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1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第二练】
1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.熟练掌握空间向量的坐标运算，锻炼数学运算能力 ，如第2题、第4题、第7题；
2.运用空间向量的坐标运算，判断平行于垂直，培养逻辑推理和数学运算能力，如第1题、 第7题、 第9题；
3.运用空间向量的坐标运算，求解夹角和距离问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运
素养，如第2题、 第5题、 第11题、第12题；
4.运用空间向量的坐标运算，求解最值问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运
素养，如第3题、 第6题、 第8题、第10题；
（2023·四川南充高二期中）
1．，，若，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东泰安高二期中）
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黄石高二期中）
3．笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南常德临澧县一中高二期末）
4．向量，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得 B．若，则
C．若，则 D．，使得
（2023·陕西榆林高二期末联考）
5．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东广州八十九中高二期中）
6．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．
（2023·福建师大二附中高二月考）
7．已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．与方向相反的单位向量的坐标是
C．
D．在上的投影向量的模为
（2023·广东佛山高二期末）
8．长方体中，，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变
（2023·重庆第二外国语学校高二期中）
9．已知向量，，，且，，则＝ .
（2023·吉林长春吉大附中实验学校高二期末）
10．如图，已知正方体的棱长为，为棱上的动点，则在方向上的投影向量的模的取值范围为 ．

（2023·福建三明高二期中）
11．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2023·安徽省宣城中学高二期末）
12．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与所成角的余弦值．
【易错题目】第6题、第8题 、第10题
【复盘要点】（2023·山西吕梁高二期末统考）在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为 .
【答案】
【解析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
因为点，分别为棱，的中点，所以，，
设，，其中，，
则，.
因为，则，解得，
又因为，，则，
可得，
所以，此时，即线段的长度的最小值为.故答案为：.
【点睛】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解，体现将几何问题转化为代数问题处理的思想.
【复盘训练】
（2023·安徽宿州泗县二中期中）
13．已知点，，，，点Q在直线上运动，则的最小值为 .
（2023秋·河南郑州外国语学校高二月考）
14．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
（2023·山东烟台高二期中）
15．已知， ，则最大值为
（2023·吉林省吉林实验学校期中）
16．已知P是棱长为1的正方体内（含正方体表面）一动点．
（1）当点P运动到中点时，的值为 ；
（2）当点P运动时，的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解．
【详解】，又，，解得．
故选：A．
2．A
【分析】根据条件，得到，再利用，即可求出结果.
【详解】由，
得到，
所以，
故选：A.
3．C
【分析】点A关于x轴对称的点到D的距离即的最小值.
【详解】因为，，由图可知，，，
A关于轴对称的点为，
所以.
故选：C.
4．C
【分析】根据向量平行垂直和模的计算公式得到AB错误，C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：若，则，，则，无解，错误；
对选项B：若，则，，错误；
对选项C：若，则，解得，正确；
对选项D：当时，，错误.
故选：C.
5．D
【分析】向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可.
【详解】由，得，
当时，，即，得，解得，
∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为．
故选：D.
6．C
【分析】以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，，，，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案.
【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则可设，其中，，其中，
根据图中可知直线和直线为异面直线，
若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小，
根据异面直线公垂线的定义知，，
，，，，则，
则，，
解得，满足范围，
则此时，
则.
故选：C.

7．AB
【分析】A选项，验证是否等于0即可；B选项，与方向相反的单位向量为，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使即可；D选项，在上的投影向量的模为，据此可判断选项正误.
【详解】由题， .
A选项，，则，故A正确；
B选项，，则，故B正确；
C选项，设，则，即不存在，故C错误；
D选项，，则，故D错误.
故选：AB
8．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，设坐标，由空间向量的坐标运算得参数关系，
继而判断A，B，C，由等体积法转化后判断D．
【详解】如图，

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设（），（），
则，，，，，，，由得.
选项，由，所以，所以，选项正确；
选项B，，因为，所以，即没有最大值，选项B错误；
选项C，由得，所以当时，取得最大值，所以面积，选项C正确；
选项，面积是定值，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，又因为，所以三棱锥的体积不变，选项D正确.
故选：ACD
9．
【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解，再由向量垂直的坐标运算求得，可得答案．
【详解】，且，
存在实数，使得，即，
，解得，，
又，且，
，即，．
故答案为：．
10．
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可求得在方向上的投影向量的模的取值范围.
