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随机变量及其分布
一、条件概率
1.定义：一般地，设为两个随机事件，且,称 = （利用古典概型）为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.
2.乘法公式：
3.条件概率的性质：条件概率只是缩小了
设①
②如果和是两个互斥事件，则＝
③设和互为对立事件，则
④则
4.全概率公式
（1）全概率公式：一般地，设是一组 的事件，且，则对任意的事件有 称上面的公式为全概率公式.
（2）贝叶斯公式：
实质还是条件概率公式，用贝叶斯之前需先用全概率公式把求出来.
离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.离散型随机变量的特点： 或可以 的随机变量.
...
...
2.离散型随机变量的分布列可以用如右侧表格表示.
具有如下性质：①
②=
离散型随机变量的均值（数学期望）和方差
① ，它反映了离散型随机变量取值的 .
② = ，它反映了离散型随机变量取值的 .
方差也可以记为，并称为随机变量的 ，记为.
③若，其中是常数，是随机变量，则 .
判断：（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（　　）
射击10次，命中目标的次数是离散型随机变量.（ ）
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之积.（ ）
随机变量的均值具有随机性，反映了样本的平均水平. （　　）
离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度，越大，随机变量的取值越集中在附近.（　　）
两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布
两点分布：也叫作 分布， ， （表示成功的概率）.
（1）伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为 .
注意：重伯努利试验的特征：①：每次试验的结果只有两个②每次试验的条件完全相同；③各次试验结果相互独立
二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为 ，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 , ， .
超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ,如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布， .
注意：（1）随机变量取值不一定是从，具体情况要根据题意来定.
（2）超几何分布的特征：①不放回抽样；②总体被分为明显的两类，且知道各类的个数；③随机变量表示其中一类的个数.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
二项分布的特征：①放回抽样；②重伯努利试验；③随机变量表示其中一个结果发生的次数.
二项分布和超几何分布最明显的区别就是是否放回，对于不放回抽样，当远小于，每抽取一次后，对的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似.
正态分布：若随机变量服从正态分布，记为 ， ， ，其正态密度函数为，当时，随机变量服从标准正态分布.
（1）正态曲线的特点
①曲线位于轴 ，与轴不相交；曲线是单峰的，呈钟型它关于直线 对称，峰值为 ；
②曲线与轴之间的面积为 ；
③决定曲线的 ，决定曲线的 ，当一定时， ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ； ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越分散.
原则
①
②
③
在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，并简称为原则.在解决连续型随机变量的密度曲线，求某区间的概率问题时，采用数形结合既方便又准确.
判断：（1）若随机变量服从两点分布，则.（　　）
（2）从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数服从超几何分布.（　　）
（3）一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，随机变量表示直至摸出黑球为止，则服从二项分布.（　　）
（4）重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.（　　）
（5）正态分布是对连续型随机变量而言的.（　　）
练习题
已知且，则　　　　.
已知是一个三位正整数，若的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称为递增数.已知，设事件“由组成三位正整数”，事件“由组成的三位正整数为递增数”，则　　　　.
某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.则甲、乙、丙三个家庭中有1个家庭回答正确这道题的概率为　　　　.
有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为　　　　.
在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少答对其中4道算通过，至少答对其中5道算优秀.已知某考试能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率　　　　.
设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示试验的成功次数，则　 .
－2 －1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围为　　　　.
一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，则　　　　.
已知随机变量的分布列为：
－1 0 1
其中成等差数列，则　　　　，公差的取值范围是　　　　.
离散型随机变量满足，其中是常数，则　　　.
已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则　　　.
在如图所示的正方形区域中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：）　　 　.
13.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
（2）记为1名顾客1次摸奖机会获得的奖金数额，求随机变量的分布列.
14.面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床.设新机床生产的零件的直径为（单位：mm）.
（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个.若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求的分布列及均值；
（2）若新机床生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率.
参考数据：
若，则，,，，.
15.某社区组织开展“普法”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“学法用法依法治国”“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“学法用法依法治国”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘学法用法依法治国’卡的概率是.”
（1）求抽奖者获奖的概率；
（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列、均值和方差.
16.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制成如下表格：
配置型号 甲 乙 丙 丁
频数 25 40 15 20
（1）每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上消费者的购机情况，估计该商场销售一部该款手机的平均利润；
（2）该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的配置型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的分布列及期望.

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