资源简介

5.3简单的轴对称图形
北师大版七年级下册寒假预习
学习目标
1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)　　　
3．理解线段的垂直平分线的概念；
4．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)
5．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)
6．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)
7．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
考点类型梳理及方法总结
探究点：等腰三角形的性质
【类型一】 利用“等边对等角”求角度
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
【类型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明
方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．
【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
探究点：线段垂直平分线的性质
【类型一】 利用线段垂直平分线的性质进行证明
方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．
【类型二】 利用线段垂直平分线的性质进行判断
方法总结：AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的．
【类型三】 与线段垂直平分线有关的计算
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．
【类型四】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
探究点：线段垂直平分线的作图
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
探究点一：角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
探究点：角平分线的画法
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
预习检测
一．选择题
1．（2023秋 安溪县期末）如图，在，的垂直平分线交于，若，，则的周长是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023秋 特克斯县期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是　　
A．2 B．3 C． D．4
3．（2023秋 衡阳期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是　　
A． B． C． D．或
4．（2023秋 裕华区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是　　
A． B． C． D．
5．（2023秋 杜尔伯特县期末）已知等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为　　
A． B． C． D．
6．（2023秋 青龙县期末）等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数为　　
A． B． C．或 D．
7．（2023秋 宣化区期末）如图，在中，，是边上的中点，，则等于　　
A． B． C． D．
8．（2023秋 虹口区校级期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
9．（2023秋 禹城市期中）如图，射线平分，点、分别在射线、上，若，的面积为10，过点作于点，则的长为　　
A．10 B．5 C．4 D．3
10．（2023秋 东莞市期末）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长不可能是　　
A．4 B．3.5 C．2 D．1.5
11．（2023秋 咸安区期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，的周长为　　
A．16 B．13 C．19 D．10
12．（2022秋 金平县期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪　　
A．三条角平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
13．（2023秋 四平期末）等腰三角形的顶角为，则它的一个底角是　　
A． B． C． D．
14．（2023 绵阳）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则　　
A． B．6 C．8 D．
15．（2023秋 官渡区期末）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为　　
A． B． C． D．或
16．（2022秋 海沧区校级期末）如图，在四边形中，，平分，，，则的面积是　　
A．3 B．4 C．6 D．12
17．（2023秋 合江县期中）一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 9 ，则这个三角形的周长是　　
A ． 19 B ． 23 C ． 19 或 23 D ． 20
18．（2023秋 章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是　　
A． B． C．或者 D．
19．（2022秋 费县期末）已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为　　
A．13 B．8 C．10 D．8或13
20．（2023秋 西丰县期末）如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则的面积为　　
A．7.5 B．8 C．9 D．12
二．填空题
21．（2023秋 惠州期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 　　．
22．（2023秋 黔江区期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为　　．
23．（2023 九龙坡区校级开学）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则　　．
24．（2023秋 江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是　 　．
25．（2023秋 永春县校级月考）等腰三角形两条边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 　　．
26．（2023秋 博尔塔拉州期末）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 　　．
27．（2022秋 南宁期末）在中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为 　　．
28．（2023秋 双桥区校级期末）如图，是的角平分线，于点，于点，点是上的点，点是上的点．
（1）与是否相等？　　（填“是”或“否” ；
（2）若，则　　．
29．（2023秋 中江县期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是 　 　．
