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项目四
统计数据的描述
目录
CONTENTS
1
离散趋势分析
2
偏态和峰态
3
Excel 在统计描述中的应用
学习目标
· 理解平均数、中位数和众数三者之间的关系;
· 掌握统计数据集中程度指标的概念和计算方法;
· 掌握表示离散程度的各种指标的概念和计算方法,重点理解标准差;
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02
03
04
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· 了解分布偏斜程度的指标及其图形;
· 学会运用 Excel 进行各种指标的计算。
项目导航
统计数据的描述
统一数据集中程度指标
离散趋势分析
偏态和峰态
平均指标的种类
标志变异指标的概念和作用
极差
四分位差
平均差
方差与标准差
偏态
峰态
计算算数平均数
计算几何平均数
计算调和平均数
变异系数的异众比率
Excel在统计描述中的作用
平均指标的概念和作用
计算众数
计算中位数
计算方差和标准差
案例导入
在正常的市场经济环境下,投资的高收益总是伴随着高风险的。所以,投资理财专家总是提醒人们不仅要看到收益率的高低,还要注意到风险的大小。投资人在做出投资决策时,理解这一点是极其必要的。具有不同风险承受能力的投资人往往有不同的投资决策。
一研究者为了比较不同类型投资基金的收益率水平并说明收益率高低与风险大小的关系,收集了 30 只投资基金某年的收益率数据,其中偏债券型投资基金 8 只,中间型投资基金和偏股票型投资基金各 11 只。它们的收益率数据如表 4-1 所示。
投资的收益与风险并存
思考与讨论
偏债券型投资基金的收益率/ % 中间型投资基金的收益率/ % 偏股票型投资基金的收益率/ %
6.3 10.8 13.9
6.0 6.9 18.7
5.2 9.8 5.1
8.1 7.2 -1.8
7.5 11.5 9.6
3.9 2.3 8.4
4.8 4.1 7.6
5.9 8.7 12.0
7.4 10.5
7.3 14.3
8.1 11.4
(1)如何比较三种类型投资基金的收益率高低
(2)各种类型投资基金的风险大小如何度量
(3)哪一类投资基金的收益率波动较大
(4)对于一个稳健型投资者,应建议其购买哪一类投资基金 为什么
01
模块一
统计数据集中程度指标
一、平均指标的概念和作用
(一)平均指标的概念
平均指标是指在现象的同质总体中,把某一数量标志在总体各单位间的差异抽象化,以表明总体一般水平的综合指标。
平均指标把总体各单位间的差异抽象化;
平均指标是一个代表性指标,代表总体各单位某一数量标志的一般水平,
一、平均指标的概念和作用
(二)平均指标的作用
平均指标可以作为判断事物的一种标准或参考。
通过对比某一现象在不同时间或空间的平均指标,可以揭示现象发展变化的趋势和规律。
通过平均指标可以分析现象间的依存关系。
利用平均指标可以进行推算和估计。
二、平均指标的种类
· 用于反映总体分布的集中趋势的平均指标有很多,包括数值平均数和位置平均数两大类,如图 4-1 所示。
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02
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数值平均数
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
· 数值平均数简称平均数,是将总体单位间的数量差异抽象化后得到的反映在一定时间、地点、条件下一般水平的代表值,包括算术平均数、调和平均数和几何平均数。
调和平均数
算术平均数
几何平均数
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
1. 算术平均数
算术平均数也称均值,记为 x ,是反映集中程度最常用的指标,它反映一些数据必然性的特点,包括简单算术平均数和加权算术平均数。
算术平均数的基本计算是所有样本数据之和除以样本总数,并且假设各样本具有统一权重。其计算公式为
算术平均数 = 总体标志总量/总体单位总量
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
1. 算术平均数
简单算术平均数。简单算术平均数是在统计数据未分组的情况下,将各个数据直接相加除以数据的个数计算平均数的方法。其计算公式为
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
1. 算术平均数
(2)加权算术平均数。如果得到的是经过整理后的分组频数分布数据,则应使用加权算术平均数来计算总体的均值。记 mi 为第 i 组的组中值, f i 为第 i 组的频数,则加权算术平均数的计算公式为
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
2. 调和平均数
· 调和平均数也称倒数平均数,是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
2. 调和平均数
(1 )简单调和平均数。简单调和平均数是简单算术平均数的变形。其计算公式为
(2 )加权调和平均数。加权调和平均数是加权算术平均数的变形。它与加权算术平均数在实质上是相同的,仅有形式上的区别,即表现为变量对称的区别、权数对称的区别和计算位置对称的区别。其计算公式为
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
3. 几何平均数
几何平均数是指 n 个观测值连乘积的 n 次方根。根据资料的条件不同,几何平均数有加权和不加权之分。
