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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第一练】
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.运用空间向量研究点到线、点到面、线与线、线与面、面与面的距离，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第6题、第8题、第10题；
2.运用空间向量求异面直线所成的角，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第7题、第9题、第10题；
3.运用空间向量求线面角，培养逻辑推理和数学运算能力，如第4题、第5题、第7题、第9题；
4.运用空间向量求二面角，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，第3题、第8题；
一、填空题
（2023·甘肃武威高二期中）
1．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线CE的距离为 .
2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为 .
（2023·宁夏石嘴山高二期中）
3．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为 .
4．如图，在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 .
（2023·湖北黄石高二期中）
5．已知正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为 .
（2023·安徽霍邱高二期中）
6．在三棱锥中，平面平面ACD，O是AD的中点，若棱长，且，则点D到平面ABC的距离为 ，点O到平面ABC的距离为 .
二、解答题
（2023·甘肃白银高二期中）
7．如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
8．如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
（2023·四川南充高二期中）
9．如图，平面ABDE⊥平面ABC，是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点.
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；
(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.
（2023·河北邯郸高二期中）
10．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
【易错题目】第6题、第8题 、第10题
【复盘要点】 立体几何中的距离问题主要包括：点到直线的距离、点到面的距离、两条平行线的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离及两个平行平面的距离.解决距离问题，可以借助空间向量，利用相关公式计算，注意理解计算公式的推导过程.体会距离间的转化关系，即本质都是点到平面的距离.
（2023·山东泰安高二期中）
【典例】
11．如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
【归纳总结】点P到平面α的距离的三个步骤
(1)在平面α内取一点A，确定向量的坐标表示；
(2)确定平面α的法向量n；
(3)代入公式d＝求解.
【复盘训练】
12．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．4
（2023·福建三明高二期中）
13．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ）
A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21
（2023·江苏昆山高二期中）
14．如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 .
（2023·甘肃武威高二期中）
15．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
【易错题目】第3题、第4题 、第7题、第8题
【复盘要点】 立体几何中的空间角主要包括：异面直线所成的角、线面角及二面角.解决空间角问题，可以借助空间向量，思路较为简单，但对学生计算能力要求较高，容易出错.
【典例】
（2023·辽宁阜新高二期中）
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点M在线段上，平面，，.
(1)求证：M为的中点；
(2)求平面与平面的夹角；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【归纳总结】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤
(1)建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标；
(3)写出向量坐标；
(4)结合公式进行论证、计算；
(5)转化为几何结论.
【复盘训练】
17．设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于(　　)
A．45° B．30°
C．90° D．60°
（2023·山西师大附中高二期中）
18．正方体中，E，F分别是的中点，则与截面所成角的正切值为 .
（2023·江西赣州高二期中）
19．已知四边形为矩形，平面，设，则平面与平面夹角的余弦值为 .
（2023·福建莆田高二期中）
20．在长方体中，，，，在线段AB上是否存在一点E，使平面CDE与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由正方体性质，先证，通过等面积法求点线距离即可
【详解】正方体中，平面，平面，，
又，，则到直线CE的距离为.
故答案为：
2．
【分析】利用面面角的向量求法，直接求解即得.
【详解】两平面的法向量分别为，，
则两个平面的夹角，有，
而，则，所以两平面的夹角为.
故答案为：
3．
【分析】利用点到平面的距离的向量求法计算得解.
【详解】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则,
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
故答案为
【点睛】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
4．##0.4
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的正弦公式求出答案.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故
设直线与平面所成的角为，
则.
故答案为：
5．
【分析】取BC的中点E，连接，AE，证明面，可得就是与平面所成的角，解直角三角形即可．
【详解】
如上图，取BC的中点E，连接，AE，则，
∵正三棱柱中，面面，面面，
∴面，
∴就是与平面所成的角，
不妨设正三棱柱的所有棱长都为2，则，，
在中，.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.
6．
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用点到面距离的空间向量方法求解即可.
【详解】
如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，，，
∴，，.