30．（2022秋 曾都区期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与、重合），连接，作，交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　　．
31．（2023秋 源汇区校级期中）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则　　．
32．（2023秋 德化县期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 　　．
33．（2023秋 东港区校级期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　　．
34．（2021秋 利辛县期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能将其分割成两个等腰三角形，则的度数是 　　．
35．（2023秋 海淀区校级期中）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 　　．
36．（2023秋 藁城区期末）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接 　　根．
37．（2023秋 深圳校级期末）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为 　　．
38．（2022秋 琼山区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是 　　．
39．（2023秋 裕华区期末）如图，中．，，，若动点从点开始．按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒
（1）若为直角三角形，则的取值是 　　；
（2）若为等腰三角形．则的值是 　　．
40．（2023秋 通州区期末）如图，在中，边，的垂直平分线相交于点．若，则　　度．
三．解答题
41．（2022秋 昌黎县期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，求证：．
42．（2023秋 金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和．
（1）若的周长为12，求的长；
（2），求的度数．
43．（2023秋 龙山区期末）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
44．（2023秋 肃宁县期中）如图，与相交于点，且是的垂直平分线，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
45．（2022秋 南昌县期末）如图所示，中，，于点，于点，交于．
（1）若，求的度数；
（2）若点是的中点，求证：．
46．（2023秋 白云区校级期中）在中，，，平分，交于点，点与点关于直线对称，连接，，延长交于点，过点作于．
（1）补全图形；
（2）直接写出、、之间的相等关系：　　；
（3）求证：．
47．（2023春 桃城区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
48．（2023秋 天津期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．
（1）与的数量关系为　　．
（2）求的长．
（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．
49．（2023 越秀区校级三模）如图所示，，，，，求的大小．
50．（2022秋 思明区期末）如图，为线段的垂直平分线，在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，．若，求证：．
51．（2023 蓬江区校级三模）如图，于，于，若，
求证：平分．
52．（2023秋 静安区校级期中）已知：如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求证：．
53．（2023秋 合浦县期中）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，连接，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
54．（2023秋 蛟河市期末）问题背景：如图，在中，．在的延长线上取点，，作，使．
（1）探究一：当时．
①若，求的度数；
②若，则的度数用含的式子表示为 　　，的度数为 　　．
（2）探究二：若，直接写出的度数．
55．（2023秋 高新区校级期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接．
（1）求证：；
（2）若的周长为，，则的长为多少？
56．（2023秋 杭州期中）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
57．（2023秋 于都县期中）如图所示，、分别是的边、上的点，且，．
（1）若，则　　；
（2）若，则　　；
（3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、所满足的关系吗？请说明理由．
58．（2022秋 濉溪县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长是，求的长．
59．（2022秋 泸县期末）如图，在中，，，平分交于点，求的度数．
60．（2022秋 梁山县期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为　　．
5.3简单的轴对称图形
【答案版】
学习目标
1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)　　　
3．理解线段的垂直平分线的概念；
4．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)
5．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)
6．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)
7．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
考点类型梳理及方法总结
探究点：等腰三角形的性质
【类型一】 利用“等边对等角”求角度
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
【类型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明
方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．
【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
探究点：线段垂直平分线的性质
【类型一】 利用线段垂直平分线的性质进行证明
方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．
【类型二】 利用线段垂直平分线的性质进行判断
方法总结：AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的．
【类型三】 与线段垂直平分线有关的计算
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．
【类型四】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
探究点：线段垂直平分线的作图
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
