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6.4.3 余弦定理
学习目标
1、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理及其变形；
2、掌握余弦定理的证明过程；
3、能够利用余弦定理解决有关问题。
常考题型
知识梳理
一、余弦定理：
1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝
4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，，
如图，因为，
∴，
即
从而
同理，根据，，
可以得到，
二、解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
三、判断三角形形状时常用到的结论
1、为直角三角形或或
2、为锐角三角形，且，且
3、为钝角三角形，且，且
4、若，则或
题型精析
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】（2023·新疆和田·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则 .
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得，所以.
【变式1-1】（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，角对应的边分别为，则
【答案】
【解析】因为，
由余弦定理可得，
解得或（舍）.
【变式1-2】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）（多选）在中，已知，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BD
【解析】由，得，，又，
利用余弦定理可得，即，
整理得，解得或，故选：BD
【变式1-3】（2023·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）（多选）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】，，，由余弦定理，有，
得，即，解得或.故选：AB
题型二 已知三边解三角形
【例2】（2023·江苏盐城·高一盐城市大丰区南阳中学校考期中）在，内角，，的对边分别为，，，且=1，=2，=2， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理得:，故选: C.
【变式2-1】（2022·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
又因为，则，故选：C
【变式2-2】（2023·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】因为，不妨设，
在三角形中，大边对大角，所以最大角为，
根据余弦定理，.
【变式2-3】（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.
又，所以最大，
则由余弦定理得，得，
因为，解得，
因为，所以，
所以的取值范围是，故选：B.
题型三 求边或角的取值范围
【例3】（2023·高一课时练习）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，即，则，
同理，即，则，
又，综上，，故选：C
【变式3-1】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，化简得，
，
当且仅当时等号成立，故选：D.
【变式3-2】（2023·上海·高一开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在中，，，
则，即，
，，，则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，则，即，故，
若角是钝角，则，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
【变式3-3】（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 .
【答案】
【解析】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
题型四 判断三角形的形状
【例4】（2023·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，所以为等腰三角形，故选：A.
【变式4-1】（2023·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，则，可得，
由余弦定理可得，
因为，所以，，
因为，则，整理可得.
所以，为等边三角形，故选：A.
【变式4-2】（2023·陕西商洛·高二校考期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据余弦定理知，
，
所以，则,
故三角形为直角三角形，故选：
【变式4-3】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：，
移项合并得：，
整理得：，
即，可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，故选：D.
题型五 余弦定理的实际应用
【例5】（2023·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（ ）
A．6.6 B．3.3 C．4 D．7
【答案】A
【解析】由题意知：，
在中，由余弦定理可得：，
代入得：，即，
因为，故，
故，故选：A.
【变式5-1】（2023·江苏盐城·高一校考阶段练习）《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，则像高为 .
【答案】
【解析】由，则，
又，则，即，
又物距∶像距，
则，即像高为.
【变式5-2】（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米， 米，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 BD .
在中，由余弦定理有：,①
在 中，由余弦定理有：,②
由①②得：,
又，，
又. 或,
若 ,则 （舍），，故选：A .
【变式5-3】（2023·北京·高一清华附中校考期中）如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】设，则，
，则、为正数.
在三角形中，连接，
由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以当时，取得最大值，
也即时，取得最大值为.故选：C
题型六 余弦定理与平面图形结合
【例6】（2023·广东东莞·高一统考期末）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在平行四边形中，，，，
所以，，
因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于，
所以，
因为，所以≌，
所以，设，则，
在中由余弦定理得，
，解得，即，故选：B
【变式6-1】（2023·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【解析】如图，由余弦定理得，
，
又，
两式相加得，
即，化简得，
所以.
【变式6-2】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
【变式6-3】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别是，．
（1）求；
（2）若，且的平分线上的点满足，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，
，，，则，
又，.
（2）在中，设，则，
由余弦定理得：，；
设，，则，
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
又，.6.4.3余弦定理
学习目标
1、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理及其变形；
2、掌握余弦定理的证明过程；
3、能够利用余弦定理解决有关问题。
常考题型
知识梳理
一、余弦定理：
1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝
4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，，
如图，因为，
∴，
即
从而
同理，根据，，
可以得到，
二、解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
三、判断三角形形状时常用到的结论
1、为直角三角形或或
2、为锐角三角形，且，且
3、为钝角三角形，且，且
4、若，则或
题型精析
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】（2023·新疆和田·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则 .
【变式1-1】（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，角对应的边分别为，则
【变式1-2】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）（多选）在中，已知，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-3】（2023·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）（多选）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
题型二 已知三边解三角形
【例2】（2023·江苏盐城·高一盐城市大丰区南阳中学校考期中）在，内角，，的对边分别为，，，且=1，=2，=2， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为 ．
【变式2-3】（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 求边或角的取值范围
【例3】（2023·高一课时练习）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·上海·高一开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ．
【变式3-3】（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 .
题型四 判断三角形的形状
【例4】（2023·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式4-1】（2023·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式4-2】（2023·陕西商洛·高二校考期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【变式4-3】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
题型五 余弦定理的实际应用
【例5】（2023·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（ ）
A．6.6 B．3.3 C．4 D．7
【变式5-1】（2023·江苏盐城·高一校考阶段练习）《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，则像高为 .
【变式5-2】（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米， 米，且，则（ ）

A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·北京·高一清华附中校考期中）如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
题型六 余弦定理与平面图形结合
【例6】（2023·广东东莞·高一统考期末）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（ ）

A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【变式6-2】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．
【变式6-3】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别是，．
（1）求；
（2）若，且的平分线上的点满足，求．

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