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2.1.1 倾斜角与斜率【第一练】
2.1.1 倾斜角与斜率【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.考查倾斜角的概念与范围，培养直观想象和数学运算素养，如第5题、第8题、第11题；
2.直线斜率的计算，倾斜角与斜率的关系，直线方向向量与斜率关系，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第2题、第3题、第6题、第9题、第12题、第13题；
3.运用斜率的几何意义求范围，培养逻辑推理和数学运算能力，如第8题、第10题、第15题、第16题；
一、填空题
（2023·宁夏石嘴山高二期中）
1．直线l经过原点和，则它的倾斜角为 .
（2023·山东泰安高二期中）
2．过两点的直线的倾斜角为，则实数m的值为 .
（2023·河南省驻马店市月考）
3．过，两点的直线的一个方向向量为，则y= .
（2023·天津西青区期中）
4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 ．
（2023·湖北黄石期中）
5．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为 ．
（2023·湖北省武汉市华中师大一附中期中）
6．若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数a的值是 ．
（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）
7．一束光线射到轴上并经轴反射.已知入射光线的倾斜角，则反射光线的斜率为 .
（2023·江苏连云港市期中）
8．已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为 .
（2023秋·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）
9．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为
（2023·安徽霍邱高二期中）
10．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是 .
二、解答题
（2023·江西赣州高二期中）
11．如图，已知三点，，．

(1)求直线AB，BC，CA的斜率；
(2)求直线BC，CA的倾斜角．
（2023·辽宁朝阳高二期中）
12．根据下列条件，求直线的倾斜角；
(1)斜率为；
(2)经过两点；
(3)一个方向向量为．
（2023·湖北荆州高二期中）
13．已知坐标平面内两点．
(1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值．
（2023·甘肃白银高二期中）
14．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
（2023·四川广安高二期中）
15．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
（2023·辽宁抚顺高二期中）
16．已知点，，，点Q是线段AB上的动点．
(1)求直线PQ的斜率的范围；
(2)求直线PQ的倾斜角的范围．
【易错题目】第8题 、第10题、第15题、第16题
【复盘要点】 直线倾斜角与斜率的关系：注意结合正切函数的图像，数形结合，理清它们的关系.
倾斜角（范围）
斜率 （范围） 不存在
【典例】（2023·河南省洛阳市期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
思路点拨 k的取值范围→的取值范围→的取值范围
【答案】D
由，得，又，利用正切函数的性质得倾斜角的取值范围是．（易错错误地得出．事实上，当时，；当时，，从而得）
易错警示： 直线的倾斜角并非总随着直线斜率的增大而增大，即倾斜角随斜率的增大而增大是有限制条件的，当（或）时，倾斜角随斜率的增大而增大．
【归纳总结】
（1）由图形直观求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：．
（2）根据直线的斜率求倾斜角时，注意利用进行求解，在求取值范围时，注意结合正切函数的性质求解．
【复盘训练】
（2023·福建三明高二期中）
17．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山西师大附中高二期中
18．若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北邯郸高二期中）
19．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东泰安高二期中）
20．已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·辽宁大连八中高二月考）
21．已知直线经过两个不同的点，则直线的斜率的取值范围为 ，直线的倾斜角的取值范围是 .
（2023·安徽铜陵高二期中）
22．已知过点，的直线l的倾斜角为，斜率为k．
（1）当时，求实数m的值．
（2）当时，求实数m的取值范围．
（2023·四川南充高二期中）
23．已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
（2023·广东揭阳高二期中）
24．已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】先由斜率公式求斜率，然后可得倾斜角.
【详解】由斜率公式可得直线的斜率，
记直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故答案为：
2．##
【分析】根据斜率定义和斜率公式可得.
【详解】因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得m＝.
故答案为：
3．-1
【分析】由直线的方向向量可得直线的斜率，再由斜率公式可得答案.
【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为，
所以，解得．
故答案为：.
