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专题05 一次、二次方程与方程组
考点解读 在中考中，主要考查一元一次方程和二元一次方程的解法，常以选择题、填空题和计算题考查为主；一次方程的实际应用常在解答题中与不等式、一次函数的实际应用结合考查，一元二次方程的概念主要在选择题和填空题中考查，解一元二次方程（包括配方法）以选择题、填空题和计算题考查，一元二次方程根的判别式常以选择题、填空题考查，一元二次方程应用常在选择题、填空题和解答题的第一间考查．
考向01 等式的性质
考向02 一元一次方程的解
考向03 解一元一次方程
考向04 一元一次方程的实际应用
考向05 二元一次方程（组）的解
考向06 二元一次方程组的实际应用
考向07 一元二次方程的解
考向08 解一元二次方程
考向09 一元二次方程的根与系数的关系
考向10 一元二次方程的实际应用
【母题1】根据等式的性质，下列各式变形正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【母题2】在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是　　
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【母题3】设，，为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
方法技巧 1．性质1中“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同． 2．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0．
【母题1】关于的一元一次方程的解为，则的值为　　
A．3 B． C．7 D．
【母题2】若，则关于的方程解的取值范围为　　
A． B． C． D．
【母题3】方程的解是　　
A． B． C． D．
方法技巧 （1）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解． （2）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个． （3）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，解方程是求解的过程，要区别开．
【母题1】小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是　　
A．① B．② C．③ D．④
【母题2】小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【母题3】解方程：．
方法技巧 1．合并同类项的实质是系数的合并，字母及指数都不变； 2．系数合并时要连同前面的“±”号，如–3x+2x=5应变成（–3+2）x=5，即–x=5； 3．系数合并的实质是有理数的加法运算； 4．移项时，所移的项一定要变号，而且必须是从方程的一边移到方程的另一边． 5．去括号：把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号． （1）去括号的依据：分配律． （2）去括号的法则：将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，按照分配律与括号内各项相乘．括号外的因数是正数，去括号后各项符号与原括号内相应的各项符号相同；括号外的因数是负数，去括号后各项符号与原括号内相应的各项符号相反． （3）对于多重括号的，可以先去小括号，再去中括号，若有大括号，最后去大括号，或由外向内去括号，有时也可用去分母的方法去括号．
【母题1】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得　　
A． B．
C． D．
【母题2】某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【母题3】某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：
投中位置 区 区 脱靶
一次计分（分 3 1
在第一局中，珍珍投中区4次，区2次．脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求的值．
方法技巧 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审：理解题意．弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么．
（2）设：设元（未知数）：用含未知数的代数式表示相关的量．
①直接未知数；②间接未知数（往往二者兼用）．
（3）列：寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程． （4）解：解所列出的方程，求出未知数的值． （5）验：检验方程的解是否符合问题的实际意义．
（6）答：写出答案． 2．列一元一次方程解应用题的关键是：找相等关系． 3．设未知数的几种方法： （1）直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数． （2）间接设未知数：间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，列出方程求出未知数的值，进而得到所求的量． （3）设辅助未知数：设某个量为辅助未知数作为题目中量与量之间的桥梁．一般情况下，解方程时不需要求出这个量．
【母题1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为
　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【母题2】已知是方程的解，则代数式的值为 　　．
【母题3】已知关于，的方程组的解满足，则的值为 　　．
方法技巧 检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．
【母题1】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得　　
A． B． C． D．
【母题2】2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售，两种查干湖野生鱼，如果购买1箱种鱼和2箱种鱼需花费1300元：如果购买2箱种鱼和3箱种鱼需花费2300元．分别求每箱种鱼和每箱种鱼的价格．
【母题3】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
方法技巧 一、行程问题 1．相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离． 2．追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程． 二、配套问题 产品配套问题是指某件产品是由几个部件配套加工而成的，而部件的数量并不完全相同，在生产过程中，为了使每个部件生产的数量恰好符合组装所需，而不产生积压．各部件的数量不一定相等，但存在一定数量关系： 三、几何图形问题 对于图形问题的求解，要会通过对图形的观察比较、分析，发现隐含在图形中的数量关系，这是解决有关图形问题的关键．图形中隐含的数量关系有边长之间的关系、面积之间的关系，等等． 四、方案问题 优化方案问题先要列举出所有可能的方案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，从中选择最优．
【母题1】若是关于的方程的解，则的值为 　　．
【母题2】若是关于的一元二次方程的一个根，则　　．
【母题3】若是方程的根，则　　．
方法技巧 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【母题1】用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
【母题2】（2022 东营）一元二次方程的解是　　
A．， B．，
C．， D．，
【母题3】解方程：．
方法技巧 1．直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解：（ⅰ）当时，，；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，方程无实数根． 2．利用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； （2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式； （4）用直接开平方解变形后的方程． 解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．公式法 利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解． 4．因式分解法 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【母题1】已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　．
【母题2】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值．
【母题3】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．
方法技巧 涉及两根的代数式的重要变形： （1）； （2）； （3）； （4）．
【母题1】近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【母题2】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【母题3】为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
方法技巧 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系． 2．设：设出未知数． 3．列：找出相等关系，列出方程． 4．解：解方程，求出未知数的值． 5．验：检验方程的解是否符合实际意义． 6．答：写出答案．
一、选择题
1．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程　　
A． B． C． D．
2．若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
3．关于的方程与方程的解相同，则常数是　　
A． B．3 C．2 D．
4．在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，设该班投稿的同学有人，巧克力有盒，根据题意得方程组　　
A． B． C． D．
5．若关于、的方程的解满足，则的值为　　
A． B． C．0 D．不能确定
6．关于的方程是一元二次方程，则的值是　　
A． B．3 C．1 D．1或
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
　　
A． B． C．，且 D．，且
8．已知方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
二、填空题
9．方程有三个实数根，则　　．
10．小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
第①步
第②步
第③步
第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 　　（填序号）．
三、解答题
11．解方程组．
12．已知关于的一元二次方程．
（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根，满足，求的值．
13．某草莓采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 带出草莓价格
不超过10人 超过10人 20元人 30元斤
30元人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价
（1）某社团共32人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1240元，求本次活动他们最多共带出草莓多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织团建活动，共支付票价391元，求这次参加团建的共多少人？

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