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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第二练】
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题．
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展．
【目标分析】
1．运用直线的方向向量判定直线位置关系，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第3题、第7题；
2．熟练掌握平面法向量的算法，锻炼数学运算能力 ，如第2题、第3题、第9题；
3．运用空间向量解决直线、平面的平行问题，培养逻辑推理和数学运算能力，如第5题、第6题、第7题、第11题；
4．运用空间向量解决直线、平面的垂直问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，第4题、 第6题、第8题、第10题、第12题；
（2023·山东日照实验高级中学高二月考）
1．两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．平行 B．垂直 C．异面 D．相交或异面
（2023·海南海口高二期中）
2．如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（ ）

①②
③④
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
（2023·贵州遵义高二期中）
3．已知向量为平面α的一个法向量，为一条直线，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·江西九江一中高二期中）
4．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是.若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西师大附中高二期末）
5．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（ ）

A． B． C． D．
（2023·湖北黄石高二期末）
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）

A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面
（2023·福建厦门集美区高二期中）
7．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面、的法向量分别为、，则、相交
D．若平面经过三点、、，向量是平面的法向量，则
（2023·山东菏泽高二期中）
8．在正方体中，若为中点，则直线可能垂直于（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津大港中学高二期中）
9．已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为
（2023·辽宁阜新高二期末）
10．在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，当 时，平面．
（2023·河北邯郸高二期末）
11．如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．证明：

(1)平面；
(2)平面⊥平面．
（2023·江西景德镇高二期末）
12．如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【易错题目】第5题、第10题 、第12题
【复盘要点】（2023·吉林四平高二期中） 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1． 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图．
则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．
假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E(0，y，z)，
则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)．
∵，∴y×(－1)－2(z－1)＝0　①．
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB，可得． ∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0．
∴y＝1，代入①式得z＝． ∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB．
【点睛】运用空间向量坐标解决存在性问题的基本思路；
（1）根据题目垂直条件建立空间直角坐标系，并将相关的点、向量用坐标表示；
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程组求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【复盘训练】
（2023·广东湛江雷州市高二期末）
13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（ ）

A． B． C． D．
（2023·福州三中高二期末）
14．如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使平面？
(2)在平面上是否存在一点N，使平面？
（2023·辽宁大连二十四中高二期末）
15．在多面体中，正方形和矩形互相垂直， 分别是和的中点，.
（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
（2023·广东汕尾陆丰高二期末）
16．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.
【详解】因为，
，故直线不垂直，
又，故直线不平行，所以两条直线相交或异面.
故选：D.
2．B
【分析】利用平面向量的法向量的定义求解.
【详解】依题意，，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，即，
令，则，，所以，
令，则，，所以，
令，则，，所以，
令，则，，所以，
故选：B.
3．C
【分析】根据平面法向量与直线的关系，结合充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】向量为平面α的一个法向量，设为直线l的一个方向向量，
若，则，则，充分性成立；
若，则，则，必要性成立，
所以是的充要条件．
故选：C．
4．B
【分析】利用平面垂直，法向量垂直，数量积为即可得取值范围.
【详解】
，
即，
则，
，
则.
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，掌握利用向量数量积判断向量垂直是解题的关键，属于基础题.
5．C
【分析】先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.
【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则，
可得，
设是平面的法向量，则，
令，则，即，
由，且，可得，
又因为，则，
由∥平面，可得，解得.
故选：C.
6．C
【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.
【详解】
以为正交基底建立空间直角坐标系，设，
则.
所以，.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误；
因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误；
因为，且线在面外，所以平面，C正确；
因为，所以与平面不平行，D错误.
故选：C
7．ACD
【分析】计算可得，可判断A选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断B选项；利用平面的位置关系与空间向量的关系可判断C选项；利用平面法向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线的方向向量，直线的方向向量，
则，即，所以，，A对；
对于B选项，若直线的方向向量，平面的法向量，
则，所以，，则或，B错；
对于C选项，若平面、的法向量分别为、，则与不共线，
所以，、相交，C对；
对于D选项，，，
因为为平面的法向量，则，解得，
此时，，D对.
故选：ACD.
8．AC
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出，由空间向量数量积的坐标运算即可判断.
【详解】设正方体棱长为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以，
，，
所以，，即，，
而与不垂直，与不垂直，故AC正确，BD错误.
故选：AC.
9．（答案不唯一）
【分析】根据题设建空间直角坐标系，应用向量法求平面的一个法向量即可.
【详解】由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，则，
设平面SCD的一个法向量为，则，
令，故是平面SCD的一个法向量．

