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《导数及其应用》
一、选择题
1．【嘉兴市·理】8．（文科7）己知函数，其导数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是 ( ▲D )
A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c
2．【宁波市·理】8．函数的定义域为（a,b），其导函数内的图象如图所示，则函数在区间（a,b）内极小值点的个数是 A
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
3．【温州十校联合·理】4、如图所示的曲线是函数的大致图象，则等于（ C ）学科网
A． B．学科网
C． D．学科网
二、填空题
1．【嘉兴市·理】14．设函数(a≠0)，若，x0>0，则x0= ▲ ．
2．【温州中学·理】14．已知函数，对任意的恒成立，则的取值范围为_____（-2，）______．
三、计算题
1．【杭州市·文】(19)（本题14分）设是定义在上的奇函数，且当时，．
(Ⅰ) 求时，的表达式；
(Ⅱ) 令，问是否存在，使得在x = x0处的切线互相平行？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
【解】(Ⅰ) 当时，，
; --- 6分
(Ⅱ)若在处的切线互相平行，则, --- 4分
，解得,
∵x > 0 , 得． --- 4分
2．【杭州市·文】(22) (本题15分）已知函数．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间 [ 1,2 ] 上的最小值．
【解】(Ⅰ) 由题意,
由，解得 或; --- 4分
(Ⅱ) 设此最小值为，而
（1）当时，
则是区间[1,2]上的增函数, 所以; --- 3分
（2）当时，
在时，
在时， --- 3分
① 当，即时，;
② 当，即时，
③ 当时，.
综上所述，所求函数的最小值. --- 5分
3．【嘉兴市·理】20．(本小题满分14分)
已知函数 (a∈R)
（Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f(x)在(1，+∞)为增函数，求a的取值范围．
【解】 (1)因为：f'(x)=x-(x>0)，又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b
所以 2分
解得：a=2， 4分
b=-2In2 6分
(2)若函数f(x)在(1，+∞)上恒成立．则f'(x)=x-≥0在(1，+∞)上恒成立
即：a≤x2在(1，+∞)上恒成立。所以有a≤l 14分
4．【宁波市·理】22．（本题14分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（1）求证：为关于的方程的两根；
（2）设，求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．
【解】（1）由题意可知：
∵ ， ……2分
∴切线的方程为：，
又切线过点， 有，
即， ① 　
同理，由切线也过点，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的两根……5分
（2）由（ * ）知.
，
∴ ．……………………9分
（3）易知在区间上为增函数，
，
则．…11分
即，即，
所以，由于为正整数，所以.
又当时，存在，满足条件，所以的最大值为. ……………14分
5．【宁波市·文】20．（本题满分14分）已知函数，，设.
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ)若以函数图象上任意一点为切点的切线斜率
恒成立，求实数的最小值.
【解】 (Ⅰ)由已知可得，函数的定义域为
则　　　　　　　　　　　　
由可得在区间上单调递增,
得在上单调递减 ……6分
(Ⅱ)由题意可知对任意恒成立　
即有对任意恒成立，即　　
令　　　
则，即实数的最小值为；　　　　　　　　　　　　　……14分
6．【嘉兴市】21、已知函数（1）判断函数的对称性和奇偶性；（2）当时，求使成立的的集合；（3）若，记，且在有最大值，求的取值范围.
【解】（1）由函数可知，函数的图象关于直线对称；
当时，函数是一个偶函数；当时，取特值：，故函数是非奇非偶函数.
（2）由题意得，得或；因此得或或，故所求的集合为.
（3）对于，
若，在区间上递增，无最大值；
若，有最大值1
若，在区间上递增，在上递减，有最大值；
综上所述得，当时，有最大值.
7．【台州市·理】22. （本题满分14分）已知= ,数列满足:
（1）求在上的最大值和最小值;
（2）证明：;
（3）判断与的大小，并说明理由.
【解】 (1)
当时，
在上是增函数 ………………6分

（2）（数学归纳法证明）
①当时，由已知成立；
②假设当时命题成立，即成立，
那么当时，由①得

，这就是说时命题成立.
由①、②知，命题对于都成立 …………9分
（3） 由
记得 ……10分
当时，故
所以 <0 得g(x)在是减函数，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴>0,即>0
得>
8．【台州市·文】22．（本小题满分15分）已知定义在上的函数，其中为常数.
（1）若，求证：函数在区间上是增函数；
（2）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围.
【解】（1）当时，在区间上是增函数，
当时，，，
函数在区间上是增函数，
综上得，函数在区间上是增函数. ………………7分
(2)

令 ………………10分
设方程（*）的两个根为（*）式得，不妨设.
当时，为极小值，所以在[0，1]上的最大值只能为或；
………………10分
当时，由于在[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为，
所以在[0，1]上的最大值只能为或， ………………12分
又已知在处取得最大值，所以
即. ………………15分
9．【温州十校联合·理】22、（本小题满分14分） 已知函数
上是增函数.学科网
（I）求实数a的取值范围；学科网
（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值．学科网
【解】（I） …………………………………………… 2分

所以 ……………………………………………………………………7分
（II）设 ……8分
10．【温州十校联合·文】21．（15分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，且在x＝－1处取得极值．学科网
(Ⅰ)求a，，的值；学科网
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值。学科网
【解】
11．【温州中学·理】22．（本题14分）已知函数（其中为常数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）任取两个不等的正数，恒成立，求：的取值范围；
（Ⅱ）当时，求证：没有实数解．
12．【温州中学·文】20．（本小题满分14分）已知，直线与函数的图象都相切于点
（1）求直线的方程及的解析式；
（2）若（其中是的导函数），求函数的值域.
【解】（1）直线是函数在点处的切线，故其斜率，
所以直线的方程为 (2分)
又因为直线与的图象相切，所以在点的导函数值为1. 所以 （6分）
（2）因为 （7分）
所以 （9分）
当时，；当时， （11分）
因此，当时，取得最大值 （13分）
所以函数的值域是. （14分）

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