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2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（三）
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x>0}，则A∪B＝(　　)
A．(0，2] B．[－2，0)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于x轴对称，且z1＝2－i，则复数＝(　　)
A．－－i B．－i
C．－＋i D．＋i
3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为(　　)
A．25 B．50
C．75 D．100
4．已知函数f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，f(x1)＝0，f(x2)＝，且|x1－x2|的最小值为π，则ω的值为(　　)
A． B．
C．1 D．2
5．用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着相同颜色．在所有着色方案中，①③⑤着相同颜色的有(　　)
A．96种 B.48种
C．24种 D.12种
6．已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝1，M为A1B1的中点，P为底面ABCD上一点，若直线D1P与平面BMC1没有交点，则△D1DP面积的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其一条渐近线方程为x＋y＝0，右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B(3，1)，△F1AB的面积为1＋，则当|PF1|－|PB|取得最大值时点P的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是(　　)
A．(0，0) B．(3，0)
C．(1，1) D．(4，3)
10．对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(D)＝10，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，n(A∪D)＝70，则(　　)
A．A与D不互斥 B.A与B互为对立
C．A与C相互独立 D.B与C相互独立
11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台(上底面面积小于下底面面积)的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝120°，则该圆台的(　　)
A．高为
B．表面积为
C．体积为
D．上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a，b是互相垂直的两个单位向量，若向量a＋b与向量λa－b的夹角是钝角，请写出一个符合题意的λ的值：________．
13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，|A1B1|＝10，点P在抛物线的准线上．若AP是∠A1AB的角平分线，则点P到直线l的距离为________．
14．若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为________．(用数字作答)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝0，且an>0(n≥2)，an＋1＝＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，若{bn}的前n项和Tn16．在①2a＝b＋2ccosB；②2asinAcosB＋bsin2A＝2acosC；③sinC＝3－2cos2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
17. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，BM⊥平面ABCD，BM∥DN，BM＝2DN，E是线段MN上任意一点．
(1)证明：平面EAC⊥平面BMND；
(2)若∠AEC的最大值是，求三棱锥M－NAC的体积．
18.甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
19．伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数x>－1且x≠0，正整数n不小于2，那么(1＋x)n≥1＋nx.研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题：
(1)当α∈[1，＋∞)时，(1＋x)α≥1＋αx对任意x>－1恒成立；
(2)对任意n∈N*，1n＋2n＋3n＋…＋nn<(n＋1)n恒成立．
2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（三）
数学试卷答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x>0}，则A∪B＝(　　)
A．(0，2] B．[－2，0)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
答案　D
解析　由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x>0}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤2}∪{x|x>0}＝{x|x≥－2}＝[－2，＋∞)．故选D.
2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于x轴对称，且z1＝2－i，则复数＝(　　)
A．－－i B．－i
C．－＋i D．＋i
答案　B
解析　复数z1＝2－i在复平面内对应的点为Z1(2，－1)，所以复数z2在复平面内对应的点为Z2(2，1)，即z2＝2＋i，则＝＝＝－i.故选B.
3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为(　　)
A．25 B．50
C．75 D．100
答案　B
解析　由已知可得μ＝100，所以P(ξ≥100)＝0.5，又P(80≤ξ≤100)＝0.45，则P(100≤ξ≤120)＝0.45，所以P(ξ>120)＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)＝0.5－0.45＝0.05，即可估计成绩在120分以上的学生人数为1000×0.05＝50.故选B.
4．已知函数f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，f(x1)＝0，f(x2)＝，且|x1－x2|的最小值为π，则ω的值为(　　)
A． B．
C．1 D．2
答案　B
解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，是函数的最大值，由题意可知，|x1－x2|的最小值是个周期，所以×＝π，得ω＝.故选B.
5．用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着相同颜色．在所有着色方案中，①③⑤着相同颜色的有(　　)
A．96种 B.48种
C．24种 D.12种
答案　C
解析　因为①③⑤着相同的颜色，可以有C＝3种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有C×C×C＝8种，所以共有24种．故选C.
