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第2课时
第 8 章 角
青岛版版七年级数学下册
8.3角的度量
学习目标
1
2
理解余角和补角的概念，会判断两个角的互余和互补关系。
探索并掌握同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
α
β
（1）观察图①，你能说出图①中∠α与∠β的和是多少度吗
观察与思考
若我们把这两个角分开，则这两个角的和还是90°吗？
①
∠α+∠β=90°
两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.
新知生成
例如，在图①中∠ɑ与∠β互余，或者说∠ɑ是∠β的余角，∠β是∠ɑ的余角
思考：
（1）若∠α+∠β=90°，则能说∠α是余角，∠β也是余角吗？
（2）互余的两个角是否一定有公共顶点与公共边吗？
（3）若∠α+∠β+∠ γ=90°，则能说这三个角互余吗？
注意点
(1)互余是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关.
(2)互余角必须是成对出现的，不能单独存在.
（2）观察图②，你能说出图中∠1与∠2的和是多少度吗
观察与思考
∠1+∠2=180°
新知生成
两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角.
例如，图②中∠1与∠2互补，或者说∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角
思考：
类比余角，你认为对于补角我们应注意什么问题？
注意：
(1)互补是两角之间的数量关系，只与它们的度数和有关，与位置无关.
(2)互补角必须是成对出现的，不能单独存在.
随堂练习
1.填空
（1）80°的余角是 补角是
（2） 的余角是 补角是
（3）α的余角是 补角是
2.下列结论不正确的是（ ）
A互余的两个角一定都是锐角
B两个锐角或两个钝角一定不能互补
C两个锐角不一定互余
D互补的两个角一定是一个钝角，一个锐角.
10°
110°
90°- α
180°-α
D
19°21′
109°21′
交流与发现
活动1
如图，∠AOC＝∠BOD＝ 90°
（1）请找出图中∠3的两个余角
（2）这两个角相等吗？为什么？
因为∠1是 ∠3的余角
所以∠1 ＝ 90°－ ∠3，
同理 ∠2 ＝ 90°－ ∠3，
所以 ∠1 ＝ ∠2.
（3）由此可以得到一个什么结论？
同角的余角相等.
（4）若我们把“∠1与∠2都是同一个角的余角”改为“∠1与∠2分别是∠3，∠4的余角，且∠3=∠4，则∠1与∠2还相等吗？为什么？
∵∠1＋∠3=90°，
∠2＋∠4=90°
∴∠1=90°-∠3
∠2=90°-∠4
∵∠4=∠3
∴∠1=∠2
等角的余角也相等
新知生成
余角的性质：
同角或等角的余角相等
符号语言：
∵ ∠1+ ∠ 2= 900
∠ 1+ ∠ 3 = 900
∴ ∠ 2 = ∠ 3
（同角的余角相等）
符号语言：
∵ ∠1+ ∠ 2 = 900
∠ 3+ ∠ 4 = 900
∠ 1 = ∠ 3
∴ ∠ 2 = ∠ 4
（等角的余角相等）
（1）类比余角的性质，你能猜想出补角应具有什么结论吗？
活动2
同角或等角的补角相等
（2）你能说明你的猜想是正确的吗？
①已知∠A＝∠B，∠C，∠D 分别是∠A ，∠B 的补角时，试说明∠C=∠D
②已知 ∠C， ∠D 都是∠A 的补角时， 试说明∠C=∠D
因为∠C是 ∠A的补角
所以∠C ＝ 180°－ ∠A，
因为∠D是 ∠B的补角
所以∠D ＝180°－ ∠B，
因为∠A=∠B
所以 ∠C ＝ ∠D.
因为∠C是 ∠A的补角
所以∠C ＝ 180°－ ∠A，
同理 ∠D ＝180°－ ∠A，
所以 ∠C ＝ ∠D.
补角的性质：
同角或等角的补角相等.
(3)你能用符号语言来表示补角的性质吗？
符号语言：
∵ ∠1+ ∠ 2= 1800
∠ 1+ ∠ 3 = 1800
∴ ∠ 2 = ∠ 3
（同角的补角相等）
符号语言：
∵ ∠1+ ∠ 2 = 1800
∠ 3+ ∠ 4 = 1800
∠ 1 = ∠ 3
∴ ∠ 2 = ∠ 4
（等角的补角相等）
例题精讲
例1 一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数？
解：设这个角是x ，那么它的补角是(180－x) ，余角是(90－x) ，根据题意得
180－x＝3(90－x)
解这个方程得 x＝45.
所以，这个角度数是45 .
学习小心得
对于余角与补角的计算问题，我们通常设未知数用方程来解决
例2 如图，已知A,O,E三点在同一条直线上，∠1=∠2，且∠1与∠4互余。
（1）∠3与∠2互余吗？为什么？
（2）∠3和∠4有什么关系？
（3）求∠3的补角。
B
1
2
3
4
C
D
E
A
解：（1）∠3与∠2互余
∵∠1与∠4互余
∴∠1+∠4=90°
∴∠2+∠3=180°-（∠1+∠4）=90°
∴∠3与∠2互余
（2）∠3=∠4
∵∠1与∠4互余
∠3与∠2互余
∠1=∠2
∴∠3=∠4
O
（3）∠3的补角是∠BOE
随堂练习
1.已知一个角的补角比这个角的余角的4倍
大15°，那么这个角是多少度？
2.已知如图，
（1）∠1的余角有哪些角？
（2）∠1的补角有哪些角？
（3）图中除直角外，还有几对相等的角？为什么？
A
B
E
C
D
2
1
65°
∠A与∠2
∠ACD
∠1=∠E,∠2=∠A
课堂小结
今天这节课，你有什么收获吗？
角
余角
补角
余角的定义
余角的性质
补角的定义
补角的性质
课堂检测
1.25°36′20"的余角是 ，补角是
2.下列说法正确的是（ ）
A 因为60°+30°=90°，因此，60°是余角，30°也是余角
B 两个锐角一定互余
C 若∠α+∠β+∠γ=180°，则这三个角互补
D 互余表示的是两个角的数量关系，而不是位置关系
D
64°23'40"
115°23'40"
4.一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度
45°
3、如图所示，点C,O,B在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB,下列结论：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠AOE的补角是∠DOC；④互余的角有4对。其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
E
D
B
O
A
D
课下作业
必做题
课本第15页习题8.3 第4、5题
选做题
课本第15页习题8.3 第8题

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