4．0
【详解】由于正三角形的内角都为，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为，则斜率为，则边AC所在直线的倾斜角为，斜率为，所以AC，AB所在直线的斜率之和为．
5．
【分析】根据题意可知，，结合两角和的正切公式运算求解.
【详解】设直线l，的倾斜角分别为，，则，
因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线，所以，
所以直线的斜率为．
故答案为：.
6．
【分析】根据直线方向向量与斜率的关系，以及斜率定义可解.
【详解】∵直线l的方向向量是，
∴直线l的斜率，
又直线的倾斜角，
∴斜率，解得．
故答案为：
7．
【分析】根据入射光线和反射关系的倾斜角互补，即可求得.
【详解】因为入射光线的倾斜角，所以反射光线的倾斜角为，
故反射光线的斜率为，
故答案为：
8．
【分析】分、、三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由正切函数的性质知，当时，；
当时，不存在；
当时，.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
9．
【分析】由斜率公式建立方程求解即可.
【详解】由直线过点，，
得直线的斜率，
又直线过点和，
得直线的斜率，
因为两条直线的斜率相等，
所以，解得.
故答案为：.
10．
【分析】根据斜率和倾斜角的关系即可求解.
【详解】当时，此时直线方程为，故倾斜角
当时，直线的斜率为，
由于，所以或，所以倾斜角的范围，
综上的范围是，
故答案为：
11．(1)，，；
(2)直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为.
【分析】（1）利用两点式求直线斜率；
（2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小.
【详解】（1）直线AB的斜率；
直线BC的斜率；
直线CA的斜率．
（2）设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角．
设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由斜率和倾斜角的关系求倾斜角；
（2）由直线的斜率公式求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角；
（3）由方向向量的定义求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】（1）设直线的倾斜角为，
∵直线的斜率为，∴，
又∵，∴；
（2）由已知得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
∵，∴；
（3）由直线的一个方向向量为，可得斜率，
∵，∴.
13．(1)
(2)
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为倾斜角为锐角，则，又
即，解得．
（2）直线的方向向量为
14．x2＝7，y1＝0.
【分析】根据直线上两点确定直线的斜率公式求解即可.
【详解】由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，
故，
即，解得x2＝7，y1＝0.
【点睛】本题主要考查直线斜率的坐标公式，在应用时要注意对应，尽量不要出错.
15．(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【详解】（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）两点式求直线的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可；
（2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围.
【详解】（1）如下图，，，
则直线PQ的斜率范围为.

（2）令直线倾斜角为，而直线对应倾斜角分别为，
则直线PQ的倾斜角范围为.
17．A
【分析】由倾斜角的定义可判断，，的大小，由斜率与倾斜角的关系可判断，，的大小.
【详解】解：由图可知，即，故C、D都错误.
又因为当时，，且随的增大而增大，故；
当时，，故；故，故A正确，B错误.
故选：A.
18．B
【分析】根据直线的斜率公式确定，结合倾斜角的范围以及正切函数的性质，即可确定答案.
【详解】直线l经过，两点，
则,即，
由于，则α为锐角，故，
故选：B
19．D
【分析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.
【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：
∴所求直线l的斜率k满足或，
，
则或，
∴，
故选：D．
20．AB
【分析】由题可得或，即可求出.
【详解】解：，，
直线l过点且与线段MN相交，则或，
则直线l的斜率k的取值范围是：或．
故选：AB．
21．
【分析】利用直线的斜率公式及同角三角函数的平方关系，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】当时，，此时两点重合，
所以，
所以直线的斜率为，
因此直线的倾斜角的取值是.
故答案为：.
22．（1）；（2），或
【分析】（1）根据斜率公式可得关于m的方程，解之即可得到结果；（2）根据斜率公式可得关于m的不等式，解之即可得到结果.
【详解】（1），化简整理得，，
解得，或．当时，A，B两点重合，不合舍去．．
（2），
即，解得，或.
【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查已知斜率求参数以及学生的计算求解能力，熟练掌握解不等式的方法是解决第二问的关键.
23．(1)．
(2)．
【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围．
【详解】（1）因为，，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
24．(1)斜率为1，倾斜角为；
(2).
