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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第一练】
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.运用直线的方向向量判定直线位置关系，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第2题；
2.熟练掌握平面法向量的算法，锻炼数学运算能力 ，如第2题、第3题、第5题；
3.运用空间向量解决直线、平面的平行问题，培养逻辑推理和数学运算能力，如第4题、第6题、第7题、第9题；
4.运用空间向量解决直线、平面的垂直问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，第5题、第8题、第10题；
一、填空题
（2023·宁夏石嘴山高二期中）
1．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则 ， .
（2023·福建三明高二期中）
2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，
①直线DD1的一个方向向量为；
②直线BC1的一个方向向量为；
③平面ABB1A1的一个法向量为；
④平面B1CD的一个法向量为；
则上述结论正确的是 （填序号）
（2023·江苏盐城高二期中）
3．两平面的法向量分别为，若，则的值是 .
（2023·湖南邵阳高二期中）
4．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 .
（2023·四川南充高二期中）
5．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝ .
（2023·山西师大附中高二期中）
6．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点，满足，.若，均在平面内，则与的位置关系是 ，的最小值为 .
二、解答题
（2023·甘肃武威高二期中）
7．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面.
（2023·湖北十堰高二期中）　
8．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN= CC1.求证:AB1⊥MN.
（2023·江西赣州高二期中）
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
（2023·河北邯郸高二期中）
10．如图正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
【易错题目】第2题、第3题 、第10题
【复盘要点】 平面法向量的求法
平面法向量的确定通常有两种方法：
（1）直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可.
（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可作为法向量时，根据已知平面内两条相交直线的方向向量，可以运用待定系数法求解平面的法向量（此时一般需要建立空间直角坐标系）.
【典例】（2023·广东佛山高二期中）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.
（1）求证：是直线GH的方向向量.
（2）已知平面α经过三点A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，
－2，0），试求平面α的一个法向量.
　（1）证明：连接MO（图略），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，又M是PC的中点，
∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，∴PA∥平面BDM.
∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH，∴是直线GH的方向向量.
（2）∵A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），
∴＝（1，－2，－4），＝（2，－4，－3）.
设平面α的一个法向量为n＝（x，y，z），依题意，
应有n·＝0且n·＝0，
即解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝（2，1，0）.
【归纳总结】
待定系数法求法向量具体步骤如下：
①选向量：求平面的法向量时，要选取平面内两相交直线的方向向量；
②设坐标：设平面法向量的坐标为n＝（x，y，z）；
③解方程组：联立方程并解方程组；
④定结论：求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数（非零常数）而得到其他坐标.
【复盘训练】
（2023·山东泰安一中高二期中）
11．已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖南怀化高二期中）
12．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C．，2， D．
（2023·湖北黄石高二期末）
13．已知向量，平面α的一个法向量，若，则（　　）
A． B．
C． D．
（2023·江西上饶高二期中）
14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）

A． B． C． D．
（2023·山东菏泽三中高二期末）
15．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东湛江高二期中）
16．在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， .
（2023·甘肃武威高二期中）
17．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 6
【分析】由于，所以两直线的方向向量共线，从而得，进而可求得结果
【详解】解：因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，
所以，解得.
故答案为：，6
【点睛】此题考查由向量平行求参数，属于基础题
2．①②③
【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可.
【详解】设正方体的棱长为1.
因为，且，所以①正确；
因为，，所以②正确；
因为平面，，所以③正确；
因为正方体中平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直，
故不是平面的法向量，所以④错误.
故答案为：①②③.
3．6
【分析】根据可得，由此可求结果.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：.
4．6
【分析】根据空间向量的平行列式求值即可得解.
【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.
∴，∴.
故答案为：6.
5．
【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.
【详解】平面的法向量为，依题意，，则，
因此，所以.
