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6.4.3正弦定理
学习目标
1、掌握正弦定理及其变形；
2、了解正弦定理的证明方法；
3、掌握三角形正弦面积公式及其应用；
4、能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题。
常考题型
知识梳理
一、正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为
①，
②，
③，，，
④，
⑤，，（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到＝.
同理，在△ABC中＝.
从以上的讨论和探究可得：＝＝.
二、三角形面积公式
在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。
（1）
（2）
证明：当为锐角三角形时，作于点，
设的面积为，则；
当为钝角三角形时，作边长的高，
则，
∴；
当为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）
证明：
（4）
证明：
四、正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当为锐角时：
当为钝角时
五、利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
题型精析
题型一 正弦定理解三角形
【例1】（2023·北京·高一校考期中）在中，若，，，则等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【答案】A
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，
而，则为锐角，所以.故选：A
【变式1-1】（2023·浙江温州·高一统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】因为，，，
由正弦定理可得，，则，故选：A.
【变式1-2】（2023·河北承德·高一统考期末）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，故选：A.
【变式1-3】（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）在中，若，，，则（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】B
【解析】在中，，由，得，
由正弦定理得，故选：B
题型二 三角形解的个数判断
【例2】（2023·江苏盐城·高一校联考期中）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，要使三角形有两解，
就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
过作，则，
要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
则需要，
解得的取值范围是．故选：B．
【变式2-1】（2023·重庆·高一统考期末）在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】如下图所示：
过点作,因为，
可求得 则时，存在两个，
故又所以正确，故选：
【变式2-2】（2023·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列条件的三角形，有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABC
【解析】对于A，若，，，
则由正弦定理得，，得，
由勾股定理可得，所以三角形有唯一解，所以A正确，
对于B，若，，，则由正弦定理得，，
得，所以或，
当时，，所以舍去，所以，
所以三角形有唯 一解，所以B正确，
对于C，若，，，
则由正弦定理得，，得，
因为，所以，所以三角形有唯一解，所以C正确，
对于D，若，，，
则由正弦定理得，，得，
所以或，两种情况下，三角形都存在，
所以三角形有两个解，所以D错误，故选：ABC
【变式2-3】（2023·陕西榆林·高一校考期中）（多选）下列条件判断三角形解的情况，正确的的是（ ）．
A．，，，有两解； B．，，，有一解；
C．，，，有一解； D．，，，有一解．
【答案】CD
【解析】对于A，由正弦定理得，
由于B是三角形内角，故，故三角形有一解，A错误；
对于B，，
因为，故，即三角形有两解，B错误；
对于C，，
因为，故，即三角形有一解，C正确；
对于D，，，且，
而，故B必为锐角，三角形有一解，D正确，故选：CD
题型三 三角形的面积公式
【例3】（2023·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，
则，故选：D
【变式3-1】（2023·江苏淮安·高一统考期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
又因为
所以的面积为.故选：B
【变式3-2】（2023·江苏徐州·高一统考期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
【答案】A
【解析】，，，则，
，，
的面积为． 故选：．
【变式3-3】（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，解得，即，故选：A.
题型四 正弦定理边角互化应用
【例4】（2023·福建福州·高一校考期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，角所对的边分别为，，
由正弦定理得，令，
由余弦定理得：，故选：C.
【变式4-1】（2023·江西·高一校联考期末）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以
由正弦定理可得：，
所以，
即，即，
则，所以，故选：D.
【变式4-2】（2023·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，由正弦定理得，即，
由余弦定理得．
因为，所以，故选：B.
【变式4-3】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得，
即，
所以，即，
即，又，所以，
因为，所以，故选：A
题型五三角形的外接圆问题
【例5】（2023·贵州黔东南·高一统考期末）在中，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，
由余弦定理得，
，
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，
外接圆的面积为，故选：C.
【变式5-1】（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，由余弦定理得，则，
又，由正弦定理有（为外接圆半径），
∴，故外接圆的直径为.故选：D
【变式5-2】（2023·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意及正弦定理得
(R为的外接圆半径)，即，
又及，知，
，解得，
所以外接圆面积，故选：C
【变式5-3】（2023·山西运城·高一统考期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，故，，
中，中，
又，故，
所以，即，
所以外接圆直径，
则，故选：B
题型六 正弦定理判断三角形形状
【例6】（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，
又，所以，故选：B.
【变式6-1】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得，即，
因为，为三角形的内角，所以或，即或，
同理可得或；
当时，不可能成立（三内角和不等于），
当时，也不可能成立，
所以只有，即为等边三角形，故选：B
【变式6-2】（2023·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．直角或钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【解析】由得，即，
因为，所以，
则，，
，，，
又，所以，，
所以角为钝角，为钝角三角形.故选：B.
【变式6-3】（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为，
根据正弦定理边角互化得，
所以，
所以，
所以，即，
所以或，
所以或，即的形状是等腰或直角三角形．故选：D6.4.3正弦定理
学习目标
1、掌握正弦定理及其变形；
2、了解正弦定理的证明方法；
3、掌握三角形正弦面积公式及其应用；
4、能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题。
常考题型
知识梳理
一、正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为
①，
②，
③，，，
④，
⑤，，（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到＝.
同理，在△ABC中＝.
从以上的讨论和探究可得：＝＝.
二、三角形面积公式
在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。
（1）
（2）
证明：当为锐角三角形时，作于点，
设的面积为，则；
当为钝角三角形时，作边长的高，
则，
∴；
当为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）
证明：
（4）
证明：
四、正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当为锐角时：
当为钝角时
五、利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
题型精析
题型一 正弦定理解三角形
【例1】（2023·北京·高一校考期中）在中，若，，，则等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【变式1-1】（2023·浙江温州·高一统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式1-2】（2023·河北承德·高一统考期末）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）在中，若，，，则（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
题型二 三角形解的个数判断
【例2】（2023·江苏盐城·高一校联考期中）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·重庆·高一统考期末）在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【变式2-2】（2023·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列条件的三角形，有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式2-3】（2023·陕西榆林·高一校考期中）（多选）下列条件判断三角形解的情况，正确的的是（ ）．
A．，，，有两解； B．，，，有一解；
C．，，，有一解； D．，，，有一解．
题型三 三角形的面积公式
【例3】（2023·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·江苏淮安·高一统考期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·江苏徐州·高一统考期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
【变式3-3】（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
题型四 正弦定理边角互化应用
【例4】（2023·福建福州·高一校考期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·江西·高一校联考期末）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-2】（2023·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则角（ ）
A． B． C． D．
题型五三角形的外接圆问题
【例5】（2023·贵州黔东南·高一统考期末）在中，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·山西运城·高一统考期中）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型六 正弦定理判断三角形形状
【例6】（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式6-1】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形
【变式6-2】（2023·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．直角或钝角三角形 D．锐角三角形
【变式6-3】（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

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