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2023学年第一学期九年级期末试卷
数学
（满分：120分 考试时间：120分钟）
温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x＋2＝0 B． C．3x＋y＝5 D．
2．下列事件为随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起 B．抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7
C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
3．抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如果反比例函数的图象经过点（2，－4），那么下列各点在这个函数图象上的是（ ）
A．（4，－2） B．（－2，－4） C．（－1，－8） D．（1，8）
5．若扇形的半径是10cm，圆心角为54°，则该扇形的弧长是（ ）
A．2πcm B．3πcm C．6πcm D．15πcm
6．某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式的解集是（ ）
（第7题）
A．或 B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，AC与DE交于点F，若，△AEF的面积为3，则△CDF的面积是（ ）
（第8题）
A．30 B．27 C．12 D．6
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在DC上，若以AE为直径的⊙O与BC相切，则CE的长为（ ）
（第9题）
A．1 B． C． D．
10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转得到AE，使∠EAD＝∠CAB，连接DE，CE，若，EC＋CD＝12，则DE的长为（ ）
（第10题）
A． B． C． D．10
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在每一个象限内，反比例函数随x的增大而增大，则k的值可以是______．（填写一个即可）
12．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是______．
13．“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880
合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为______．（结果精确到0.01）
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的度数为______°．
（第14题）
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在弦AC上，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积是______．
（第15题）
16．已知点和点都在抛物线上．
（1）若，则k＝______；
（2）若，则k的取值范围是______．
三、解答题（本题共8小题，其中第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．解方程：（1）； （2）．
18．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的位置如图所示，顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（4，2）．
（1）作出△OAB关于原点O对称的，其中点A的对称点为点；
（2）直接写出点，的坐标．
（第18题）
19．电动汽车有零排放、低噪音及用车成本低等优点．在某次环保宣传活动中，主办单位计划在A，B，C，D，E五辆电动汽车中随机选出部分车辆作为宣传车．
（1）若只选出一辆电动汽车作为宣传车，则选到电动汽车C的概率是______；
（2）若先在电动汽车A，B，C中选出一辆，再在电动汽车D，E中选出另一辆，将这两辆汽车作为宣传车，请用列表或画树状图的方法，求选到电动汽车B，D的概率．
20．电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是它们的部分对应值：
频率f（MHz） 10 15 20 25
波长（m） 30 20 15 12
（1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率f的变化规律？并求出与f的函数解析式；
（2）当电磁波的频率不超过50MHz时，波长至少是多少米？
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕着点B顺时针旋转得到△BDE，点C的对应点D落在AB上，连接AE．
（1）若BC＝6，AC＝8，求AE的长；
（2）若D为AB的中点，求证：△ABE是等边三角形．
（第21题）
22．根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如右图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如右图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5m．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如右图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m．
问题解决
任务1 分析测量原理 利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2 完善测量数据 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度．
任务3 推理计算高度 利用素材3求出旗杆的高度．
23．为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为p＝－5x＋b，且当p＝300元时，观光车可全部租出，B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）．
（1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式；
（2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值；
（3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客a（a＜200）元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值．
24．如图，点A，B，C在⊙O上，OC⊥AB，垂足为点M，连接OA，BC．
（1）如图1，若∠AOC＝72°，则∠BCO＝______°；
（2）如图2，作CD⊥OA，垂足为点D，求证：OD＝OM；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DM并延长，交BC于点N．
①求证：BN＝CN；
②若MN＝5，MD＝3，求半径OA的长．
（第24题）

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