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7.3万有引力理论的成就
核心目标 1. 理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用
2. 理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
【阅读+理解】----提前学知识要点
问题 在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
1. “称量”地球的质量 一个成功的理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。 有了万有引力定律，我们就能“称量”地球的质量! “称量”地球的质量时，我们应选择哪个物体作为研究对象？运用哪些物理规律？需要忽略的次要因素是什么？ 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受的重力 mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，式中 m地 是地球的质量；R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。 由此解出 m地＝,地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量 m 地。因此，卡文迪什把他自己的实验说成是“称量地球的重量”。 在实验室里测量几个铅球之间的作用力，就可以“称量”地球，这不能不说是一个科学奇迹。难怪一位外行人、著名文学家马克·吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”
2. 计算天体的质量 能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？怎样才能得到太阳的质量？ 行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。 设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，列出方程 G＝mω2r 行星运动的角速度ω不能直接测出，但可测出它的周期T。把ω和T的关系ω＝代入上式得到G＝m，由此式可得m太＝ 测出行星的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，就可以算出太阳的质量。 思考与讨论 已知太阳与地球间的平均距离约为 1.5×1011m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？ 虽然不同行星与太阳间的距离 r 和绕太阳公转的周期 T 各不相同，但是根据开普勒第三定律，所有行星的 均相 同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期进行计算，所得的太阳质量均相同。 如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前，观测人造地球卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。同样的道理，要得到木星的质量（如图），可以选择对木星的卫星进行测量，只要测得一颗卫星的轨道半径和周期，就可计算 木星的质量。 月球虽然没有天然的卫星，但人类发射的航天器会环绕月球运行，只要测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，就可计算月球的质量。
3.发现未知天体 到了18 世纪，人们已经知道太阳系有 7 颗行星，其中 1781 年发现的第七颗行星——天王星的运动轨道有些“古 怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 是天文观测数据不准确？ 是万有引力定律的准确性有问题？ 是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？ …… 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星被命名为海王星（如图）。 海王星的发现过程 充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、 预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体。 海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质， 近 100 年来，人们在这里发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。但是因为距离遥远，太阳的光芒到达那里已经十分微弱了，在地球附近很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，探索工作从来没有停止过。
4. 预言哈雷彗星回归 在牛顿之前，彗星被看作是一种神秘的现象。英国天文学家哈雷从1337 年到1698 年的彗星记录中挑选了 24 颗彗星，依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现1531 年、1607年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（如图），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底 或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔奖获得者物理学家劳厄说 ：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……” 牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。万有引力定律可以用于分析地球表面重力 加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。除了上述成就外，万有引力定律的另一重要应用将在下节讲述。
【理解+记忆】----常思考笔记重点
一、 “称量”地球的质量
1. 思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于 地球对物体的万有引力 ．
2. 关系式：mg＝ G .
3. 结果：m地＝ ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．这是卡文迪什“称量地球”的依据。
推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，也可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1. 太阳质量的计算
(1) 依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝　.
(2) 结论：m太＝ ，若已知行星绕太阳运动的周期T和半径r就能计算出太阳的质量．
2. 行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，能计算行星的质量M
三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1. 海王星的发现
亚当斯　和　勒维耶　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道．　伽勒 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2. 其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 冥王星 、阋神星等几个较大的天体．
3. 预言哈雷彗星回归
哈雷依据 万有引力定律　，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗彗星，周期约为　76 年．
【例题+解析】----当检测深究错题
1. (2020·菏泽高一检测)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)
A. 月球的质量　 B. 地球的质量
C. 地球的半径　 D. 地球的密度
1. B　解析：由天体运动规律知G＝mR，可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．
2. （2022广东省深圳外国语学校高一（下）学段（一））在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是（　　）
A. 卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
B. 丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
C. 开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律
D. 伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用