探究点一：角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
探究点：角平分线的画法
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
预习检测
一．选择题
1．（2023秋 安溪县期末）如图，在，的垂直平分线交于，若，，则的周长是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由的垂直平分线交于，可得，又由，，的周长，即可求得答案．
【解答】解：的垂直平分线交于，
，
，，
的周长是：．
故选：．
2．（2023秋 特克斯县期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是　　
A．2 B．3 C． D．4
【答案】
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可得到答案．
【解答】解：点是平分线上一点，，，
点到边的距离是2；
故选：．
3．（2023秋 衡阳期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是　　
A． B． C． D．或
【答案】
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当角为顶角时，则顶角为，
当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为，
故选：．
4．（2023秋 裕华区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
5．（2023秋 杜尔伯特县期末）已知等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是和底角是，进而求得它的顶角的度数．
【解答】解：等腰三角形中的一个底角为，等腰三角形的两底角相等，
等腰三角形的顶角度数为：，
故选：．
6．（2023秋 青龙县期末）等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数为　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况．
【解答】解：当为顶角时，底角为：．
也可以为底角．
故选：．
7．（2023秋 宣化区期末）如图，在中，，是边上的中点，，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质可得到，再由的度数即可求出的度数．
【解答】解：在中，已知，是边上的中点，
，
，
，
，
故选：．
8．（2023秋 虹口区校级期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理可求，根据垂直平分线性质，，，则，，从而可得，即可得到，即可得解．
【解答】解：，
，
的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，
，，
，，
，
．
故选：．
9．（2023秋 禹城市期中）如图，射线平分，点、分别在射线、上，若，的面积为10，过点作于点，则的长为　　
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】
【分析】过点作，垂足为，先根据三角形的面积求出的长，然后利用角平分线的性质可得，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
，的面积为10，
，
，
射线平分，，，
，
故选：．
10．（2023秋 东莞市期末）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长不可能是　　
A．4 B．3.5 C．2 D．1.5
【答案】
【分析】根据角平分线的性质得到点到的距离等于，根据垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
【解答】解：平分，，
点到的距离等于，即点到的距离为2，
．
故选：．
11．（2023秋 咸安区期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，的周长为　　
A．16 B．13 C．19 D．10
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为13，
，
的周长，
故选：．
12．（2022秋 金平县期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪　　
A．三条角平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答．
【解答】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点．
故选：．
13．（2023秋 四平期末）等腰三角形的顶角为，则它的一个底角是　　
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．
【解答】解：一个等腰三角形的顶角为，
它的底角．
故选：．
14．（2023 绵阳）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则　　
A． B．6 C．8 D．
【答案】
【分析】先由等边三角形的性质，得，，，再根据，得，进而得，则，然后在中，由勾股定理求出即可．
【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故选：．
15．（2023秋 官渡区期末）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为　　
A． B． C． D．或
【分析】分类讨论，①若是顶角；②若是底角，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可求度数．
【解答】解：①若是顶角，则底角；
②若是底角，那么顶角．
故选：．
16．（2022秋 海沧区校级期末）如图，在四边形中，，平分，，，则的面积是　　
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，由角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，
平分，，，
，
，
．
故选：．
17．（2023秋 合江县期中）一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 9 ，则这个三角形的周长是　　
A ． 19 B ． 23 C ． 19 或 23 D ． 20
【分析】根据等腰三角形的性质， 分两种情况：①当腰长为 5 时，②当腰长为 6 时， 解答出即可 ．
【解答】解： 根据题意，
①当腰长为 5 时， 周长；
②当腰长为 9 时， 周长．
故其周长为 19 或 23 ，
故选：．
18．（2023秋 章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是　　
A． B． C．或者 D．
【答案】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①为腰，为底，此时周长为；
②为底，为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
其周长是．
故选：．
19．（2022秋 费县期末）已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为　　
A．13 B．8 C．10 D．8或13
【答案】
【分析】根据腰为6和1，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为．
故选：．
20．（2023秋 西丰县期末）如图，中，是的角平分线，，是中点，连接，若，，，则的面积为　　
A．7.5 B．8 C．9 D．12
