资源简介

1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第一练】
1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.在空间直角坐标系中求出点的坐标及向量坐标，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第4题、第7题；
2.熟练掌握空间向量的坐标运算，锻炼数学运算能力 ，如第2题、第5题；
3.运用空间向量的坐标运算，判断平行于垂直，培养逻辑推理和数学运算能力，如第3题、第9题、第10题；
4.运用空间向量的坐标运算，求解夹角和距离问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第5题、第6题、第8题；
一、填空题
1．在空间直角坐标系中，点在平面上的射影的坐标为 .
（2023秋·江西南昌八一中学高二期中）
2．已知，，则等于 .
（2023·宁夏石嘴山高二期中）
3．已知，.当时，实数 .
（2023·江苏南通金沙中学高二期中）
4．已知点关于点的对称点分别为，若，，则点的坐标为 .
（2023·福建三明一中高二期中）
5．已知空间向量，且，则n＝ ，向量与的夹角为 ．
（2023·湖南师大附中高二期中）
6．如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
二、解答题
（2023·重庆石柱高二期中）
7．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

（2023·江西赣州高二期中）
8．已知两点与．
(1)求原点到点的距离；
(2)求点之间的距离；
(3)在轴上求一点，使．
（2023·河南南阳高二期中）
9．设，.
(1)若，求；
(2)若，求.
（2023·海南海口高二期中）
10．如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)；
(2)∥平面．
【易错题目】第1题、第4题 、第7题
【复盘要点】
空间直角坐标系建系找点的策略：.
1.构建空间直角坐标系的策略：
抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常见的建系策略有：
（1）利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系；
（2）利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系；
（3）利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系．
2．求某点P的坐标的方法
先找到点P在Oxy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号（与坐标轴同向为正，反向为负），即可得到相应的点P的坐标．
提醒：（1）求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标．
【典例】（2023·福建福州三中高二期中）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
BC
【详解】在空间直角坐标系中，，，，
，，
对于A，因为，，所以，故A不正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D不正确.
故选：BC.
【归纳总结】用坐标表示空间向量的步骤
【复盘训练】
（2023秋·广东广州一中高二期中）
11．下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ）
A．线段的中点的坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于坐标原点对称的点的坐标为
D．点关于平面对称的点的坐标为
12．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（ ）

A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
（2023·山东滨州高二月考）
13．如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为 ．
（2023·广东佛山荣山中学高二期中）
14．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形。在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标是 ；点C是点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则 .
（2023·甘肃武威高二期中）
15．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
（2023·河北邯郸高二期中）
16．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标；
(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；
(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．
【分析】利用空间中点的坐标表示与射影的定义即可得解.
【详解】空间直角坐标系中，点，
过点作平面的垂线，垂足即为射影，
则点的坐标为.
故答案为：.
2．
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求得正确答案.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
3．
【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】因为，，，
所以，即，解得.
故答案为：.
4．
【分析】由已知得，再利用空间向量相等的坐标表示即可得解.
【详解】由题意可知是线段和的中点，则，
设，则，
所以，解得.
则点的坐标为.
故答案为：.
5． 2 ##
【分析】根据求得，利用夹角公式求得向量与的夹角.
【详解】解：依题意，解得，
所以，
所以，
由于，所以向量与的夹角为.
故答案为：；.
6．##
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线的夹角.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为3，又，
则 ，
则 ，
故 ，
故直线与直线所成角的余弦值为 .
故答案为：.
7．答案见解析
【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果.
【详解】根据题意可得，
又E，F分别为棱，的中点，可得，
利用向量坐标运算法则可得，即；
，即；
，即；
所以可得，，.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】根据空间直角坐标系中，两点间的距离公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由原点到空间任一点的距离公式，可得.
（2）解：由空间两点间的距离公式，可得.
（3）解：由于点在轴上，不妨设它的坐标为，
则，
．
又，所以，解得，
所以点的坐标为．
9．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可求得实数的值；
（2）分析可知，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，
则，
，
若，则，解得.
（2）解：若，
则，解得.
10．(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果.
【详解】证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
所以＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，又DE 平面CA1D，
BC1 平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
【点睛】本题考查利用空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行，考查基本分析求证能力. 属于中档题.
11．AD
【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可.
【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误；
点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误；
点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确.
故选：AD.
12．BCD
【分析】对于A，根据图示分析即可；对于B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；对于C，根据四边形为正方形判断即可；对于D，根据平面求解即可.
【详解】对于A，由图形及其已知可得：点的坐标为，故A错误；
对于B，由图，，，设点关于点对称的点为，
则，解得，故，故B正确；
对于C，在长方体中，
所以四边形为正方形，与垂直且平分，
即点关于直线对称的点为，故C正确；
对于D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】根据给定的几何图形，求出点M，N的坐标，再利用空间两点间的距离公式计算作答.
