2024年中考数学一轮专题复习 第二章 方程与不等式 第2节 一元二次方程 学案(含答案)

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2024年中考数学一轮专题复习 第二章 方程与不等式 第2节 一元二次方程 学案(含答案)

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中考数学第一轮复习
第二章 方程与不等式
第2节 一元二次方程
【知识清单】
一、一元二次方程的概念
1. 一元二次方程的定义:化简整理后,只含有 个 ,并且 的最高次数
是 次,这样的 方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般式是: (其中a、b、c为常数,a ),其中 是二次项, 是二次项系数; 是一次项, 是一次项系数; 是常数项.
3.一元二次方程的根:能使一元二次方程成立的 称为一元二次方程的解(根).
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法: 依据的是平方根的意义,适用于易于化成ax2=p或a(mx+n)2=p的形式;当a、p同号或只p=0时,即可求解,其他情况无解;
2.配方法: 把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左端配成一个含有未知数的完全平方式,右端是一个非负常数,进而可用直接开平方法来求解。
【步骤归纳】(1)移项;(2)二次项系数化成1;(3)配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方);(4)开平方根。配方法适用于解所有一元二次方程,但具体情况适用于二次项系数化1后,一次项系数为“偶数”时,适用此法较为简单;
公式法:利用求根公式,把一元二次方程的各系数代入求根公式,直接求出方程的解。
【步骤归纳】 (1)把方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; (3)计算b2-4ac的值; (4)当b2-4ac≥0时,把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求得方程的根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根。 需要注意的是:公式法是解一元二次方程的一般方法,又叫万能方法,对于任意一个一元二次方程,只要有解,就一定能用求根公式解出来。
因式分解法: 先因式分解,使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次求解的目的。
【步骤归纳】(1)移项:将方程的右边化为0; (2)化积:把左边因式分解成两个一次式的积;(3)转化:令每个一次因式都等于0,转化为两个一元一次方程; (4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
需要注意的是:(1)在方程的右边没有化为0前,不能把左边进行因式分解;(2)不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解,即因式分解法只适用部分一元二次方程。
的,等式左右两边相等的未知数的值。
三、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,用“△”表示(读做“delta”),即△=b2-4ac。
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当△<0时,方程没有实数根,方程有两个共轭虚根。
(1)和(2)合起来:当△≥0时,方程有两个实数根。
四、一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 两根为x 、x 那么有如下关系:x1+x2= - ,x1 x2=
注意:根与系数的关系成立的前提是方程存在实数根,也就是当△≥0时.
五、一元二次方程常见应用题型
1.增长率(下降率)问题
【例】今年来某县加大了对教育经费的投入,2023年投入2500万元,2015年投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
A. 2500x2=3500 ( B.2500(1+x)2=3500
C. 2500(1+x%)2=3500 D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
解:设增长率为x,根据题意得2500×(1+x)2=3500,故选B.
2.数字类问题
【例】已知一个两位数的十位数字比个位数字大 2,两位数字的积比这个两位数小34,求这个两位数。
解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为x+2
根据题意,得x(x+2)+34=10(x+2)+x
解得x1=2,x2=7
当x=2时,x+2=4当x=7时,x+2=9. (认
所以这个两位数为42或97
3.营销类问题
【例】为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元。
解:设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元.
根据题意,得(x﹣3)(500﹣10×)=800
解得x1=7,x2=5.
售价不能超过进价的200%,x≤3×200%.
即x≤6,所以x=5
答:每个粽子的定价为5元时,每天的利润为800元。
4.面积类问题
【例】如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道。若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程()
x2+9x﹣8=0 B.x2﹣9x﹣8=0
C.x2﹣9x+8=0 D.2x2﹣9x+8=0
解:设人行道的宽度为x米,根据题意得,(18﹣3x)(6﹣2x)=60,
化简整理得,x2﹣9x+8=0
故选C
动态类问题
例1、如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm
解:(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,则PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式得(16﹣3x+2x)×6=33,解之得x=5 (
(2)设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,作QE⊥AB,垂足为E,则QE=AD=6,PQ=10,
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|,
由勾股定理,得(16﹣5t)2+62=102,
解得t1=4.8,t2=1.6
答:(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;
从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm.
巩固提升专练
1.下列关于的方程中,属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.把方程化成一般式,则,,的值分别是 ( )
A. ,, B. ,, C. ,, D. ,,
3.若,为方程的两根,则的值为( )
A. B. C. D.
4.下表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值:
那么方程的一个根在范围之间.( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D. 且
6.如果,是方程的两根,那么代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.方程是关于的一元二次方程,则的值为_____.
8.如关于的一元二次方程一个根为,则______.
9.方程的根是 .
10.如果一元二次方程的两个根为,,则 .
11.用恰当的方法解下列方程


12. 已知关于的一元二次方程.
如果该方程有实数根,求实数的取值范围;
如果该方程有两个相等的实数根,求出这两个根.
13.已知关于的方程.
求证:无论取何实数值,方程总有实数根;
若等腰三角形的一边,另两边长,恰好是这个方程的两个根,求的周长
14.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
求的取值范围.
设,分别是方程的两个根,且,求的值.
15. 某厂家专门为产品生产包装盒,该厂有一种特制的矩形包装盒的原材料,长,宽为.
已知该公司年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为万元,并预计年的销售额为万元,假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同,设为,那么根据题意列出的方程为__________________;
该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形,又剪去了两个全等的矩形,剩余部分制成了底面积为的有盖包装盒边缘损耗忽略不计,则剪去的正方形边长为_____ ,
已知该矩形包装盒的生产成本为元个,市场调研发现:如果以元个销售,每天可以售出个为了减少库存,厂家决定降价销售,根据近期销售情况发现,销售单价每降低元,销售量就会增加个,在尽可能减少库存的情况下,该厂家将售价定为多少元时,每天的销售利润为元?
巩固提升专练 参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
8.
9. ,
10.
11. 解:,,,


,;




或,
,.
12. 解:根据题意得,
解得;
根据题意得,
解得,
原方程变形为,

所以.
13. 证明:关于的方程,

则无论取何实数值,方程总有实数根;
解:当时,,方程为,
解得:,
此时三边长为,,,周长为;
当或时,把代入方程得:,
解得:,此时方程为:,
解得:,,
此时三边长为,,,周长为,
综上所述,的周长为或.
14.

15.解:根据题意列出的方程为.
故答案为:;
设底面长为,宽为,正方形的边长为,
根据题意得:
由得,由得,
把、的值代入中,得,
整理得:,
解得,舍去,
答:剪去的正方形的边长为.
设该厂家将售价定为元时,每天的销售利润为元,
根据题意,得,
解得,,
要尽可能减少库存,
价格越低,销售量越大,

答:该厂家将售价定为元时,每天的销售利润为元.

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