设为平面ABC的法向量，
则,
∴，，取，则，
∴，设D到平面ABC的距离为，
代入，得，
即点D到平面ABC的距离是.
因为O是AD的中点，所以点O到平面ABC的距离是.
故答案为：；.
7．
【分析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】(1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
8．（1）见解析；（2）
【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则，
设平面A1DE的法向量是
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理得到DB⊥平面ABC，再由BD∥AE，得到EA⊥平面ABC.然后分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由求解；
（2）求得平面ODM的一个法向量为，设直线CD与平面ODM所成的角为θ，由求解.
【详解】（1）解：∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，
平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB平面ABDE，
∴DB⊥平面ABC，
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.
如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC＝BC＝4，
∴，
所以，
∴，
∴异面直线AB与CE所成角的大小为.
（2）由(1)知，
则，.
设平面ODM的一个法向量为，
则，即，
令，得x＝2，所以.
设直线CD与平面ODM所成的角为θ，
则，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，点的坐标和平面的法向量，利用空间向量在立体几何中的应用，即可求得直线与平面的夹角.
（2）根据空间直角坐标系写出，的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量求解点到平面的距离公式即可求出结果.
【详解】（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，
以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

由已知得，，
因为轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为，
又，设直线与平面的夹角为，
则有，即，
所以直线与平面的夹角为.
（2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，，
可设平面的法向量为，则，得，
令，得，，即，
又因为，
所以点到平面的距离为.
11．.
【分析】如图，取CD的中点O，连接OB，OM，以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面MBC的一个法向量为，再利用点到平面的距离公式求解.
【详解】如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM 平面MCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)．＝(0，，)．
设平面MBC的法向量为＝(x，y，z)，
由得,
即,
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为=(，－1，1)．
又＝(0，0，2)，
所以所求距离为d＝＝.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离公式常用的方法有：（1）向量法；（2）几何法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
12．A
【分析】利用空间距离的向量求法，建立坐标系写出向量代入公式计算可得结果.
【详解】如图，以为坐标原点，射线分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，
故点到直线的距离为.
故选：A.
13．C
【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.
【详解】，而，
即，
解得或－11.
故选：C
14．##
【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点、，设，将点的坐标用表示，可得出点在直线上的射影为的坐标，求出，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】翻折前，在图①中，，，则，
翻折后，在图②中，因为平面，，
且平面，则，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，则，，
因为点是线段的靠近点的三等分点，则，
所以，，解得，即点，
设，则，则，
设，即，
所以，，，，
即，
设点在直线上的射影为，则，
点到直线的距离的平方，
由题意，故当时，点到直线的距离最小，最小值为.
故答案为：.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点到平面的距离；
（2）利用，可得直线到平面的距离也即是点到平面的距离．
【详解】解：（1）建立如图坐标系，则， ， ， ，
，，
设平面的法向量为，，，
则
故，2，，
点到平面的距离；
（2）
直线到平面的距离也即是点到平面的距离
又，
点到平面的距离为．
所以直线到平面的距离为.
【点睛】本题考查点到平面的距离、直线到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用线面平行证明线线平行，再证明M为的中点.
（2）利用空间向量法求平面与平面的夹角.
（3）利用空间向量法求线面角即可.
【详解】（1）如图，设，的交点为E，连接.
平面，平面，平面平面，
.
四边形是正方形，为的中点，为的中点.
（2）取的中点，连接，.
，.
又平面平面，平面平面，在平面内，
平面，在平面内，.
∵底面是正方形，.
以O为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
又，则，
，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，，于是，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角为.
（3）由（1）（2）得，，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
17．D
【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线AC与BF的夹角.
【详解】以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图

则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，所以＝(－1，1,0)，＝(1,0,1)．
所以cos〈，〉＝=－.所以〈，〉＝120°.所以AC与BF的夹角为60°.
故答案为：D
【点睛】(1)本题主要考查利用向量法求异面直线所成的角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
18．
【分析】建立适当的空间直角坐标系，先求出的方向向量、截面的法向量，然后再求出线面角的正弦即可进一步求解.