6．已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案　D
解析　因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且x>0时，f(x)<0，又g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数．当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，又f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝1，M为A1B1的中点，P为底面ABCD上一点，若直线D1P与平面BMC1没有交点，则△D1DP面积的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　C
解析　因为直线D1P与平面BMC1没有交点，所以D1P∥平面BMC1，取CD的中点N，连接AN，D1N，AD1，取AB的中点G，连接MG，CG，如图．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1且AB＝A1B1，因为G，M分别为AB，A1B1的中点，所以BG∥B1M且BG＝B1M，即四边形BB1MG为平行四边形，则MG∥BB1且MG＝BB1.因为BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以MG∥CC1且MG＝CC1，即四边形MGCC1为平行四边形，则MC1∥CG.因为AB∥CD且AB＝CD，G，N分别为AB，CD的中点，则AG∥CN且AG＝CN，所以四边形AGCN为平行四边形，则AN∥CG，所以AN∥MC1.因为AN 平面BMC1，MC1 平面BMC1，所以AN∥平面BMC1，同理可证D1N∥平面BMC1.因为AN∩D1N＝N，AN，D1N 平面AD1N，所以平面AD1N∥平面BMC1，故当P在AN上运动时，D1P 平面AD1N，则D1P∥平面BMC1，当DP⊥AN时，DP最小，且最小值为＝＝，此时△D1DP的面积最小，且最小值为DD1×＝×1×＝.故选C.
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其一条渐近线方程为x＋y＝0，右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B(3，1)，△F1AB的面积为1＋，则当|PF1|－|PB|取得最大值时点P的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　B
解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，则(a＋c)×1＝1＋，即a＋c＝2＋，又＝，即a＝b，故c2＝a2＋b2＝4b2，c＝2b，故b＋2b＝2＋，解得b＝1，故a＝，c＝2，双曲线C：－y2＝1.又|PF1|－|PB|＝2＋|PF2|－|PB|≤2＋|BF2|，当且仅当P，B，F2共线且B在P，F2之间时取得等号．此时直线BF2的方程为y＝(x－2)，即y＝x－2，联立得2x2－12x＋15＝0，解得x＝3±，由题意可得x＝3＋，代入y＝x－2得y＝1＋，故P.故选B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是(　　)
A．(0，0) B．(3，0)
C．(1，1) D．(4，3)
答案　BD
解析　设切点坐标为(t，t2－2t)，对函数y＝x2－2x求导，可得y′＝2x－2，所以切线斜率为k＝2t－2，所以曲线y＝x2－2x在点(t，t2－2t)处的切线方程为y－(t2－2t)＝(2t－2)(x－t)，即y＝(2t－2)x－t2，将点(a，b)的坐标代入切线方程可得b＝(2t－2)a－t2，即t2－2at＋2a＋b＝0.因为过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则关于t的方程t2－2at＋2a＋b＝0有两个不等的实数解，所以Δ＝4a2－4(2a＋b)>0，即a2－2a－b>0，即b12－2×1，C不符合题意；对于点(4，3)，3<42－2×4，D符合题意．故选BD.
10．对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(D)＝10，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，n(A∪D)＝70，则(　　)
A．A与D不互斥 B.A与B互为对立
C．A与C相互独立 D.B与C相互独立
答案　BCD
解析　对于A，∵n(A)＝60，n(D)＝10，n(A∪D)＝70，∴n(A∪D)＝n(A)＋n(D)，∴A与D互斥，故A错误；对于B，∵n(A∪B)＝n(A)＋n(B)＝n(Ω)，∴A与B互为对立，故B正确；对于C，∵P(A)＝＝，P(C)＝＝，P(A∩C)＝＝，∴P(A∩C)＝P(A)P(C)＝，∴A与C相互独立，故C正确；对于D，∵n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，∴n(B∩C)＝8，∴P(B∩C)＝＝，又P(B)＝＝，P(C)＝＝，∴P(B∩C)＝P(B)P(C)＝，∴B与C相互独立，故D正确．故选BCD.