【详解】依题意，，所以M、N之间的距离.
故答案为：
14． 5
【分析】关于轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，纵坐标不变；点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影将竖坐标变为0，其它坐标不变.
【详解】关于轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，为；
点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影将竖坐标变为0，其它坐标不变，故，故.
故答案为：；5.
15．(1)，，
(2)
【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
【详解】（1）由已知，
则，，
（2）,
.
16．(1)建系见解析，，，，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答.
（2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答.
（3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答.
【详解】（1）在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直，
以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，.
（2）由（1）知，点Q是PC中点，则.
（3）由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t，
其竖坐标z，当M与P不重合时，，当M与P重合时，z=3满足上式，因此，
所以点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第一课】
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
[课标要求]
1.会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会由点的坐标确定点的位置；
2.能在空间直角坐标系中求出向量坐标.
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
5.利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题.
[明确任务]
1.确定空间点的位置及求点的坐标. （数学建模）
2.对空间直角坐标系的理解. （数学抽象）
3.立体几何问题坐标化、代数化. （直观想象）
1.平面直角坐标系，平面向量的坐标表示
2.平面向量坐标运算；
3.运用平面向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题
核心知识点1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
如图所示，OABC－D'A'B'C'是单位正方体. 以O为原点，分别以射线OA，OC，OD'的方向为正方向，以线段OA，OC，OD'的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴. 这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面.
2.建立空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系的分类
就坐标轴的方向而言，我们分右手系和左手系，一般我们采用右手系.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
（2）空间直角坐标系（右手系）的画法
①x轴与y轴成135°，x轴与z轴成135°.
②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，x轴上的单位长度等于y轴单位长度的一半（斜二测画法）.
③每两条坐标轴确定的平面Ozx，Oxy，Oyz两两垂直.
例1 在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2，4）.
【解析】方法一：如图所示，从原点出发沿x轴正方向平移6个单位长度得到点M1，再将M1沿与y轴负方向平移2个单位长度得到点M2，然后将M2沿与z轴平行的方向向上平移4个单位长度即得点M.
方法二：先确定点M2（6，－2，0）在Oxy平面上的位置，因为点M在z轴上的坐标为4，则|MM2|＝4，且MM2平行于z轴，点M和z轴的正半轴在Oxy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了（图略）.
方法三：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为6，2，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴，y轴负半轴，z轴正半轴上，则长方体上与顶点O相对的顶点为所求的点M（图略）.
归纳总结 在空间直角坐标系中确定点的方法
1.点在空间直角坐标系中的位置有三种：点在坐标轴上、点在坐标平面上、点不在坐标平面内. 对于前两种情形，需要熟悉特殊点的坐标特征；对于第三种情形，一般经过该点作与坐标轴垂直的平面，依据平面与坐标轴的交点确定点的坐标.
2. 坐标轴或某平面上点的坐标
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z）
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z）
【举一反三】
（2023·福建三明一中高二月考）
1．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）
A． B． C． D．
2．一个棱长为的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，写出这个正方体个顶点的坐标.
核心知识点2 空间向量的坐标
1. 空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
2. 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk. 有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝（x，y，z）.
例2 .（2023·山东菏泽三中高二月考）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标.
【解析】因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝i，＝j，＝k.
因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）
＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，
所以＝.
归纳总结 表示空间向量坐标的基本方法
1.用坐标表示空间向量的步骤
2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号）进而确定第三个坐标.
【举一反三】
3．在直三棱柱中，，，D为的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标分别为 .
4．如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且，求向量的坐标.
核心知识点3 空间向量的坐标运算
1. 空间向量的坐标
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2. 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）. 则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
减法 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘 λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
温馨提示　（1）运用公式可以简化运算：（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；（a＋b）·（a－b）＝a2－b2.
（2）向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
例3 .（2023·广东佛山顺德区容山中学高二期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，，
所以，，，
.故正确的选项为ACD.
故选：ACD
归纳总结 空间向量坐标运算的常见问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【举一反三】
5．已知，则 .
6．若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x= .
核心知识点4 利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题
考向1. 空间向量平行、垂直的坐标表示
1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有：
（1）平行关系：当b≠0时，a∥b则a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）.
（2）垂直关系：a⊥b则a·b＝0，即a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
温馨提示　（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb（b≠0）.
（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为＝＝.
例4 . （2023·福建莆田一中高二月考）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），
设＝a，＝b.