【详解】建立以为原点，为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，
设棱长为2，且注意到E，F分别是的中点，
从而，
不妨设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，则取平面的一个法向量为，
设与截面所成角为，
则，
又是锐角，从而.
故答案为：.
19．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】由题意，两两垂直，
分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，.
设平面、平面的法向量分别为，
则有和
取，可得，
则.
即平面与平面的夹角的余弦值为.
故答案为：
20．存在，
【分析】利用长方体建立空间直角坐标系，假设出长度后，用向量方法表示出二面角的余弦值即可
【详解】假设存在点，设
如图，以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则有
设平面的法向量为
又，故
所以，即
令，得，即
又易知平面的一个法向量为
所以
解得
所以在线段上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第一课】
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
[课标要求]
1.能利用投影向量得到点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决.
2. 能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.
3.了解向量方法在研究几何问题中的作用.
[明确任务]
1.利用投影向量推导点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离公式. (数学运算、直观想象)
2.利用投影向量统一研究空间距离问题. (逻辑推理、数学运算)
3.用向量的方法求解空间角. (数学运算)
4.直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角、两个平面的夹角的关系. (逻辑推理、数学运算)
1.平面向量坐标运算判断平行与垂直；
2.平面向量坐标运算求夹角与模长
核心知识点1 用向量法求距离
考向1：用向量法求点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 则点P到直线l的距离d＝.
例1
1．在棱长为1的正方体中， 求点B到直线的距离.
归纳总结
利用向量法求点到直线的距离的两种思路
（1）将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题. 过已知点作直线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法.
（2）直接套用点线距公式求解，其步骤：
直线的方向向量a，所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影→代入公式.
注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【举一反三】
2．在长方体中，，，，求到直线的距离．
（2023·云南大理一中高二月考）
3．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知 ，求点到的距离.
考向2：用向量法求点到平面的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 则点 P到平面α的距离为|＝.
例2 （2023·山东泰安一中高二月考）
4．如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
归纳总结
利用向量法求点到直线的距离的两种思路
求点到平面的距离的四步骤：
【举一反三】
5．已知在正三棱柱中，D是BC的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
考向3：用向量法求线线距、线面距和面面距
（1）两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离. 所以两平行线间的距离可以继续用点到直线的距离公式解决.
（2）直线到平面的距离前提：直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等，所以直线到平面的距离可以转化为直线上任意一点到平面的距离. 故直线到平面的距离实质上是点到平面的距离，可以继续用点到平面的距离公式来解决.
（3）平面到平面的距离前提：平面与平面平行，则平面上任意一点到另一平面的距离都相等，所以平面到平面的距离可以转化为平面上任意一点到另一平面的距离. 故平面到平面的距离实质上就是点到平面的距离，可以继续用点到平面的距离公式来解决.
例3
6．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
归纳总结
利用向路
（1）利用向量法求直线到直线的距离转化为点到直线的距离，利用点到直线距离公式求解.
（2）求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
（3）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
【举一反三】
7．已知正方体的棱长为，平面到平面的距离为
A． B． C． D．
8．在棱长为2的正方体中，直线与直线间的距离为 .
核心知识点2 用向量法求夹角
考向1：异面直线所成的角
两条异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
提示：两异面直线所成角的范围是(0，]，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
例4. （2023·福建三明一中高二月考）
9．在三棱锥中，和均为等边三角形，且二面角的大小为，则异面直线和所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
归纳总结
用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤：
（1）建立空间直角坐标系；
（2）分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
（3）利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
（4）结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
【举一反三】
10．如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为 .
11．如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
考向2：直线与平面所成的角
直线与平面所成的角：直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
提示：（1）求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决.
（2）线面角的范围为[0，].
（3）直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
例5
12．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值.
归纳总结
用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）分别求出直线的方向向量u和平面的法向量n的坐标；
（3）设线面角为θ，则sin θ＝；
（4）由θ∈[0，]，求θ.
【举一反三】
13．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则直线与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ）
A．45° B．90° C．30° D．60°
考向3：平面与平面所成的角
1.两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
2.两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
提示：（1）求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题.