2.A【解析】卡文迪许通过实验推算出引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人，A正确；哥白尼提出了“日心说”的观点，B错误；开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出行星运动规律的三大定律，但万有引力定律是牛顿发现的，C错误；牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用，D错误。故选A。
3.　(多选)(2020·潍坊模拟)如图所示，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法中正确的是(　　)
A. 三颗星的质量可能不相等
B. 某颗星的质量为
C. 它们的线速度大小均为
D. 它们两两之间的万有引力大小为
3.BD　解析：轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l，根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Gcos30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．
4. （2022广东省深圳外国语学校高一（下）学段（一））2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知万有引力常量G，为计算火星的质量，需要测量的数据是（　　）
A. 火星表面重力加速度g和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r
B. 火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r和火星的公转周期T
C. 火星表面的重力加速度g和火星的公转周期T
D. 某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r和环绕周期T
4.D【解析】根据可得，可知计算火星的质量，还需要有火星的半径，根据万有引力提供向心力有，可得，可知如果已知火星的公转周期和半径，可求太阳的质量，不可求火星的质量，ABC错误；根据万有引力提供向心力有，可得，可知，如果已知某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r和环绕周期T，可求火星质量，D正确。故选D。
5.（2022江苏省南通海安市实验中学高一（下）第一次学情检测） 2020年11月29日，“嫦娥五号”进入绕月圆轨道，距月球表面高度为h，绕月球运行的周期为T，如图所示，已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g。
5.（1）（2）
解析（1）由万有引力提供向心力可得
月球的质量
（2）由公式可得月球表面的重力加速度
6.（2022广东省东莞市七校高一（下）期中联考）2020年6月23日9时43分,我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五十五颗北斗导航卫星。假设该卫星在距离地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的体积为V=πR3，忽略地球自转的影响。求:
(1)地球的平均密度ρ；
(2)该人造卫星绕地球运动的周期T。
6. (1)； (2)
解析(1)在地球表面附近，有G=mg，解得M=
又ρ=，V=πR3，得
(2)根据万有引力提供向心力，有G=m(R+h)，解得
又知GM=gR2，所以
【作业+练习】----强基础提升能力
【作业】
1.已知月球的质量是7.3×1022kg，半径是1.7×103km，月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表面的行走会产生什么影响？若宇航员在地面上最多能举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是多少的物体？
2.根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的？为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？
3.某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103km，周期是5.6×103s。试从这些数据估算地球的质量。
4.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（图7.3-4）。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。
（1）请你根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍？
（2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。
【作业参考答案】
【练习】
1.重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是(　　)
A. 同一物体在地球上任何地方其重力都一样
B. 物体从地球表面移到高空中，其重力变大
C. 同一物体在赤道上的重力比在两极处小些
D. 绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力
2.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为(　　)
A. 1 B. C. D.
3.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)
A. 测定飞船的运行周期 B. 测定飞船的环绕半径
C. 测定行星的体积 D. 测定飞船的运动速度
4.下列说法正确的是(　　)
A. 海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B. 天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C. 海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D. 天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
5.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有(　　)
A. 土星线速度的大小 B. 土星加速度的大小
C. 土星的质量 D. 太阳的质量
6.在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是(　　)
A. 太阳引力小于月球引力
B. 太阳引力与月球引力相差不大
C. 月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D. 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
7. （多选）（2022广东省华南师范大学附属中学高一（下）4月）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为，空气阻力不计。则（　　）
A. g′：g＝1：5 B. g′：g＝5：2
C. M星：M地＝1：20 D. M星：M地＝1：80
8.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(　　)
A. ρ＝ B. ρ＝kT C. ρ＝kT2 D. ρ＝
9.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A. B. C. D.
10.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A. 0.5 B. 2 C. 3.2 D. 4
11．（2021·辽宁高三月考）2020年7月23日，我国成功发射“天问一号”火星探测器。已知火星的质量约为地球的，火星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，地球的半径为R，则火星的半径约为（　　）
A．0.5R B．0.4R
C．0.2R D．0.1R
12.有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的多少倍？
13．（多选）如图所示，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，Р为近日点，到太阳的距离为，Q点为远日点，到太阳的距离为，公转周期为T。已知月亮围绕地球做圆周运动的轨道半径为r，绕地公转周期为t。月球、地球、太阳均可视为质点。则（　　）
A．地球的质量为
B．地球在点和点的速度之比
C．由开普勒第一定律可知，k为常数
D．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
14.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1) 求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2) 已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