【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角；
（2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得.
【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为，
记倾斜角为，则，
因为，所以直线的倾斜角为.
（2）由题知为直线的斜率.
记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为，
由图可知，，
又，，
所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.1.1 倾斜角与斜率【第一课】
2.1.1 倾斜角与斜率
[课标要求]
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
[明确任务]
1.倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题. (数学运算)
2.倾斜角与斜率的定义及它们之间关系的理解. (数学抽象)
1.任意角、象限角、三角函数的概念；
2.特殊角的三角函数、正切函数的图像与性质.
核心知识点1 直线的倾斜角
1.直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
2.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此直线倾斜角的取值范围是{α|0°≤α<180°}，具体如下：
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
直线 平行(重合) 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
提示　(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°).
(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等.
(3)一条直线的倾斜角存在且唯一.
例1.
1．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
归纳总结 理解倾斜角定义要点
1.解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
【举一反三】
2．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180° B．15°<α<180°
C．15°≤α<180° D．15°≤α<195°
3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 (　　)
A．α＋45° B．α－135° C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为
C．倾斜角为的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则
（2023·福建三明一中高二月考）
5．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ．
核心知识点2 直线的斜率
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，
即k＝tanα.
2.斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝.
3.若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
提示　(1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率.
(2)斜率从“代数”的角度刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度，它的取值范围是(－∞，＋∞).
(3)斜率的三种计算方法虽然适用情况不同，但必要时可以相互转化.
考向1：直线斜率的定义
例2.
6．已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率.
归纳总结 直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：
（1）特殊角的斜率
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
(2)当0°≤α＜90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；
(3)当90°＜α＜180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.
【举一反三】
7．直线过点(0，3)且垂直于y轴，它的倾斜角和斜率是（ ）
A．90°，不存在 B．180°，0 C．90°，1 D．0°，0
8．若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．或
9．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ．
考向2：斜率的计算
例3.
10．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
(1)，；
(2)，；
(3)，).
归纳总结
只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.
【举一反三】
11．经过、两点的直线的斜率是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．若直线过点，，则直线的倾斜角取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向3：斜率的应用
例4.
13．已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由．
归纳总结 判断三点共线
1.对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在.
(1)若都不存在，则三点共线；
(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线.
2. 若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在). 解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论.
【举一反三】
14．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是
A． B． C．1 D．
15．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为 ．
16．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 ．
17．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为 ．
18．若直线x =1的倾斜角为α，则α=
A．0° B．45° C．90° D．不存在
19．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
20．若过点和的直线的斜率为，则a的值为（ ）
A．4 B．0
C． D．1
21．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）

A． B．
C． D．
22．（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
23．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为 ．
24．斜率为2的直线过，，三点，则 ．
25．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 .
26．已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2，+1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】根据直线倾斜角的定义及直线的图象可知，与轴的正方向所成交可能为或.
【详解】如图所示，直线有两种情况，故的倾斜角为或.
【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的概念，属于中档题.
2．D
【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可.
【详解】设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°.
3．D
【详解】根据题意，画出图形，如图所示：
因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当，的倾斜角为；当时，的倾斜角为，故选D．
4．AC
【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确；
对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误；
对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确；
对选项D：当时，；当时，，错误.
故选：AC
5．60°或120°
【分析】根据图形，结合倾斜角的定义确定直线的倾斜角大小.
【详解】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°，
故答案为：60°或120°
6．
【分析】设直线的倾斜角为，斜率为，确定，计算斜率即可.
【详解】如图，设直线的倾斜角为，斜率为，则，
故.
故直线的斜率为.
7．D
【分析】利用直线垂直于y轴可得倾斜角及斜率.
【详解】因为直线l与y轴垂直，
所以直线的倾斜角是0°，斜率为0，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.
8．D
【分析】考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】当斜率时，倾斜角为；当斜率时，倾斜角为；
故选：D.
9．
【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.
【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.
故答案为：.