（2）两平面的夹角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].
（3）二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例6
15．如图，在正方体ABEF-DCE'F'中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.
归纳总结
利用坐标法求两个平面夹角的步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；
（3）求两个法向量的夹角；
（4）确定两平面夹角的大小.
【举一反三】
16．在正方体中，平面与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图所示，在三棱锥S－ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值.
18．直线l1，l2的方向向量分别是，，若与所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则（ ）
A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
19．长方体中，，，则点到直线的距离为
A． B． C． D．
20．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为，α的法向量为，若，则l与α所成的角为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ）
A．5 B．8 C． D．
22．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为，则这个锐二面角的平面角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
23．在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
24．Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是 .
25．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝ .
26．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值
27．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法求解即得.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以点B到直线的距离.
2．
【分析】方法一： 建立空间直角坐标系，过作于点，由，，求出点坐标，求解即可；
方法二： 连接，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量公式求解.
【详解】方法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，设，则，．
∵，，，
∴解得∴，
∴．
即到直线的距离为．
方法二： 连接，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
∴，，
∴，∴，
∴到直线的距离．
3．
【分析】过作于，连接，面，得出OP到直线BD的高，然后计算即可.
【详解】
过作于，连接，
直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面
，为所求的距离，
在中， ,
在中，,
4．.
【分析】如图，取CD的中点O，连接OB，OM，以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面MBC的一个法向量为，再利用点到平面的距离公式求解.
【详解】如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM 平面MCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)．＝(0，，)．
设平面MBC的法向量为＝(x，y，z)，
由得,
即,
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为=(，－1，1)．
又＝(0，0，2)，
所以所求距离为d＝＝.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离公式常用的方法有：（1）向量法；（2）几何法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，再由，可得答案；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，求出，再由点到平面的距离的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面AB1D；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
且，
∴点到平面的距离.
6．(1)证明见解析
(2)a
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，则、、、，

所以，，所以，
又因为、不共线，则，
因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：由（1）得、，
所以，.
设平面的法向量为，
则，取，可得，
所以点到平面的法向量为.
所以直线到平面的距离是.
7．C
【解析】利用体积相等将原问题转化为求解点面之间距离的问题即可.
【详解】由题意可得，原问题等价于求解点到平面的距离，由等体积法可得：
，即：，
解得：，即平面到平面的距离为.
故选C.
【点睛】本题主要考查点面距离的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．
【分析】利用空间距离的向量求法运算即可得解.
【详解】解：
如上图，以D为坐标原点，、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
∴，
∴直线与直线间的距离即为点到的距离，
设，，则，，
∴点到的距离为.
∴直线与直线间的距离为.
故答案为：.
9．A
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，设，先求出点的坐标并求出与的坐标，然后由向量数量积的公式计算的值即可得出异面直线和所成角的余弦值.
【详解】如图，取的中点，连接，，因为和均为等边三角形，所以，，所以平面，即平面⊥平面.且就是二面角的平面角，即，
建立空间直角坐标系如图所示.
设，则，，，,
所以，，
，所以异面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用空间向量的数量积求异面直线所成角的问题，关键是建立适当的空间直角坐标系并求出有关点和向量的坐标，属常规考题.
10．
【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直.
【详解】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1,
易得,∴BM⊥B1F,
又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,
∵BM 平面BCC1B1,∴EF⊥BM,
又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,
又∵OP 平面A1B1FE,
∴BM⊥OP,
∴BM与OP所成的角为90°,
故答案为：90°.
11．
【分析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】(1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
12．.
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设为平面的一个法向量，
则所以
可取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
13．B
【分析】以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出以及平面的一个法向量，即可根据向量关系求出.
【详解】以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量，
∵，
∴，
∴，
∴直线与平面的夹角为.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与平面夹角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.
14．C
【分析】以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解．
【详解】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），
S（0， 0 ，a） ，P（，0，），
则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0），
设平面PAC的一个法向量为，
则，，
∴，可取（1，0，1），
设直线与平面的夹角为，
则，
由，，
故选：C
15．.