【答案】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而得到，再由是中点，即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，，
，
，
是中点，
，
故选：．
二．填空题
21．（2023秋 惠州期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 　15　．
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故答案为：15．
22．（2023秋 黔江区期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为　或　．
【分析】分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是的边是腰时，底边长是：，等腰三角形成立．
故底边长是：或．
故答案为：或
23．（2023 九龙坡区校级开学）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则　62　．
【答案】62．
【分析】首先根据角平分线定义得到．结合为的中垂线，可得．然后根据三角形的内角和等于，结合，可以得到的度数，即可得的答案．
【解答】解：为的角平分线，
．
为的中垂线，
，
，
，
又，
．
，，且的内角和为，
，
，，
，
答的度数为．
故答案为：62．
24．（2023秋 江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是　12　．
【分析】通过等式可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可．
【解答】解：因为，所以，．
又因为是等腰三角形，所以三边长为5，5，2，2或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去）
所以周长为．
故填12．
25．（2023秋 永春县校级月考）等腰三角形两条边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 　　．
【答案】．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：当等腰三角形的腰为，底为时，，，不能够组成三角形；
当等腰三角形的腰为，底为时，，，能够组成三角形，此时周长为．
则这个等腰三角形的周长是．
故答案为：．
26．（2023秋 博尔塔拉州期末）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 　17　．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
27．（2022秋 南宁期末）在中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为 　5　．
【答案】5．
【分析】设，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再利用等边三角形的性质可得，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：设，
，平分，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
等边三角形的边长为5，
故答案为：5．
28．（2023秋 双桥区校级期末）如图，是的角平分线，于点，于点，点是上的点，点是上的点．
（1）与是否相等？　是　（填“是”或“否” ；
（2）若，则　　．
【答案】是180
【分析】（1）根据角平分线的性质定理，判断作答即可；
（2）证明，可求，根据，计算求解即可．
【解答】解：（1）是的角平分线，，，
，
故答案为：是；
（2）在与中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：180．
29．（2023秋 中江县期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是 　12　．
【答案】12．
【分析】过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，由角平分线的性质得到PL＝PH，PK＝PH，因此PL＝PK，由三角形面积公式求出PH＝2，得到PK＝PL＝2，由△OMN的面积+△PMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积＝（OM+ON） PK＝10，求出OM+ON＝10，即可得到△OMN的周长＝OM+ON+MN＝10+2＝12．
【解答】解：过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，
∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，
∴PL＝PH，PK＝PH，
∴PL＝PK，
∵MN＝2，△PMN的面积＝MN PH＝2，
∴PH＝2，
∴PK＝PL＝2，
∵△POM的面积＝OM PL，△PON的面积＝ON PK，
∴△OMN的面积+△PMN的面积＝△POM的面积+△PON的面积＝（OM+ON） PK＝8+2＝10，
∴OM+ON＝10，
∴△OMN的周长＝OM+ON+MN＝10+2＝12．
故答案为：12．
30．（2022秋 曾都区期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与、重合），连接，作，交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　或　．
【答案】或．
【分析】先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
分三种情况：
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不符合题意；
当时，
，
；
当时，
，
；
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
31．（2023秋 源汇区校级期中）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则　10　．
【答案】10．
【分析】根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【解答】解：，，为中点，为的角平分线，
，到的距离到的距离，
，
的面积记为，的面积记为，则，
故答案为：10．
32．（2023秋 德化县期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 　15　．
【答案】15．
【分析】先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解．
【解答】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线，
，
，，
的周长为，
故答案为：15．
33．（2023秋 东港区校级期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　或　．
【答案】或．
【分析】分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当8为腰长时，
等腰的周长为20，
的底边长为：，
“优美比”为；
当8为底边长时，
的腰长为：，
“优美比”为；
故答案为：或．
34．（2021秋 利辛县期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能将其分割成两个等腰三角形，则的度数是 　或或　．
【答案】或或．