故答案为：（答案不唯一）
10．##
【分析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，由平面，则，由空间向量数量积的定义代入解方程即可得出答案.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，
则，
，
若平面，则，
即，解得，所以．
故答案为：.
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可以点为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由，即可证明；
（2）求出平面的一个法向量，由即可证明.
【详解】（1）因为平面，且平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
依题意，以点为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面⊥平面．
12．(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）通过求证，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）四边形是平行四边形，
.
平面平面
平面.
（2）取的中点为.
平面平面平面，平面平面,
平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内,

，
，，
.
设平面的法向量为
即
令，则.
，
.
又平面的法向量为平面，
∴.
∴在线段上存在点，使平面，且的值是.
13．C
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，又平面，
，，解得：.
故选：C.
14．(1)不存在
(2)存在
【分析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案；
（2）设，由可得答案.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则点A(1，0，0)，E，，
，＝．
假设存在点满足题意，于是，
所以 ，所以，
解得与矛盾，
故在上不存在点使平面．
（2）假设在平面上存在点N，使平面．
设，
则，因为，
所以，解得，
故平面AA1B1B上存在点N，使平面．
15．（1）证明见解析；（2）存在，且.
【分析】（1）结合面面垂直的性质定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用向量法，结合平面来求得点的坐标，进而求得的长.
【详解】（1）由于正方形和矩形互相垂直，且交线为，
，根据面面垂直的性质定理可知平面.
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设.
，
设平面的法向量为，
则，故可设,
若平面，则，
所以存在使平面，
所以，.
16．(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面；
（2）先证明平面．以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，求出点的坐标，然后得到.求出平面的法向量，根据得出的值，根据数乘向量的模，即可得出答案.
【详解】（1）
如图1，连结交于点.
因为是正方形，所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
因为平面，平面，所以．
因为为正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴，
建立空间直角坐标系，如图2，
则，，，，，，
所以.
令，
则,
所以，所以.
因为，，
设是平面的一个法向量，
则，所以，
取，则是平面的一个法向量.
因为平面，所以，
所以有，解得，所以.
因为，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第二课】
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
题型一 直线方向向量与平面法向量的算法
例1（2023·山东菏泽三中高二月考）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量 ；
（2）点OD的一个方向向量 ；
（3）平面BHD的一个法向量 ；
（4）的重心坐标 ．
【答案】
【解析】由题意可得：，，．．
由图示，可得：，，，，，，
（1）直线BC的一个方向向量为，
（2）点OD的一个方向向量为；
（3），．设为平面BHD的一个法向量，
则，不妨设，则．
故平面BHD的一个法向量为．
（4）因为，，，，
所以的重心坐标为．
故答案为：（1）；（2）；（3）（4）．
【方法总结】求解直线方向向量与平面法向量的关键点
1．对直线方向向量的三点说明
（1）方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量
（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
（3）非零性：直线的方向向量是非零向量．直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．
2．求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0．
【变式训练1-1】（2023·江苏盐城高二期中）
1．若向量都是直线的方向向量，则 .
【变式训练1-2】（2023·四川泸州高二期末）
2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为 ．
【变式训练1-3】（2023·湖北十堰高二期中）
3．四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．
题型二 运用空间向量坐标判断直线、平面平行
例2（2023·河南安阳一中高二期中）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．
证明：平面．
【答案】证明见解析
【解析】因为在底面 内，，所以，
连接，因为为的中点，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
因为底面，底面，所以，
所以以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
因为侧面PAD为等边三角形，，
所以，，，，，
因为E是PD的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则
，令，得，
因为，所以，
又因为平面，所以平面．
【方法总结】运用空间向量坐标判断直线、平面平行的基本思路
线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)， 则l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)， 则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
【变式训练2-1】（2023·山东菏泽高二期末）
4．设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直
【变式训练2-2】（2023·海南海口高二联考期末）
5．如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
【变式训练2-3】（2023·湖南师大附中高二期末）
6．如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.

