降幂升角及辅助角公式，得到，即可得出结果；
（2）根据（1）中结果，再利用的图像与性质即可求出结果；
（3）先求出的值，再结合图像与条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
由，，
所以，的对称轴为，单调递减区间为.
（3）因为，由，得到，即，令，得到，
如图，由对称性，轴右侧函数图像与轴第一个交点为，
又当时，的值域为，所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用点代入求得，利用三角函数的对称性求得，从而得解；
（2）利用整体代入法与三角函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，所以，
又因为，所以，
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，
又因为，所以，所以.
（2）由，得，
所以在上单调递减，
所以，故的最大值为.
23．(1)
(2)1
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式，立方差公式即可计算求解；
（2）先求出，再利用换元法求得，进而根据二次函数的性质即可求得其最大值．
【详解】（1）当时，即，
两边平方，可得，
则，所以，
所以，
所以．
（2）因为，即，
又，则，
将两边平方，可得，则，
则，
又，所以当时，取得最大值，且最大值为1．
24．(1)
(2)
【分析】（1）化简三角函数的解析式为，结合正弦函数的性质可得函数的单调递增区间；
（2）由得，利用平方关系得到，再利用两角和正弦公式得到的值.
【详解】（1）,
令
解得，即，
所以递增区间.
（2）由得，所以，
又因为，所以，
所以.
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