【分析】题中没有指明直线是经过顶角的顶点还是底角的顶点，故应该分情况进行分析，从而不难求解．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当直线通过等腰三角形的顶点时，顶角为；
图1，，，，
，，
设；
，
，
，
，
；
②当直线通过等腰三角形的底角顶点时，顶角：、，
图，，，
，，
，
，
，
，
图，，．
同理可得，
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
35．（2023秋 海淀区校级期中）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 　3或6　．
【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：等腰是倍长三角形，
腰长底边长的2倍或底边长腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或12，
，
此时不能构成三角形，
底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
，
此时不能构成三角形，
底边长是6，腰长是12，
的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
36．（2023秋 藁城区期末）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接 　17　根．
【答案】17．
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：添加的钢管长度都与相等，，
，
，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是，第八个是，，第十八个是就不存在了．
所以一共有17个．
故答案为：17．
37．（2023秋 深圳校级期末）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为 　6　．
【答案】6．
【分析】过点作于点，于点，于点，如图，先根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理计算出，利用三角形面积公式计算出，由于，所以，从而可求出，然后利用得到，所以．
【解答】解：过点作于点，于点，于点，如图，
平分，平分，与交于点，
，，
，
，，，
，，
，
，
即，
解得，
点的直线平分面积，
，
，
．
故答案为：6．
38．（2022秋 琼山区校级期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是 　18　．
【答案】18．
【分析】过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过作于，
，
，
平分，
，
的面积是，
故答案为：18．
39．（2023秋 裕华区期末）如图，中．，，，若动点从点开始．按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒
（1）若为直角三角形，则的取值是 　或　；
（2）若为等腰三角形．则的值是 　　．
【答案】（1）或；（2）3秒或5.4秒或6秒或．
【分析】（1）当点在线段上，或时，满足条件；
（2）先根据勾股定理计算出，然后分类讨论：当时，为等腰三角形，若点在上得，若点在上，则；当时，为等腰三角形，作于，如图，根据等腰三角形的性质得，则可判断为的中位线，则，易得；当时，为等腰三角形，则，易得．
【解答】解：（1），动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
在上运动时为直角三角形
，
当在上时，时，为直角三角形（如图1中），
，
，
解得：，
，
，
速度为每秒，
，
综上所述：当或，为直角三角形；
故答案为：或；
（2），，，
，
当时，为等腰三角形，若点在上，；
若点在上，，作于，如图，，在中，，
则，
，此时；
当时，为等腰三角形，作于，如图，
则，
为的中位线，
，即，
；
当时，为等腰三角形，即，
，
，
综上所述，为或或或时，为等腰三角形．
故答案为：3秒或5.4秒或6秒或．
40．（2023秋 通州区期末）如图，在中，边，的垂直平分线相交于点．若，则　140　度．
【答案】140．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，所以，，结合图形计算即可．
【解答】解：如图，连接，
边，的垂直平分线相交于点，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：140．
三．解答题
41．（2022秋 昌黎县期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论；
（2）根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：是的角平分线，、分别是和的高，
，
在与中，
，
，
，
，
垂直平分；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
．
42．（2023秋 金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和．
（1）若的周长为12，求的长；
（2），求的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解；
（2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可．
【解答】解：（1）和分别垂直平分和，
，，
的周长，
的周长为12，
；
（2），，
，，
，
，
．
43．（2023秋 龙山区期末）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数；
（2）作于，于，如图2，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】解：（1）平分，
，
平分，
，
；
（2）作于，于，如图2，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积．
44．（2023秋 肃宁县期中）如图，与相交于点，且是的垂直平分线，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）7．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得到，，进而利用证明，即可证明；
（2）由（1）得，则，由全等三角形的性质得到，再证明，即可得到．
【解答】（1）证明：是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
45．（2022秋 南昌县期末）如图所示，中，，于点，于点，交于．
（1）若，求的度数；
（2）若点是的中点，求证：．
【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接，根据，且点是的中点，得到，，证得后即可证得．
【解答】解：（1），
，
，，
，
在中，
，
，
，
．
（2）连接
，且点是的中点，
，，
，
，
，
．
46．（2023秋 白云区校级期中）在中，，，平分，交于点，点与点关于直线对称，连接，，延长交于点，过点作于．
（1）补全图形；
（2）直接写出、、之间的相等关系：　　；
（3）求证：．
【答案】（1）见详解；（2）．证明见详解；（3）见详解．
【分析】（1）根据题干做法画出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形和角平分线的性质，可得；
（3）延长交于点，连接，利用和全等得到，再用三线合一得到等量代换即可得到结果．
【解答】（1）解：补全图形如图：
（2）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
平分，，，
，，
，，
，
，
，
