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2023-2024人教版数学七年级（下）第一次月考数学试卷
范围：第5章-第6章
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列实数中的无理数是（　　）
A． B．π C．0 D．
2．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若β=44°，则α为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．56°
6．如图，在下列给出的条件下，不能判定AB∥DF的是（　　）
∠A+∠2＝180° B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
8．下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若n＜1，则n2﹣1＜0．其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍多36°，则这两个角的度数是（　　）
A．20°和96° B．36°和144° C．40°和156° D．不能确定
10．下列说法，其中错误的个数有（　　）
①的平方根是±9；②是3的平方根；③﹣8的立方根为﹣2；④＝±2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
12．请你观察、思考下列计算过程：因为112＝121，所以＝11； 因为1112＝12321，所以＝111；…，由此猜想＝（　　）
A．111111 B．1111111 C．11111111 D．111111111
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=28°，则∠BOC=　 　，∠AOC=　 　．
14．比较大小：　 　．
15．把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到∠BGD′＝40°，则∠C′FE＝　 　°．
16．已知： +（b+5）2＝0，那么a+b的值为　 　．
17．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　
18．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）．
20．（6分）如图，AB，CD，EF交于点O，∠1=20°，∠2=60°，求∠BOC的度数．
21．（8分）如图所示，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED=90°、∠BFC=90°
∴∠BED=∠BFC
∴（　 　）∥（　 　）（　 ）
∴∠1=∠BCF（　 　）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠BCF（　 　）
∴FG∥BC（　 　）
22．（8分）如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）求出四边形ABCD的面积；
（2）请画出将四边形ABCD向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形A′B′C′D′．
23．（9分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d＝7×（t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
24．（9分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°，求∠C的度数．
25．（10分）观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
26．（10分）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列实数中的无理数是（　　）
A． B．π C．0 D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，0，是有理数，
π是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
3．下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；
B、根据负数没有平方根即可判定；
C、根据立方根的定义即可判定；
D、根据算术平方根的定义算术平方根为非负数，负数没有平方根．
【解答】解：A、，故选项A错误；
B、由于负数没有平方根，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项正确．
故选：D．
4．【解答】解：A、能通过其中一个菱形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个正方形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个平行四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选：D．
5．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若β=44°，则α为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．56°
【解答】解：由OM⊥l1，
∴α+90°+β=180°，
∴α=46°，
6．如图，在下列给出的条件下，不能判定AB∥DF的是（　　）
A．∠A+∠2＝180° B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠2＝180°，∴AB∥DF，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠3，∴AB∥DF，故本选项错误；
C、∵∠1＝∠4，∴AB∥DF，故本选项错误；
D、∵∠1＝∠A，∴AC∥DE，故本选项正确．
故选：D．
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
【解答】解：如图：
故选：A．
8．下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若n＜1，则n2﹣1＜0．其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①内错角相等，是假命题；②同旁内角互补，是假命题；③直角都相等，是真命题；④若n＜1，则n2﹣1＜0，是假命题．
故选：A．
9．已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍多36°，则这两个角的度数是（　　）
A．20°和96° B．36°和144° C．40°和156° D．不能确定
【解答】解：设一个角为x，则另一个为3x+36°，
若两角互补，则x+3x+36°=180°，解得x=36°；
若两角相等，则x=3x+36°，解得x=﹣18°，舍去．
故选：B．
10．下列说法，其中错误的个数有（　　）
①的平方根是±9；②是3的平方根；③﹣8的立方根为﹣2；④＝±2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据平方根的定义即可判定；
②根据平方根的定义即可判定；
③根据立方根的定义即可判定；
④根据平方根的定义即可判定．
【解答】解：①＝9，故选项错误；
②是3的平方根，故选项正确；
③﹣8的立方根为﹣2，故选项正确；
④＝2，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字的特殊性质．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．（a不等于0）如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0：负数没有平方根．
11．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选：A．
12．请你观察、思考下列计算过程：因为112＝121，所以＝11； 因为1112＝12321，所以＝111；…，由此猜想＝（　　）
A．111111 B．1111111 C．11111111 D．111111111
【分析】被开方数是从1到n再到1（n≥1的连续自然数），算术平方根就等于几个1．
【解答】解：∵＝11，＝111…，…，
∴═111 111 111．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=28°，则∠BOC=　28°　，∠AOC=　152°　．
【解答】解：∵∠AOD=28°，
∴∠BOC=∠AOD=28°，
∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣28°=152°．
故答案为：28°，152°．
14．比较大小：　＜　．
【分析】将两数进行平方，然后比较大小即可．
【解答】解：（3）2＝18，（2）2＝20，
∵18＜20，
∴3＜2．
故答案为：＜．
15．把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到∠BGD′＝40°，则∠C′FE＝　110　°．
【分析】先根据图形折叠的性质求出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BGD′＝∠AEG＝40°，
由折叠的性质得，∠DEF＝∠D′EF＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C′FE＝∠EFC＝180°﹣∠E＝DEF＝110°
故答案为：110．
16．已知： +（b+5）2＝0，那么a+b的值为　﹣3　．
【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．
【解答】解：∵ +（b+5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+5＝0，
∴a＝2，b＝﹣5；
因此a+b＝2﹣5＝﹣3．
故结果为：﹣3
17．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等　．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
18．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=　540°　．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）．
【分析】根据乘方、绝对值、立方根、二次根式化简等考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3+4﹣3﹣4
＝0．
20．（6分）如图，AB，CD，EF交于点O，∠1=20°，∠2=60°，求∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠1=20°，
∴∠3=20°，
∵∠2=60°，
∴∠BOC=20°+60°=80°．
21．（8分）如图所示，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F、E，求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知）
∴∠BED=90°、∠BFC=90°
∴∠BED=∠BFC
∴（　ED　）∥（　FC　）
（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠1=∠BCF（　两直线平行，同位角相等　）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠BCF（　等量代换　）
∴FG∥BC（　内错角相等，两直线平行　）
【解答】证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB（已知），
∴∠BED=90°，∠BFG=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴（ED）∥（FC）（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠BCF（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCF（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：ED，FC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
22．（8分）如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）求出四边形ABCD的面积；
（2）请画出将四边形ABCD向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形A′B′C′D′．
【解答】解：（1）四边形ABCD的面积：×3×4+×3×2=6+3=9；
（2）如图所示．
23．（9分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d＝7×（t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【分析】（1）根据题意可知分别是求当t＝16时，d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；
（2）根据题意可知是求当d＝35时，t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
【解答】解：（1）当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14cm；
（2）当d＝35时，＝5，即t﹣12＝25，解得t＝37年．
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．会根据题意把数值准确的代入对应的关系式中是解题的关键．
24．（9分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据内错角相等两直线平行即可证明；
（2）△BDC中，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
（2）解：设∠C＝x°．
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝x°，
∴∠D＝（x+50）°，
在△BDC中，x+x+50+80＝180，
∴x＝25，
∴∠C＝25°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a＝（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
【解答】解：（1）．验证如下：
左边＝＝＝＝＝右边，
故猜想正确；
（2）．证明如下：
左边＝＝＝＝＝右边．
【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
26．（10分）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．
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