故答案为：
6． 平行
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断与的位置关系，设，，，推导出，由此能求出的最小值．
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，
，均在平面内，设，，，，，，
则，1，，，，，，，，
，．
，
解得，所以可得
，即与的位置关系是平行．
，
当，即，，时，的最小值为．
故答案为：平行，．
7．证明见解析
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面.
【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，
又因为分别为和的中点，可得，
又由向量为平面的一个法向量，且,
由此可得，又因为直线平面，所以平面.
8．证明见解析.
【分析】设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.，利用可证结论正确.
【详解】证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.，
由已知得A-，0，0，B，0，0，C0，，0，
N0，，B1，0，1，
∵M为BC中点，∴M，0.
∴=-，=(1，0，1)，
∴=-+0+=0，
∴，即AB1⊥MN..
【点睛】本题考查了利用空间向量证明异面垂直，属于基础题.
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明；
（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.
【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，
即得令z1=2，则y1=-1，
所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2).
因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【点睛】本题考查用向量证明线面平行、以及面面平行，属基础题.
10．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)取BC中点H，连接OH，建立如图所示的直角坐标系，求得平面BCF的法向量为，由 ，即可得到AE∥平面BCF.
(2)由 ， ，且AEAF＝A，解得CF平面AEF.
【详解】(1)取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A(3，0，0)，E(1，－2，)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0). ＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2, )．
设平面BCF的法向量为＝(x，y，z)，则.
取z＝1，得＝(－，，1)．
又四边形BDEF为平行四边形，∴＝＝(－1，－2，)，
∴＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，∴·＝3－4＋＝0，
∴ ，又AE平面BCF，∴AE∥平面BCF.
(2)＝(－3，0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴ ， ，又AEAF＝A，∴CF平面AEF.
【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何线面位置关系的判定中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用平面法向量的性质和空间向量的共面定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．A
【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可.
【详解】由题意知：，，
对于A，，，
与均垂直，是平面的一个法向量，A正确；
对于B，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，B错误；
对于C，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，C错误；
对于D，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，D错误.
故选：A.
12．C
【分析】利用向量垂直的坐标表示判断出正确选项.
【详解】A，，错误.
B，，错误.
C，，正确.
D，，错误.
故选：C
13．C
【分析】根据得到得到，从而得到关系式.
【详解】由题意可知，故，
故选：C
14．B
【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
15．AD
【分析】由平行平面的法向量共线，可求解.
【详解】设平面的法向量可能为，则由题意可得，
对于选项，，满足题意；
对于选项，设，无解，所以不符合题意；
对于选项，设，无解，所以不符合题意；
对于选项，，满足题意．
故选：AD．
16．
【分析】根据题意，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】由平面中，点，
可得，
因为为平面的一个法向量，则，
解得.
故答案为：；.
17．（答案不唯一）.
【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的判定与性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案.
【详解】连接，
因为是边长为1的正三角形，，F为的中点，所以，
又因为平面平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.
连接AC，因为，，所以是等边三角形，又
F为的中点，所以.
综上可知，直线两两垂直，
所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
由题意，在正和正中，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，化简得，
令，则x＝，即
所以平面的一个法向量为（答案不唯一）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第一课】
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
[课标要求]
1.能用向量语言表述直线和平面.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量.
3.会求直线的方向向量与平面的法向量.
4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系.
5.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直关系.
[明确任务]
1.利用向量的方法解决线线、线面、面面的平行（垂直）关系. （数学建模、数学运算）
2.利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面平行（垂直）. （数学建模、逻辑推理）
1.平面向量平行与垂直的坐标表示
2.运用平面向量的坐标运算解决直线平行、垂直问题
3.线线、线面、面面平行与垂直的判断定理
核心知识点1 空间中点、直线的向量表示
1.点的位置向量：在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.
2.空间直线的向量表示式
（1）设a是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，①
将代入①式，得，②
①和②都称为空间直线的向量表示式.