【详解】在正方体中，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、，设点，其中，
所以，，，
所以，在方向上的投影向量的模为
.
故答案为：.
11．答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【详解】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．
因为，所以，即．
因为，，所以，所以．又，
所以，故存在点，，满足，此时．
方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．
设，，则，，，
所以，．因为，且，
所以，解得．又，所以，
故存在点，，满足，此时．
方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
12．(1)
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，表示出的坐标，根据，可得，即可求得答案；
（2）根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为O，连接，
因为为正三角形，故，
以AC的中点O为原点，为轴，以过点O和平行的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，，
因为，故，则，
故，
因为，所以，
即.
（2）由（1）知，所以，，
所以，，
所以，
由于异面直线所成角的范围为，
所以异面直线PC与所成角的余弦值是.
13．
【分析】设，利用向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示，结合配方法求最小值.
【详解】点Q在直线上运动，设，
则，.
.
当时，取得最小值.
故答案为：
14．
【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标.
【详解】设，∵，
则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ，
所以，则，
所以，，
所以，
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：.
故答案为：
15．
【分析】根据数量积的夹角公式，即可结合基本不等式求解最值.
【详解】，
当
时，，
由，所以，当且仅当，即时等号成立，
故，
当时，，
故的最大值为，
故答案为：
16． ##1.5 2
【分析】空1：以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，计算即可.
空2：利用向量点乘的几何意义，转化为投影最值问题，即可得到答案.
【详解】空1：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，为中点，,
所以，，所以，
空2：因为，
是向量在上的投影，
所以当在位置时，投影最大，的最大值为:
故答案为：；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第二课】
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
题型一 空间向量的坐标运算
例1（2023·山东菏泽三中高二月考）在△ABC中，A（2，－5，3），＝（4，1，2），＝（3，－2，5）.
（1）求顶点B，C的坐标；
（2）求·；
（3）若点P在AC上，且＝，求点P的坐标.
【解析】 （1）设B（x，y，z），C（x1，y1，z1），
所以＝（x－2，y＋5，z－3），
＝（x1－x，y1－y，z1－z）.
因为＝（4，1，2），
所以解得所以点B的坐标为（6，－4，5）.
因为＝（3，－2，5），所以解得
所以点C的坐标为（9，－6，10）.
（2）因为＝（－7，1，－7），所以·＝－21－2－35＝－58.
（3）设P（x2，y2，z2），
则＝（x2－2，y2＋5，z2－3），
＝（9－x2，－6－y2，10－z2），
于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）＝（9－x2，－6－y2，10－z2），
所以解得
故点P的坐标为.
【方法总结】空间向量坐标运算中的基本问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
【变式训练1-1】
（2023·广东深圳三中高二期中）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】
（2023·福建三明一中高二期中）
2．在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）.
A．点关于平面对称的点是
B．点关于轴对称的点是
C．
D．
题型二 运用空间向量坐标解决共线与共面问题
例2（2023·河南安阳一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 .
【答案】1
【解析】∵，
∴，，，
又∵四点共面，
∴由平面向量基本定理可知存在实数使成立，
∴，
∴，解得，故答案为：1
【方法总结】运用空间向量坐标解决共线与共面问题的基本思路
（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得.
（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解.
【变式训练2-1】
（2023·江苏盐城高二期中）
3．已知向量，，，共线且方向相反，则 .
【变式训练2-2】
（2023·江西赣州高二期末）
4．已知空间向量，，，若，，共面，则 ．
题型三 运用空间向量坐标判断平行于垂直
例3 （2023·福建莆田华侨中学高二期末）已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A选项，设，则，无解，A错误；
B选项，设，则，解得，B正确；
C选项，设，则，无解，C错误；
D选项，设，则，解得，D正确.
故选：BD
【方法技巧与总结】运用空间向量坐标判断平行于垂直的基本思路
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解.