【分析】建立空间直角坐标系，直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得二面角的大小.
【详解】设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0).
设平面AMN的法向量=(x，y，z).
由于，
则，即,令x=1，解得y=1，z=1，
于是=(1，1，1).
设平面BMN的一个法向量，
即,令x=1，解得
所以
所以cos<，>==，
故所求两平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查利用向量的方法求解二面角，将几何问题代数化便于计算，属基础题.
16．C
【分析】设正方体的棱长为，连接交于点，连接，证明出，，可得出平面与平面的夹角的平面角为，计算出，进而可求得，即可得解.
【详解】连接交于点，连接，则，
设正方体的棱长为，则，，
在正方体中，底面，底面，，
，平面，
平面，，
所以，平面与平面的夹角的平面角为，
易知，则，.
因此，平面与平面的夹角的正弦值为.
故选：C.
【点睛】本题考查定义法计算面面夹角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.
17．
【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量法求解二面角余弦值即可.
【详解】因为△SAB与△SAC均为等边三角形，
所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC，且，
因为，故△SBC与△ABC是全等三角形，
故，且，故，故.
以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设，则.
设SC的中点为M，连接OM，AM，则M，
故，，，
所以，
所以MO⊥SC，MA⊥SC，
故为二面角的平面角.
因为，
所以平面ASC与平面BSC夹角的余弦值为.
18．D
【分析】由直线夹角与直线方向向量夹角的关系可直接得答案.
【详解】由题意可得α＝θ或α＝π－θ，且，因而cos α＝|cos θ|，
故选：D.
19．A
【分析】计算，，再计算距离得到答案.
【详解】，
，
到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用空间向量计算距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．C
【分析】把直线的法向量和平面的夹角转换为线面角即可
【详解】因为
所以l与法向量所在直线所成的角为，
故l与α所成的角为
故选：C
21．C
【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，先根据，即求出法向量，然后由向量法求点到面的距离公式可得点B1到平面A1BCD1的距离，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离.
【详解】解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,，
由，得，
所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)，
又＝(0，0，－5)，
所以点B1到平面A1BCD1的距离为，
因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1，
所以B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离，
所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为，
故选：C.
22．A
【分析】利用空间向量求两个向量的夹角的余弦公式求解即可.
【详解】由＝＝,
这个锐二面角的平面角的余弦值为.
故选：A.
23．D
【分析】由几何体为正方体，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，结合向量的点到平面距离公式求得点M到平面D1EF的距离，结合N为EM中点即可求解
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为
故选：D．
【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题
24．3
【分析】先建立空间直角坐标系，写出坐标和的坐标，再利用空间中点到直线的距离公式计算即可.
【详解】解：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.
所以点到的距离.
故答案为：3.
【点睛】本题考查空间中点到直线的距离，关键是熟悉向量法表示距离，属于基础题.
25．
【分析】分别求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解
【详解】不妨设
取平面xOy的法向量，
设平面α的法向量为，
则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则.
又∵a>0，∴
故答案为：
26．（1）
（2）
【详解】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.
详解：如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O xyz．
因为AB=AA1=2，
所以．
（1）因为P为A1B1的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
27．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；
（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.
【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论
在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.
在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.
［方法二］：空间向量共线定理
以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．
设，则．
所以．故．所以，点在平面内．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以点在平面内．
［方法四］：
根据题意，如图3，设．
在平面内，因为，所以．
延长交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延长交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
连接，根据相似三角形知识可得．
在中，．
同理，在中，．
如图4，在中，．
所以，即G，，H三点共线．
因为平面，所以平面，得证．
［方法五］：
如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．
（2）［方法一］【最优解】：坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.
则、、、，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
［方法二］：定义法
在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．
在中，．
所以，则．
［方法三］：向量法
由题意得，
由于，所以．
如图7，在平面内作，垂足为G，
则与的夹角即为二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由题易得，．
所以．
．
．
设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得
，所以．
【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．
（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
答案第1页，共2页
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