10．(1)存在，斜率，倾斜角
(2)存在，斜率，倾斜角
(3)答案见解析
【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可；
（2）存在，计算斜率和倾斜角即可；
（3）考虑和两种情况，计算斜率和倾斜角即可；
【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即，又，倾斜角.
（2）存在，直线CD的斜率，即，又，倾斜角.
（3）当时，斜率不存在，则倾斜角；
当时，直线的斜率且倾斜角满足，.
11．D
【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】由斜率公式可得，解得.
故选：D.
12．D
【解析】设直线的倾斜角为，则，由，可得，从而可求出直线的倾斜角取值范围
【详解】解：设直线的倾斜角为，则
，
因为，所以，即，
因为，所以或，
所以直线的倾斜角取值范围是，
故选：D
13．（1）；（2）能共线，.
【分析】（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值；
（2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m的值.
【详解】（1）过A，C两点的直线的斜率为 ，
又直线AC的倾斜角为，所以，得.
（2），，
若，，三点共线，则有，即，解得，
所以A，B，C三点能共线，且.
【点睛】本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法.
14．ACD
【解析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解
【详解】
当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则
当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则
故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或
故选：ACD
【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题
15．2或
【分析】根据三点共线得AB斜率与BC斜率相等，解方程可得实数a的值.
【详解】因为三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，
所以.
【点睛】本题考查利用斜率研究三点共线，考查基本求解能力.
16．(－2,1)
【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为
考点：直线的斜率公式
点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．
17．2
【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出.
【详解】∵直线l过点A（1，2），且不过第四象限，
∴则直线的斜率的最大值为
故答案为：2
18．C
【详解】试题分析：直线与轴垂直，倾斜角为90°．故选C．
考点：直线的倾斜角．
19．C
【分析】利用直线的倾斜角的定义和直线的斜率的定义，以及斜率与倾斜角的关系，即可判定，得到答案．
【详解】由题意,根据直线的倾斜角的定义,可知①是正确的；由直线的斜率与倾斜角的关系可知，所以②是正确的；根据直线的斜率和直线的倾斜角的定义，可知③是正确的，④是不正确的，所以①②③正确，故选C．
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和直线的斜率的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，其中熟记直线的斜率与倾斜角的定义、斜率与倾斜角的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
20．B
【分析】根据题意结合斜率计算公式运算求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：B.
21．A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解析 设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，
即．
故选：A
22．CD
【分析】根据题意，依次分析选项即可.
【详解】对于A，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，A错误；
对于B，直线的倾斜角的范围为，，B错误；
对于C，直线的倾斜角的范围为，，则有，C正确；
对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，D正确；
故选：CD.
23．
【分析】根据题意可知，，结合两角和的正切公式运算求解.
【详解】设直线l，的倾斜角分别为，，则，
因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线，所以，
所以直线的斜率为．
故答案为：.
24．1
【分析】由两点间的斜率公式代入计算解出，可得结果.
【详解】由题意可得，
解得，，
所以可得．
故答案为：1
25．(3,0)或(0,3)
【分析】由题意可得，分别设和，利用斜率公式列出方程，即可求解．
【详解】由题意可得，若点在轴上，则设，则，解得；
若点在轴上，则设，则，解得，
故点的坐标为(3,0)或(0,3).
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
26．（1）； （2）.
【详解】试题分析：（1）根据直线的斜率公式求解；（2）先求出直线AC,BC的斜率，然后结合图形可求得直线CD的斜率的变化范围．
试题解析：
(1)由斜率公式得
kAB==0，kAC==.
所以直线AB的斜率为0，直线AC的斜率为．
(2)如图所示．
由斜率公式可得kBC==.
设直线CD的斜率为k，
结合图形可得当直线CD由CA的位置按逆时针方向旋转到CB的位置时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，
所以．
即k的取值范围为．
点睛：解答本题时要利用数形结合的方法求解，利用斜率公式求出直线AC,BC的斜率，结合图形求出直线CD的斜率的取值范围．但要注意在求直线CD的斜率的范围时需要判断是否有的斜率不存在的情况．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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