11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台(上底面面积小于下底面面积)的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝120°，则该圆台的(　　)
A．高为
B．表面积为
C．体积为
D．上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24
答案　BCD
解析　对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×1，2πR＝×2π×3，解得r＝，R＝1，又圆台的母线长为3－1＝2，所以高为h＝＝，A错误；对于B，圆台的上底面面积为，下底面面积为π，侧面积为π××2＝，所以圆台的表面积为S＝＋π＋＝，B正确；对于C，圆台的体积为V＝××＝，C正确；对于D，圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积之比为∶π∶＝1∶9∶24，D正确．故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a，b是互相垂直的两个单位向量，若向量a＋b与向量λa－b的夹角是钝角，请写出一个符合题意的λ的值：________．
答案　0(答案不唯一)
解析　设向量a＋b与向量λa－b的夹角为θ，因为向量a＋b与向量λa－b的夹角是钝角，<θ<π，所以(a＋b)·(λa－b)＝|a＋b|·|λa－b|cosθ<0且λ≠－1，所以λa2－b2<0，又|a|＝|b|＝1，解得λ<1，所以λ∈(－∞，－1)∪(－1，1)．
13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，|A1B1|＝10，点P在抛物线的准线上．若AP是∠A1AB的角平分线，则点P到直线l的距离为________．
答案　5
解析　如图，连接PF，PB，由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA1|，又∠PAA1＝∠PAF，|AP|＝|AP|，所以△PAA1≌△PAF，所以|PA1|＝|PF|，
∠PFA＝∠PA1A＝，即PF⊥AB，所以|PF|就是点P到直线l的距离，因为|BF|＝|BB1|，|PB|＝|PB|，∠PFB＝∠BB1P＝，所以△PFB≌△PB1B，所以|PB1|＝|PF|，所以|PA1|＝|PF|＝|PB1|，又|A1B1|＝10，所以|PA1|＝|PF|＝|PB1|＝5，故点P到直线l的距离为5.
14．若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为________．(用数字作答)
答案　28
解析　因为展开式的所有项的二项式系数和为2n＝256，解得n＝8，则的展开式的通项为Tr＋1＝C·()r＝eq \f(C,38－r)x－8，r＝0，1，2，…，8，可得第r＋1项的系数为ar＋1＝eq \f(C,38－r)，r＝0，1，2，…，8.令即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(C,38－r) ≥\f(C,37－r)，,\f(C,38－r) ≥\f(C,39－r)，))解得r＝6.又a1＝eq \f(C,38)＝，a9＝eq \f(C,30)＝1，a7＝eq \f(C,32)＝，所以展开式中第7项的系数最大，其二项式系数为C＝28.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝0，且an>0(n≥2)，an＋1＝＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，若{bn}的前n项和Tn解　(1)∵an＋1＝＋＝Sn＋1－Sn，
∴－＝1，
∴{}是首项＝＝0，公差d＝1的等差数列，
∴＝n－1，Sn＝(n－1)2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，当n＝1时，a1＝0不符合上式，因此an＝
(2)由(1)得bn＝＝Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝0＋＋＋…＋＝＋＋…＋，
＝＋＋…＋＋，
作差可得＝＋2－＝＋2×－
＝－，
∴Tn＝－<，
又当n＝5时，Tn＝－>1，
∴整数m的最小值为2.
16．在①2a＝b＋2ccosB；②2asinAcosB＋bsin2A＝2acosC；③sinC＝3－2cos2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
解　(1)选择条件①2a＝b＋2ccosB，
在△ABC中，由余弦定理得
2a＝b＋2c·＝b＋，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
则cosC＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
选择条件②2asinAcosB＋bsin2A＝2acosC，
于是asinAcosB＋bsinAcosA＝acosC，
在△ABC中，由正弦定理得sin2AcosB＋sinAsinBcosA＝sinAcosC，
因为sinA≠0，则sinAcosB＋sinBcosA
＝cosC，即sin(A＋B)＝cosC，
因为A＋B＋C＝π，因此sinC＝cosC，
即tanC＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
选择条件③sinC＝3－2cos2，
在△ABC中，因为sinC＝2－＝2－cosC，
即sinC＋cosC＝2，
则sin＝1，
又C∈(0，π)，即C＋ ∈，
则C＋＝，
所以C＝.
(2)由(1)知，C＝，则∠ABC＋∠BAC＝.
又∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，则∠ABI＋∠BAI＝，
于是∠AIB＝，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝－θ，且0<θ<.
在△ABI中，由正弦定理得＝＝＝＝4，
所以BI＝4sin，AI＝4sinθ，
所以△ABI的周长为2＋4sin＋4sinθ＝2＋4＋4sinθ＝2＋2cosθ＋2sinθ＝4sin＋2，
由0<θ<，得<θ＋<，
则当θ＋＝，即θ＝时，
△ABI的周长取得最大值4＋2，
所以△ABI周长的最大值为4＋2.
17. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，BM⊥平面ABCD，BM∥DN，BM＝2DN，E是线段MN上任意一点．
(1)证明：平面EAC⊥平面BMND；
(2)若∠AEC的最大值是，求三棱锥M－NAC的体积．
解　(1)证明：因为BM⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以AC⊥BM.
又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又BD∩BM＝B，BD，BM 平面BMND，
所以AC⊥平面BMND，
因为AC 平面EAC，
所以平面EAC⊥平面BMND.
(2)设AC与BD的交点为O，连接EO.因为AC⊥平面BMND，OE 平面BMND，则AC⊥OE，
又O为AC的中点，则AE＝CE，由余弦定理得cos∠AEC＝＝1－，∠AEC∈(0，π)．当AE最短时∠AEC最大，此时AE⊥MN，CE⊥MN，∠AEC＝，因为AC＝2，所以AE＝，OE＝.取MN的中点H，连接OH，以OA，OB，OH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设ND＝a，则A(1，0，0)，N(0，－，a)，M(0，，2a)，C(－1，0，0)，＝(－1，－，a)，＝(－1，，2a)，＝(1，－，a)，＝(1，，2a)．
设平面AMN的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即
取z1＝1，则x1＝，y1＝－，
所以n＝，
设平面CMN的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则即
取z2＝1，则x2＝－，y2＝－，
所以m＝.
因为∠AEC＝是二面角A－MN－C的平面角，
则|cos∠AEC|＝|cos〈m，n〉|
＝＝，
解得a＝或a＝.
由图可知a所以a＝，
因为MN＝＝＝，
AE＝，
S△EAC＝AE2sin＝××＝，
所以VM－NAC＝VM－EAC＋VN－EAC＝S△EAC·MN＝××＝.
18.甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
解　(1)由题意可知，X的所有可能取值为－1，0，1，
P(X＝－1)＝×＝，
P(X＝0)＝×＋×＝，
P(X＝1)＝×＝.
故X的分布列为
X －1 0 1
P
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝.
(2)由题意可知，
P1＝1，
P2＝1，
P3＝1－＝，
P4＝1－3×＝.
经分析可得，若第n轮没有得1分，
则Pn＝Pn－1；
若第n轮得1分，且第n－1轮没有得1分，则Pn＝Pn－2；
若第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分，则Pn＝Pn－3.
故Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3(n≥4)，
故a＝，b＝，c＝.
因为Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3，
故Pn＋1＝Pn＋Pn－1＋Pn－2.
故Pn＋1－Pn＝－Pn＋Pn－1＋Pn－2
＝－＋Pn－1＋Pn－2＝－Pn－3<0.
故Pn＋1P3>P4，
则P1＝P2>P3>P4>P5>…，
所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
19．伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数x>－1且x≠0，正整数n不小于2，那么(1＋x)n≥1＋nx.研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题：
(1)当α∈[1，＋∞)时，(1＋x)α≥1＋αx对任意x>－1恒成立；
(2)对任意n∈N*，1n＋2n＋3n＋…＋nn<(n＋1)n恒成立．
证明　(1)令f(x)＝(1＋x)α－1－αx，
当α＝1时，f(x)＝0，原不等式成立；
当α>1时，f′(x)＝α(1＋x)α－1－α＝α[(1＋x)α－1－1]，
当x∈(－1，0)时，(1＋x)α－1<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x) ≥f(0)＝0，即(1＋x)α≥1＋αx.
(2)要证对任意n∈N*，1n＋2n＋3n＋…＋nn<(n＋1)n恒成立，只需证＋＋＋…＋<1，
即证＋＋＋…＋<1，
由(1)知对于任意正整数i∈{1，2，3，…，n}，1－ ≤，
所以 ≤＝，
那么＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
下面证明 ≤成立，
要证 ≤成立，
只需证 ≤.
令＝x∈(0，1]，即证明2x≤x＋1成立．
令g(x)＝2x－1－x，则g′(x)＝2xln 2－1.
当0当log20，g(x)单调递增，
又g(0)＝0，g(1)＝0，所以当x∈(0，1]时，g(x) ≤0，
所以 ≤.
所以＋＋＋…＋ ≤＋＋＋…＋＋＝1－<1.
所以命题得证．

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