【练习参考答案】
水平达成
1. C　解析：由于地球自转同一物体在不同纬度受到的重力不同，在赤道最小，两极最大，C正确．
2. D　解析：地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以由地面上G＝mg0，离地心4R处G＝mg，联立解得＝＝.
3. A　解析：取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A正确．
4. D　解析：由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道而发现的，A、B、C错误，D正确．
5. C　解析：根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝r、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.
6. D　解析：要研究太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，设其质量为m，距太阳的距离为r1，距月球的距离为r2，太阳对它的引力F1＝，月球对它的引力F2＝，＝·＝2.7×107×≈169，故A、B错误；因为月球球心距不同区域海水的距离不同，所以吸引力大小有差异，故C错误，D正确．
7.AD【解析】设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得，A正确，B错误；由得，则，D正确，错误。故选AD。
8. D　解析：火星的近地卫星绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝mR，则火星的密度为ρ＝＝，令k＝，则ρ＝，故D正确．
9. B　解析：由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝，根据G＝mg和G＝m得M＝，故B正确．
10. B　解析：在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．即G地＝，同样在行星表面有G行＝，以上两式相比可得＝×＝×，＝＝2.故该行星的半径与地球的半径之比约为2，故B正确．
11.A 解析：由于在星球表面万有引力与重力相等，即则，代入数据解得R火=0.5R，A正确，BCD错误。故选A。
12. 由＝mg得M＝，
ρ＝＝＝，
R＝，＝·＝4，
＝·＝64.
素养提升
13.AB【解析】由于月亮围绕地球做圆周运动的轨道半径为r，绕地公转周期为t，由万有引力提供向心力可得，解得地球质量为，A正确；由开普勒第二定律可知相同时间内，地球在近日点和远日点与太阳的连线扫过的面积相等，有解得，B正确；由开普勒第三定律可知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，是针对同一中心天体而言的，而月球绕着地球转，地球绕着太阳转，中心天体不同，C错误；由开普勒第二定律可知，任意一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，是针对同一中心天体而言的，D错误。故选AB。
14. (1) 依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛小球落回原地经历的时间为t＝.
在该星球表面上竖直上抛的小球落回原地所用时间为5t＝，所以g′＝g＝2 m/s2.
(2) 该星球表面物体所受重力等于其所受该星球的万有引力，则有mg＝G，
所以M＝，可解得M星∶M地＝1∶80.7.3万有引力理论的成就
核心目标 1. 理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用
2. 理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
【阅读+理解】----提前学知识要点
问题 在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
1. “称量”地球的质量 一个成功的理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。 有了万有引力定律，我们就能“称量”地球的质量! “称量”地球的质量时，我们应选择哪个物体作为研究对象？运用哪些物理规律？需要忽略的次要因素是什么？ 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受的重力 mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，式中 m地 是地球的质量；R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。 由此解出 m地＝,地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量 m 地。因此，卡文迪什把他自己的实验说成是“称量地球的重量”。 在实验室里测量几个铅球之间的作用力，就可以“称量”地球，这不能不说是一个科学奇迹。难怪一位外行人、著名文学家马克·吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”
2. 计算天体的质量 能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？怎样才能得到太阳的质量？ 行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。 设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，列出方程 G＝mω2r 行星运动的角速度ω不能直接测出，但可测出它的周期T。把ω和T的关系ω＝代入上式得到G＝m，由此式可得m太＝ 测出行星的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，就可以算出太阳的质量。 思考与讨论 已知太阳与地球间的平均距离约为 1.5×1011m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？ 虽然不同行星与太阳间的距离 r 和绕太阳公转的周期 T 各不相同，但是根据开普勒第三定律，所有行星的 均相 同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期进行计算，所得的太阳质量均相同。 如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前，观测人造地球卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。同样的道理，要得到木星的质量（如图），可以选择对木星的卫星进行测量，只要测得一颗卫星的轨道半径和周期，就可计算 木星的质量。 月球虽然没有天然的卫星，但人类发射的航天器会环绕月球运行，只要测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，就可计算月球的质量。
3.发现未知天体 到了18 世纪，人们已经知道太阳系有 7 颗行星，其中 1781 年发现的第七颗行星——天王星的运动轨道有些“古 怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 是天文观测数据不准确？ 是万有引力定律的准确性有问题？ 是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？ …… 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星被命名为海王星（如图）。 海王星的发现过程 充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、 预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体。 海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质， 近 100 年来，人们在这里发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。但是因为距离遥远，太阳的光芒到达那里已经十分微弱了，在地球附近很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，探索工作从来没有停止过。
4. 预言哈雷彗星回归 在牛顿之前，彗星被看作是一种神秘的现象。英国天文学家哈雷从1337 年到1698 年的彗星记录中挑选了 24 颗彗星，依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现1531 年、1607年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（如图），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底 或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔奖获得者物理学家劳厄说 ：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……” 牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。万有引力定律可以用于分析地球表面重力 加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。除了上述成就外，万有引力定律的另一重要应用将在下节讲述。
【理解+记忆】----常思考笔记重点
一、 “称量”地球的质量
1. 思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于 ．
2. 关系式：mg＝ .