即：．
故答案为：．
（3）证明：如图，延长交于点，连接，
点与点关于直线对称，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
和，
，
在中，
，，
，
，
平分，
（三线合一），
，即．
47．（2023春 桃城区校级期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到的周长；
（2）根据等腰三角形的“两个底角相等”得到，所以由三角形内角和定理易求的度数．
【解答】解：（1）如图，是的垂直平分线，
，
，，
的周长是：；
（2）如图，，，
，
又，
，
．
48．（2023秋 天津期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．
（1）与的数量关系为　　．
（2）求的长．
（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．
【答案】（1）；
（2）6；
（3）5．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）是线段的垂直平分线，
，
故答案为：；
（2）是线段的垂直平分线，
，
的周长为6，
，
，即；
（3）是线段的垂直平分线，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为16，，
，
．
49．（2023 越秀区校级三模）如图所示，，，，，求的大小．
【答案】．
【分析】由可得，根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：，
，即，
在与中，
，
，
．
50．（2022秋 思明区期末）如图，为线段的垂直平分线，在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，．若，求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据垂直平分线的性质得出，进而证明，得出是等腰的顶角的角平分线，即可得证．
【解答】证明：为线段的垂直平分线，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是的顶角的角平分线，
．
51．（2023 蓬江区校级三模）如图，于，于，若，
求证：平分．
【分析】由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分．
【解答】证明：，，
，
在和中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
平分．
52．（2023秋 静安区校级期中）已知：如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求证：．
【答案】见详解．
【分析】延长三线合一得到，等边对等角得到，利用外角性质即可证明．
【解答】证明：如图，延长交于点，
是的角平分线，，垂足为．
（三线合一），
（等边对等角），
（三角形外角性质），
．
53．（2023秋 合浦县期中）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，连接，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
【答案】（1）的度数为；
（2）．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可解答；
（2）利用等腰三角形的三线合一性质，再利用等量代换可得，然后利用三角形的周长可得，从而利用线段和差关系以及等量代换进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），，
，
是的一个外角，
，
垂直平分，
，
，
的度数为；
（2），，
，
，
，
的周长为，，
，
，
，
，
．
54．（2023秋 蛟河市期末）问题背景：如图，在中，．在的延长线上取点，，作，使．
（1）探究一：当时．
①若，求的度数；
②若，则的度数用含的式子表示为 　　，的度数为 　　．
（2）探究二：若，直接写出的度数．
【答案】（1）①；②，；
（2）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，①求出，再根据，利用三角形的外角的性质，可得．求得，②由①，②即可得到结论；
（2）设，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①，
，①，
，
，
，
，
，
，
；
②，
①，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
②，
由①，②得，；
故答案为：，45；
（2）设，
则，，
，
，
，
．
55．（2023秋 高新区校级期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接．
（1）求证：；
（2）若的周长为，，则的长为多少？
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．
【解答】（1）证明：垂直平分，
，
，，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
，
，，
，
．
56．（2023秋 杭州期中）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
【解答】证明：作于，
（已知），
（三线合一），
又（已知），
（三线合一），
，即（等式的性质）．
57．（2023秋 于都县期中）如图所示，、分别是的边、上的点，且，．
（1）若，则　　；
（2）若，则　　；
（3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、所满足的关系吗？请说明理由．
【分析】（1）先利用，可得，同理可得，再利用外角性质可得，，而，等量代换可得，化简得，解即可；
（2）、（3）、同（1）．
【解答】解：（1），
，
，
，
又，，
，
即，
，
；
故答案为：；
（2），
，
，
，
又，，
，
即，
，
；
故答案为：．
（3），
理由：，
，
，
，
又，，
，
即，
．
58．（2022秋 濉溪县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长是，求的长．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，求得的度数，根据垂直平分线性质得出，得出，利用外角性质进而求出的度数；
（2）由（1）知，，利用，即可求出的长．
【解答】解：（1），
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
的周长是，即，
．
59．（2022秋 泸县期末）如图，在中，，，平分交于点，求的度数．
【答案】．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到和的度数，再根据平分，即可得到的度数，然后根据，即可得到的度数；
【解答】解：，
，
，
平分，
，
．
60．（2022秋 梁山县期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为　18　．
【答案】定理证明见解答，
定理应用：18．
【分析】定理证明：利用判定可得；
定理应用：过作与，于，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【解答】定理证明：是的角平分线，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
定理应用：过作与，于，
、分别平分和，
，，
，
，
的周长是12，
，
的面积：，
故答案为：18．

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