（2）性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
温馨提示　（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
（2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则（　　）
A.直线DD1的一个方向向量为（0，0，1） B.直线AB的一个方向向量为（0，0，1）
C.直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D.直线B1D的一个方向向量为（1，1，1）
【答案】AC
【解析】∵AA1∥DD1，且＝（0，0，1），∴A正确；
∵＝（1，0，0），∴直线AB的一个方向向量为（1，0，0），
又向量（0，0，1）垂直于向量（1，0，0），∴B不正确；
连接AD1，∵AD1∥BC1，＝（0，1，1），∴C正确；
∵＝（－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），
又（－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确.
归纳总结 理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
（2）直线的方向向量不唯一.
【举一反三】
（2023·山东菏泽三中高二月考）
1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．（2，1，3） B．（4，1，6）
C． D．
2．若直线的方向向量分别为，则（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定
核心知识点2 空间中平面的向量表示
1.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使
我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
2.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}.
温馨提示　（1）平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
（2023·福建三明一中高二月考）
例2 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求：
（1）平面ACE的一个法向量；
（2）直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
【解析】 （1）因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，
AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），D（0，，0），
，B（1，0，0），C（1，，0），
于是，＝（1，，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则，即，所以
令y＝－1，则x＝z＝
所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）.
（2）如图，P（0，0，1），C（1，，0），
所以＝（1，，－1）即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z），
因为D（0，，0），所以＝（0，，－1），
则，即，所以
令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，）.
归纳总结 表示空间利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的法向量为n＝（x，y，z）.
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量
（3）列方程组：由列出方程组.
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）.
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
【举一反三】
3．已知，则平面的一个法向量的坐标为 .
4．已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 .
核心知识点3 空间中直线、平面的平行
1. 两直线平行的判定方法：
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则 u1∥u2；或λ∈R，使得u1＝λu2.
温馨提示　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
2.直线和平面平行的判定方法：
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，若 l∥α，则u⊥n即u·n＝0.
温馨提示　（1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直.
（2）特别强调直线在平面外.
3.平面和平面平行的判定方法：
设n1，n2分别是平面α，β的法向量， 若α∥β，则n1∥n2 或λ∈R，使得n1＝λn2.
温馨提示　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.
（2023·广东佛山顺德区容山中学高二期中）
例3 .在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0，a），，B（a，a，0）.
法一　设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z），
又，，
则有，即，即
令z＝1，则，所以n＝（1，－1，1），
又＝（a，0，－a），所以n·＝（1，－1，1）·（a，0，－a）＝a－a＝0.
所以n⊥，又PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
法二　因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，
所以，又＝（a，0，－a），
所以，则PA∥EG.
而EG在平面EDB，且PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
法三　假设存在实数λ，μ使得，
即（a，0，－a）＝λ＋μ，
则有，解得
所以，所以共面.
又PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
归纳总结 运用空间向量判断直线、平面的平行
1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示；
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
2.证明面面平行问题可由以下方法：
（1）转化为相应的线线平行或线面平行；
（2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
【举一反三】
5．如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面．
6．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.
核心知识点4 空间中直线、平面的垂直
1.两直线垂直的判定方法
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，若l1⊥l2，则u1⊥u2，即u1·u2＝0.
温馨提示：（1）两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.
（2）基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
2.直线和平面垂直的判定方法
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，若l⊥α，则u∥n，或λ∈R，使得u＝λn.
温馨提示：证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可.
3.平面和平面垂直的判定方法
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，若α⊥β，则n1⊥n2即n1·n2＝0.
温馨提示：利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：
（1）利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；（2）直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
（2023·福建莆田一中高二月考）
例4 . 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.
求证：EF⊥平面B1AC.
【解析】证明：　法一　设＝a，＝c，＝b，
则＝（－a＋b＋c）.
∵＝a＋b，
∴＝（－a＋b＋c）·（a＋b）＝（b2－a2＋c·a＋c·b）＝（|b|2－|a|2＋0＋0）＝0.
∴，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
法二　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）.
∴＝（－1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－2，2，0）.