题型三 运用空间向量坐标判断直线、平面垂直
例3 （2023·四川乐山高二期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图建立以A为原点的空间直角坐标系，设正方体边长为．
A选项，，
则，则，故A错误；
B选项，，
，则，故B错误；
C选项，，
，则，即，故C正确；
D选项，
，则，故D错误．
故选：C
【方法技巧与总结】运用空间向量坐标判断平行于垂直的基本思路
线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)， 则l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)， 则l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
【变式训练3-1】（2023·福建三明高二期中）
7．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
【变式训练3-2】（2023·江苏淮安高二期末）
8．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
【变式训练3-3】（2023·辽宁阜新高二期末）
9．如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：
(1)CM面；
(2)面面.
易错点1 建系、找点、运算失误、使法向量出错
例1（2023·河北邯郸高二期中）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？
【答案】F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）．
【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设DA＝2，则，
∴，，
∵，∴，
设，，∴，∴
∴，∴
∵＝0，∴，∴，
∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)．
易错警示：求法向量的步骤及关键点
1．求平面法向量的步骤
（1）设法向量n＝(x，y，z)；
（2）在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
（3）建立方程组
（4）解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
（5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
（6）得结论：得到平面的一个法向量．
2．求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0．
针对训练1-1
10．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
针对训练1-2
11．如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是 .
针对训练1-3（2023·福建莆田高二期末）
12．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ．
易错点2 已知平行垂直关系，求参数
例2．（2023·江苏张家港高二期末）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．
（1）判断，，，四点是否共面，并说明理由；
（2）在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
【答案】（1），，，四点共面，理由见解析
（2）为中点
【解析】（1）答案：四点共面．
证明：取的中点，连接，，取的中点，连接，
则在等边三角形中，，
又因为平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，，，
设，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，因为为公共点，所以，，，四点共面．
（2）解：设，故，
若平面，则，即，解得，
所以为中点时，平面．
易错警示： 向量法处理空间平行与垂直问题求参数的两个角度
（1）求字母的值：通过线线、线面、面面平行（垂直）转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
（2）求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
针对训练2-1 （2023·四川绵阳高二期中）
13．在直三棱柱中，，，平面的一个法向量为，则棱的长为 ．
针对训练2-2（2023·河南南阳高二校考）
14．如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 .
针对训练2-3（2023秋·陕西西安·高二统考阶段练习）
15．已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】根据题意可知，再根据空间向量共线定理即可得解.
【详解】根据题意可知，
故存在唯一实数，使，即，
则，解得，
所以.
故答案为：.
2．
【分析】根据题意得到，再利用空间向量平行的坐标成比例得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
3．答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可.
【详解】因为平面，平面，所以
又，，所以，
所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
所以是平面的一个法向量．
因为，
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
4．A
【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.
【详解】因为，所以，
所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内.
故选：A.
5．ABC
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面和平面的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.
【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

不妨设正方体的棱长为，则
所以，
所以，即，亦即，故A正确；
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面，故B正确；
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
所以平面平面，故C正确；
所以,
所以和不平行，故D错误.
故选：ABC.
6．证明见解析
【分析】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，，，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行．
【详解】建立如图所示的空间坐标系，

设，则，
∴，
，
∵，∴，设λ，
则λ ，．
∴，
∴．
∵BP 平面PAB，BA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两个向量的数量积为0，可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD
∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直；
（2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
（2）由（1）知，，，.
设是平面的法向量，则，，
所以，得，
取，得，，则.
因为，所以，即与共线.
所以平面.
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，由法向量与方向向量的关系即可证明线面平行，
（2）根据空间向量垂直可证明线面垂直，进而根据面面垂直的判断定理即可求证.
【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
设为平面的一个法向量，
由 得 令，得，
，则，又平面，
平面.
（2）如图，取的中点，连接，
则.
.
又，
，又平面,
平面，又平面，
平面平面
10．A
【分析】求出向量的坐标后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐标运算列出方程组，求解即可.
【详解】
，
由为平面α的法向量，得,即
解得
故选：A.
11．，3，
【解析】根据条件可得，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，由，能求出平面的一个法向量.
【详解】长方体中，，，，，分别是，的中点，
以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，，2，，
，4，，，2，，
设平面的一个法向量是，，，
则，取，得，3，，
则平面的一个法向量是，3，.
故答案为：，3，.
12．（答案不唯一）
【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量.
【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，
由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），
，
设平面CDF的一个法向量为，
则，取x=-1，得，
故答案为：（答案不唯一）
13．2
【分析】建立空间直角坐标系，设出，从而由结合得到答案.
【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由题意可知，，，
所以，，因为，
所以根据法向量的定义可得，，解得，
且，所以.
故答案为：.
14．
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可.
【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则得一个法向量为.
因为平面，则，
设，则，所以，
解得，所以，即.
故答案为：
15．3
【分析】建立空间直角坐标系，求出面DBN的法向量，表示出，由求出的值即可.
【详解】
易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF，
又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，
又，
同理可得，设面DBN的法向量为，
则，令，则，又，
又面DBN，则，解得.
故答案为：3.
答案第1页，共2页
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