（2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
【变式训练3-1】
（2023秋·广东珠海斗门区一中高二期中）
5．已知向量，，且，则实数（ ）
A． B．2 C．3 D．
【变式训练3-2】
（2023·山西吕梁高二统考）
6．已知，，，若，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【变式训练3-3】
（（2023秋·山东泰安一中高二期中）
7．设，，，且∥，则（ ）
A． B． C．3 D．4
题型四 运用空间向量坐标求模长与夹角
例4 （2023·山西师大附中高二期中）已知，则的面积为 ．
【答案】
【解析】因为，故可得，
不妨设，的夹角为，故可得，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【方法总结】 运用空间向量基本定理解决立体几何问题的基本思路
1.已知向量坐标，根据向量坐标运算性质，直接求模长、夹角；
2.通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
【变式训练4-1】
（2023·福建三明一中高二期中）
8．若，，，则的形状是 ．（选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）
【变式训练4-2】
（2023·安徽合肥一六八中学高二期中）
9．已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
【变式训练4-3】
（2023·河北邯郸高二期中）
10．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
易错点1 建系不合理，造成解题失误
例1 如图，在正四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
【解析】方法1：以点A为原点，AB，AD分别为x，y轴，
过点A 作底面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，O，P，．
方法2：以点O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
易错警示：建立直角坐标系的方法
（1）利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
（2）利用线面垂直关系构建直角坐标系
（3）利用面面垂直关系构建直角坐标系
特殊地，遇到等腰三角形，利用三线合一；遇到菱形，利用对角线相互垂直.
针对训练1-1
（2023·四川泸州高二期中）
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，平面底面．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
针对训练1-2
（2023·甘肃武威高二期中）
12．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
易错点2 异面直线所成角与向量夹角关系理解不清
例2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为（　 ）
A. B．－ C．－ D.
【错解】选B，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，3，0），D1（0，0，2），B1（1，3，2），C（0，3，0），则＝（－1，－3，2），
＝（－1，0，－2），从而cos〈，〉＝＝＝－.
【正解】选A　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，3，0），D1（0，0，2），B1（1，3，2），C（0，3，0），
则＝（－1，－3，2），＝（－1，0，－2），从而cos〈，〉＝＝＝－.
又异面直线BD1和B1C所成的角不可能为钝角，其余弦值非负，
所以，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为.
易错警示：两异面直线所成角的范围，而两向量夹角的范围为，错解中误认为两向量夹角就是两异面直线所成角.
针对训练2-1
（2023·新疆乌鲁木齐已知一中高二期末）
13．已知，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
针对训练2-2
（2023·湖南邵阳高二期中）
14．如图，在正方体中，，，，分别是，，，的中点，则 ．
针对训练2-3
（2023·福建厦门高二统考期末）
15．把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，，分别为，，的中点，则折纸后的大小为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算即得.
【详解】由，，得.
故选：C
2．ACD
【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得.
【详解】点关于平面对称的点是，故A正确.
点关于轴对称的点是，故B不正确.
，，，
，，故C、D均正确.
故选：ACD
3．
【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】因为，共线且方向相反，所以设，
即可得解得或（舍），
所以,
故答案为: .
4．
【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.
【详解】若，，共面，则存在实数，使，
即
所以，解得，，．
所以．
故答案为：
5．B
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得.
故选：B.
6．A
【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解.
【详解】由题意，，
因为，所以，
解得，，
所以.
故选：A.
7．C
【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
8．锐角三角形
【分析】利用空间中两点间的距离公式可知，中，边最长，内角最大，求出，可判断出为锐角，即可得出结论.
【详解】因为，，，
则，，，
所以，，，，
所以，中，边最长，内角最大，
所以，，
显然、不共线，故为锐角，故为锐角三角形.
故答案为：锐角三角形.
9．
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，，且与夹角为，
则，，，
所以，
由题可知，解得.
故答案为：.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算的值；
【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
（2）依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
11．答案见解析
【分析】取的中点，根据面面垂直性质可证得平面，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由长度关系可得各点坐标.
【详解】取的中点，连接，
是正三角形，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，．
12．答案见解析
【分析】侧面 而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用三角函数和余弦定理求出各边的长度，得各个点的坐标.
【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
，，，则，
所以，，，，，，
侧面，侧面，，又，
平面，，平面，平面，则，
设，则，
中，由余弦定理，，
中，由余弦定理，，
中，，，
解得或，为棱上异于的一点，所以，则有.
13．D
【分析】利用线线角的向量公式求解即可.
【详解】由已知得，，
所以,
因为空间向量的夹角范围是，
所以向量与的夹角为，
故选：D.
14．##
【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的夹角．
【详解】利用正方体，建立空间直角坐标系，，
设正方体的棱长为2，
则，
所以，，
所以，
故，
故答案为：．
15．
【分析】由面面垂直的性质定理可得线面垂直，从而，，三直线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角.
【详解】折起后的图形如下所示，连接，，
由正方形的性质可知，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
，，三直线两两垂直，
分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：
，，，，
，，，
，，
，又，
，．
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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