3. 结果：m地＝ ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．这是卡文迪什“称量地球”的依据。
推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，也可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1. 太阳质量的计算
(1) 依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝ 　.
(2) 结论：m太＝ ，若已知行星绕太阳运动的周期T和半径r就能计算出太阳的质量．
2. 行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，能计算行星的质量M
三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1. 海王星的发现
　和　 　根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道．　 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2. 其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体．
3. 预言哈雷彗星回归
哈雷依据 　，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗彗星，周期约为　 年．
【例题+解析】----当检测深究错题
1. (2020·菏泽高一检测)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)
A. 月球的质量　 B. 地球的质量
C. 地球的半径　 D. 地球的密度
2. （2022广东省深圳外国语学校高一（下）学段（一））在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是（　　）
A. 卡文迪许通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
B. 丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
C. 开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律
D. 伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用
3.　(多选)(2020·潍坊模拟)如图所示，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法中正确的是(　　)
A. 三颗星的质量可能不相等
B. 某颗星的质量为
C. 它们的线速度大小均为
D. 它们两两之间的万有引力大小为
4. （2022广东省深圳外国语学校高一（下）学段（一））2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知万有引力常量G，为计算火星的质量，需要测量的数据是（　　）
A. 火星表面重力加速度g和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r
B. 火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r和火星的公转周期T
C. 火星表面的重力加速度g和火星的公转周期T
D. 某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r和环绕周期T
5.（2022江苏省南通海安市实验中学高一（下）第一次学情检测） 2020年11月29日，“嫦娥五号”进入绕月圆轨道，距月球表面高度为h，绕月球运行的周期为T，如图所示，已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g。
6.（2022广东省东莞市七校高一（下）期中联考）2020年6月23日9时43分,我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五十五颗北斗导航卫星。假设该卫星在距离地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的体积为V=πR3，忽略地球自转的影响。求:
(1)地球的平均密度ρ；
(2)该人造卫星绕地球运动的周期T。
【作业+练习】----强基础提升能力
【作业】
1.已知月球的质量是7.3×1022kg，半径是1.7×103km，月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表面的行走会产生什么影响？若宇航员在地面上最多能举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是多少的物体？
2.根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的？为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？
3.某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103km，周期是5.6×103s。试从这些数据估算地球的质量。
4.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（图7.3-4）。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。
（1）请你根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍？
（2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。
【练习】
1.重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是(　　)
A. 同一物体在地球上任何地方其重力都一样
B. 物体从地球表面移到高空中，其重力变大
C. 同一物体在赤道上的重力比在两极处小些
D. 绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力
2.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为(　　)
A. 1 B. C. D.
3.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)
A. 测定飞船的运行周期 B. 测定飞船的环绕半径
C. 测定行星的体积 D. 测定飞船的运动速度
4.下列说法正确的是(　　)
A. 海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B. 天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C. 海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D. 天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
5.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有(　　)
A. 土星线速度的大小 B. 土星加速度的大小
C. 土星的质量 D. 太阳的质量
6.在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是(　　)
A. 太阳引力小于月球引力
B. 太阳引力与月球引力相差不大
C. 月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D. 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
7. （多选）（2022广东省华南师范大学附属中学高一（下）4月）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为，空气阻力不计。则（　　）
A. g′：g＝1：5 B. g′：g＝5：2
C. M星：M地＝1：20 D. M星：M地＝1：80
8.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(　　)
A. ρ＝ B. ρ＝kT C. ρ＝kT2 D. ρ＝
9.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A. B. C. D.
10.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A. 0.5 B. 2 C. 3.2 D. 4
11．（2021·辽宁高三月考）2020年7月23日，我国成功发射“天问一号”火星探测器。已知火星的质量约为地球的，火星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，地球的半径为R，则火星的半径约为（　　）
A．0.5R B．0.4R
C．0.2R D．0.1R
12.有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的多少倍？
13．（多选）如图所示，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，Р为近日点，到太阳的距离为，Q点为远日点，到太阳的距离为，公转周期为T。已知月亮围绕地球做圆周运动的轨道半径为r，绕地公转周期为t。月球、地球、太阳均可视为质点。则（　　）
A．地球的质量为
B．地球在点和点的速度之比
C．由开普勒第一定律可知，k为常数
D．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
14.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1) 求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2) 已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．

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