当某一事物的发展符合乘法原理时,即一个变化是在前一个变化基础上产生的,求其平均变化即可用此法。
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
3. 几何平均数
(1 )简单几何平均数。简单几何平均数的计算适用于各个变量只出现一次的情况,其
计算公式为
(4-6 )式中,x i 为变量值; n 为变量值的个数。
二、平均指标的种类
(一)数值平均数
3. 几何平均数
(2)加权几何平均数。加权几何平均数的计算适用于变量值较多且出现次数又不同的情况。其计算公式为
f i 为各变量值的出现次数
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
中位数
四分位数
众数
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位置平均数
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
1. 中位数
将总体各单位的标志值按大小顺序排列,处于中间位置对应的那个标志值即为中位数。中位数居于中间位置,其数值既不能太大也不能太小,可以用它来代表现象的一般水平。中位数是一个位置平均数,一般用 M e 表示。
中位数的计算方法是:当变量个数 n 为奇数时,中位数为处于(n +1 )/ 2 位置上的那个变量值;当变量个数 n 为偶数时,中位数为中间位置上的两个变量值的简单算术平均数。其计算公式为
=
n 为奇数
n 为偶数
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
2. 四分位数
与中位数类似的还有四分位数、十分位数和百分位数等,它们分别是用 3 个点、9 个点和99 个点将变量值四等分、十等分和一百等分后各分位上的值。
四分位数是一组变量值排序后处于 25% 和 75% 位置上的值,也称为四分位点。四分位
数是通过 3 个点将全部变量值等分为 4 部分,其中每部分包含 25% 的变量值,显然,中间的四分位数就是中位数。因此,通常所说的四分位数是指处在 25% 位置上的变量值(称为下四分位数)和处在 75% 位置上的变量值(称为上四分位数)。
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
3. 众数
众数是指总体中出现次数最多的变量值,它能明确反映数据分布的集中趋势,通常用M 0 表示。众数也是一种位置平均数,不受极端变量值的影响。
在医学界和经济学界,众数通常是一个较好的代表值。例如,通过临床试验检验医药投放量对患者的效果,出现比较多的众数数值将会有助于进一步研究;一个国家或地区居民收入的众数被人们关注。在计算众数时,所掌握的数据资料不同,采用的方法也不一样。
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
3. 众数
根据组距数列确定众数时,与根据组距数列计算中位数类似,必须通过公式计算确定众
数。其计算步骤如下:
(1 )找出出现次数最多的组,这个组就是众数组。
(2 )根据下限公式或上限公式确定众数的值。
式中,M 0 为众数; L 为中位数组的下限; U 为中位数组的上限; Δ 1 为众数组次数与前一组次数之差;Δ 2 为众数组次数与后一组次数之差; i 为组距。
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
3. 众数
【例 4-12 】 某企业职工某月销售量资料如表 4-7 所示,求其众数。
销售量 x /件 工人数 f /人 人数累计（∑ f）
向上累计/人 向下累计/人
700~800 20 20 200
800~900 70 90 180
900~1000 37 127 110
1000~1100 43 170 73
1100~1200 30 200 30
合计 200 20 200
二、平均指标的种类
(二)位置平均数
3. 众数
解:(1 )确定众数组,众数所在组为 70 人对应的第二组,即 800~900 件组。
(2 )根据下限公式或上限公式计算众数的近似值。已知 L =800 , U =900 , Δ 1 =70-20=50 , Δ 2 =70-37=33 , i =100 ,则
显然,用两种方法计算众数,其结果是完全一致的。
众数的计算有一定的条件,如果是所有标志值的次数都相同的分配数列,则不存在众效;在单位数不多或无明显集中趋势的资料中,众数的测定是没有意义的;在某些场合,有多个标志值有最多的次数,那么变量就有多个众数。
二、平均指标的种类
(五)数值平均数、中位数和众数的关系
· 数值平均数、中位数和众数是描述数据水平的三个主要的统计量。若各个数据之间的差异程度较小,则平均值就有较好的代表性;若数据之间的差异程度较大,特别是有个别的极端值的情况,则中位数或众数就有较好的代表性。三者的关系如图 4-2 所示。
二、平均指标的种类
(五)数值平均数、中位数和众数的关系
当数据呈明显的左偏分布时,说明数据存在极小值,必定拉动平均数向极小值一方靠,而众数和中位数由于是位置代表值,不受极值的影响,即数值平均数(x ) < 中位数( M e ) < 众数(M 0 ),如图 4-2 ( a )所示。
当数据呈完全对称分布时,数值平均数(x )、中位数( M e )和众数( M 0 )三者必定相同,即数值平均数(x ) = 中位数( M e ) = 众数( M 0 ),如图 4-2 ( b )所示。
当数据呈明显的右偏分布时,说明数据存在极大值,必定拉动平均数向极大值一方靠,则有数值平均数(x ) > 中位数( M e ) > 众数( M 0 ),如图 4-2 ( c )所示。

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