∴＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴，，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
法三　由法二得＝（0，2，2），＝（－2，2，0），＝（－1，－1，1）.
设平面B1AC的法向量n＝（x，y，z），
则·n＝0，·n＝0，
即，取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝（1，1，－1），∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC.
归纳总结 运用空间向量坐标判断平行于垂直的基本思路
1.用向量法证明线面垂直的两种思路
（1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直.
（2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.向量法证明面面垂直的两种思路
（1）证明两个平面的法向量垂直.
（2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.
【举一反三】
7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.

8．在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，G是的重心，E，F分别为上的点，且．求证：平面平面.
9．若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　）
A． B．
C． D．
11．若直线的方向向量分别为，则（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定
12．给出下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面的法向量分别为，则
D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
13．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为 ．
14．如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ .
15．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面分别为的中点．求证：平面．

16．如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．AC
【分析】利用，是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量..
【详解】设点,，那么 ，即 为空间直线l的一个方向向量， 也是空间直线l的一个方向向量.
故选：AC
2．B
【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案.
【详解】由题意得，
∴，∴，
故选：B
3．（答案不唯一）
【分析】首先表示出，，设平面的法向量为，则，即可得到不定方程组，取值即可；
【详解】解：因为，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以；
故答案为：（答案不唯一）
4．
【分析】根据得到向量与平面的法向量垂直，然后列方程求解即可.
【详解】解：∵，且的方向向量为，平面的法向量为，
∴向量与平面的法向量垂直，
∴，
∴解得.
故答案为：.
5．证明见解析
【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，写出相关点坐标，求面的法向量、的坐标，判断、的位置关系，即可证结论.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
则，，
所以．
设面法向量为，则，令，则．
由于，因此，平面，
所以．
6．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得证.
【详解】因为，是棱的中点，
所以，所以为正三角形.
因为为等腰梯形，，
所以.
取的中点，连接，
则，所以.
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，，
所以，，
又不重合，不重合，
所以，，
因为平面， 平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面
7．证明见解析
【分析】由题设构建空间直角坐标系，法一：求出平面ABE的法向量，坐标公式判断，即可证结论；法二：向量垂直的坐标表示证，，根据线面垂直的判定证结论.
【详解】由底面，，易知两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC，设，
则，

∵，∴为正三角形，则，
∴，
法一：设平面ABE的法向量为，则，
令，，而，显然，则，
∴也是平面ABE的一个法向量，即平面ABE.
法二：，则，，
∴，，即，故平面ABE.
8．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，由向量法证明直线平行，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明．
【详解】如图，以三棱锥的顶点P为原点，以所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令，
则
于是，，故，∴.
∵平面，
∴平面，∴平面.
又平面，
∴平面平面.
9．A
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
【详解】由题意可得：直线的一个方向向量，
又∵，
∴是直线的一个方向向量．
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．
10．B
【分析】若点在平面内，则该点与构成的向量与的数量积为0，由此依次判断选项即可得到答案.
【详解】对于A，，则，故A不正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，则，故C不正确；
对于D，，则，故D不正确；
故选：B
11．B
【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案.
【详解】由题意得，
∴，∴，
故选：B
12．AD
【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断.
【详解】对于A，，则，
所以直线与垂直，故A是真命题；
对于B，，则，
所以或，故B是假命题；
对于C，，即不垂直，
所以不成立，故C是假命题；
对于D，，
因为向量是平面的法向量，故，
即，故D是真命题，
故选：AD
13．5
【详解】∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝
14．1
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论．
【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，.
设，则
因为， ，，
即是AD的中点，故，
故选：B.
15．证明见解析
【分析】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积可得，可证得，再由线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，其中，则，
所以．所以．
所以．又平面平面，
所以平面．

16．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解.
【详解】由题意可知底面为正方形，
因为平面，平面，所以两两垂直，
如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系，
则有关点及向量的坐标为：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取可得平面的一个法向量为，
因为，又在平面外，
所以平面.
答案第1页，共2页
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