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九年级数学试题
(时间：120分钟 总分：150分) 2024.1
一、选择题(本题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若各边都扩大3倍，则tanA的值（ ）
A．缩小3倍 B．扩大3倍 C．不变 D．不能确定
2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，下列条件中不能判定△ACD和△ABC相似的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AD：AC＝AC：AB D．AD：AC＝CD：BC
4.如图，在⊙O中，∠BAO＝70°，那么∠BCA的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．80°
5．若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析．甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差．后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分．则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（ ）
A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
7．如图，在□ABCD中，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点G，交CD的延长线于点F，若DC＝2DF，则的值为（ ）
A． B． C. D.
8．已知二次函数(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(5，0)，对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①b>0；②a＋cA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本题共10个小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上)
9．若，则的值是______．
10．已知，则sinα的值为______．
11．圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是______．
12．如图，△ABC中，BC＝2，，且，，则DE＝______．
13．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝2，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是______．
14．如图，α是正十边形两条对角线的夹角，则α的度数是______°．
15．已知m，n是的两个根，则______．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何 译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是______尺．
17．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M，则矩形EFGH的周长为______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是AB上一点，连接DC，DE⊥DC，E点在直线AB下方且tan∠DEC＝2，连接AE，则△ADE面积的最大值是______．
三、解答题(本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分8分)解方程：(1) (2)x(x﹣6)＝5(6﹣x)
20．(本题满分8分)九年级组织了一次党史学习比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下(10分制)：
(1)请把下列表格填写完整
平均数 中位数 众数 方差
甲 ▲ ▲ 10 1.4
乙 9 9 ▲ 1
(2)成绩较为整齐的是______队．
21．(本题满分8分)为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有害垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．
(1)直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)利用列表或画树状图的方法，求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
22．(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
23．(本题满分10分)如图，在△ABC中，点D在BC上，，∠BAD＝∠CAE，
(1)求证：△BAC∽△DAE；
(2)已知∠BAC＝78°，求∠DCE的大小．
24．(本题满分10分)如图，抛物线与x轴交于点A、点C，与y轴交于点B．
(1)结合图像，回答问题：
①当y>0时，x的取值范围是______；
②当﹣3(2)点P是抛物线上第三象限内的一点，连接PB、PA，四边形PBOA的面积是，求点P的坐标．
25．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交BC于点E，交AB于点D，BA平分∠FBC，且BF＝BE，连接AF．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若∠ACB＝45°，EC＝2，求图中阴影部分面积．
26．(本题满分10分)如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，格点A、B、C都在圆上．
(1)图中∠ABC的度数是______°；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法(友情提醒：作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，连接的点要加粗)．
①在图1中，作出圆心O，并作出的中点M；
②在图2中，在上找一点E，使得∠ECB＝45°；
27．(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点D、E分别是BC、AC上的点(点D不与点B重合)，且满足∠ADE＝30°．
(1)图中有哪几对相似三角形 并选择其中一对加以证明；
(2)当△ADE是等腰三角形时，求BD的长；
(3)当CE最大时，求AD的长．
28．(本题满分12分)如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，喷出的水的上、下边缘近似地看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，绿化带的水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.6m．洒水车到绿化带的距离OD为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)若距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水 并写出你的判断过程；
(2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少
九年级数学试题参考答案
一、选择题(每题3分，共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A A C C B
二、填空题(每题3分，共30分)
9． 10． 11．8π 12． 13．4 14．54° 15．1 16．8 17．72 18．1
三、解答题(共96分)
19．(1)， (2)，．
20．(1)每空2分
平均数 中位数 众数 方差
甲 9 9.5
乙 10
(2)乙．
21．(1)
(2)
小明小亮 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
∴．
21．(1)
∵不论k为何值，
∴方程有两个实数根．
(2)
，
∵方程的两个根都是负根
∴﹣k﹣1<0∴k>﹣1．
23．(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
∵，∴△BAC∽△DAE；
(2)解：∵，，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ACE＝∠B，
∵∠BAC＝78°，∴∠B＋∠ACB＝180°﹣78°＝102°
即∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝102°．
24．(1)①x<﹣3或x>1②﹣4≤y<0
(2)方法一：设，直线AB：y＝﹣x﹣3
，．
方法二：设．
则
解之，a＝﹣1，或a＝﹣2
∴，．
25．(1)略；
(2)
∴．
26．(1)90°
(2)①确定圆心和AB中点，连接圆心和中点并延长交于点M．
方法1： 方法2：
方法1：延长AF交于点E 方法2：作直径中垂线
方法3：构造等腰直角三角形 方法4：构造等腰直角三角形
27．(1)2对
①△BAD∽△CDE
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°
∵∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADE
又∵∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠BAD，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△CDE
或②△DAE∽△CAD
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°
又∵∠ADE＝30°，∴∠ADE＝∠ACD
∵∠DAE＝∠CAD，∴△DAE∽△CAD．
(2)①当AD＝DE时，△BAD≌△CDE，DC＝AB＝6，
②当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝30°，∠BAD＝90°，
③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE>∠ACB不存在
(3)设BD＝x，CE＝y．
∵△BAD∽△CDE
∴，∴，∴
∴当时，CE最大，此时AD＝3．
28．(1)设上边缘抛物线为，
由题意可得，h＝2，k＝1.6
∴，
∵H(0，1.2)，∴，∴a＝﹣0.1．
∴
当时，，(舍)
∵6>5.5，∴行人会被洒水车淋到水
(2)设下边缘抛物线为
∵H(0，1.2)，∴
∴，(舍)
∴
当时，，(舍)，∴
当时，，(舍)
∴
∴

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