（1）设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】 （1）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2），
所以2a－b＝（3，2，－2），
又c＝，
所以2a－b＝－2c，
所以（2a－b）∥c.
（2）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2），
所以ka＋b＝（k－1，k，2），
ka－2b＝（k＋2，k，－4）.
又因为（ka＋b）⊥（ka－2b），
所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0，
即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
归纳总结 运用空间向量坐标判断平行于垂直的基本思路
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解.
（2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
【举一反三】
7．已知.
(1)若，分别求λ与m的值；
(2)若，且与垂直，求.
考向2. 空间夹角、距离的计算
1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
cos〈a，b〉＝＝.
2.空间两点间距离公式
设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝||＝.
温馨提示：　（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式.
例5 . （2023·山东菏泽三中高二月考）棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【解析】 （1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E，C（0，1，0），F，G.
所以，，
.
因为×0＝0，所以，即EF⊥CF.
（2）因为×1＋×0＋，
|，
|，
所以cos＜＞＝.
又因为异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
（3）|CE|＝||＝.
归纳总结 运用空间向量坐标解决立体几何问题的基本思路
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
【举一反三】
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
9．在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．已知向量，则等于（　　）
A． B．
C． D．
11．在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　）
A．点关于原点的对称点的坐标为；
B．点关于y轴对称的点的坐标是；
C．点关于平面对称的点的坐标是；
D．已知点与点，则AB的中点坐标是.
12．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B． C． D．
13．已知点，则＝ ，＝ .
14．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 .
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.
(1)证明：EFCF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】求出点坐标，然后计算．
【详解】点在平面内的正投影为点，则．
故选：B.
【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．
2．答案见解析
【分析】以棱长为的正方体的对称中心为坐标原点，过点且分别平行于、、的直线作、、轴建立空间直角坐标系，结合图形可得出正方体各顶点的坐标.
【详解】解：以棱长为的正方体的对称中心为坐标原点，
过点且分别平行于、、的直线作、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
3．，
【分析】设出同方向的单位向量，然后根据空间向量的线性运算表示出，由此可求对应向量的坐标.
【详解】设同方向的单位方向向量分别为，
因为
，
所以，
因为，
所以，
故答案为：，.
4．
【分析】方法一：根据空间向量的线性运算表示出，然后结合坐标轴正向的单位向量可求向量的坐标；方法二：先表示出坐标，然后根据中点求解出的坐标，结合的坐标可求结果.
【详解】设正方形的边长为a，∵，且PA，AD，AB两两互相垂直，
故可设，
以为坐标轴正向的单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系.
方法一：∵
，
∴.
方法二：∵，
∴N点的坐标为，
∵M点的坐标为，
∴.
5．
【分析】先表示出的坐标，然后根据坐标形式下数量积的计算公式求解出结果.
【详解】因为，
则，
故答案为：.
6．
【分析】由数量积的坐标运算可解得x．
【详解】由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.填-8.
【点睛】若，则.
7．(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量平行的条件即可求解；
（2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解.
【详解】（1）因为，
所以设，
所以，解得，
所以，.
（2）因为，且与垂直，
所以,化简得,解得.
故.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设侧棱长为，然后表示出对应点坐标，根据求得的值即可；
（2）根据为中点可得，然后结合可求结果；
（3）先表示出的坐标，然后计算出，再结合空间向量夹角的余弦值计算公式求解出结果.
【详解】（1）设侧棱长为，
则，
所以，
因为，
所以，
解得（负值舍去），故侧棱长为.
（2）因为M为BC1的中点，
所以.
（3）由（1）知，
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
9．A
【分析】利用点到平面yOz的距离是即可求出结果.
【详解】点到平面yOz的距离是,
故选：A.
10．D
【分析】根据空间向量数乘以及加法运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】易知由，
利用向量数乘以及加法的坐标运算可得,
故选：D
11．CD
【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解.
【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误；
B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误；
C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确；
D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确.
故选：CD.
12．D
【详解】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即，解得．
考点：两向量垂直坐标满足的条件．
13．
【分析】空1：根据空间向量的坐标运算求解；空2：根据空间向量的模长运算求解.
【详解】∵，则有：
；
.
故答案为：；.
【点睛】在空间直角坐标系中，设，则.
14．
【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算.
【详解】因为在正方体中，是的中点，，
根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以.
故答案为：
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立空间直角坐标系如图，根据向量的数量积为0证明垂直即可；
（2）利用向量法求异面直线所成角的余弦值；
（3）根据向量的模计算两点间的距离即可.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，,
因为,
所以，即EFCF.
（2）由（1）知，
所以，
所以与所成角的余弦值是；
（3）由（1）知，
所以，
即CE的长为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