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圆锥曲线（抛物线、椭圆与双曲线）
一、选择题
1．【金丽衢联考·理】7．若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为 B
A． B． C． D．
2．【金丽衢联考·文】3．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为 B
A． B． C．2 D．
3．【宁波市·理】7．已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于实轴的弦，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 B
（A） （B） （C） （D）
4．【台州市·理】8．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 B
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【台州市·文】8．双曲线的一条渐近线与椭圆交于点、，则=
A. + 　 B. C. D.
6．【温州十校联合·理】8、已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ A ）学科网
A． B．2 C． D． 学科网
7．【温州十校联合·文】6．若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ▲D ）学科网
A．　　 B．　C．　　 D．学科网
8．【温州中学·理】7．设椭圆的离心率为，右焦点，方程的两个实数根分别为，则点 （ A ）
必在圆外. 必在圆上.
必在圆内. 与的位置关系与有关.
9．【温州中学·文】7. 设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为( A )
A． B． C． D．
二、填空题
1．【嘉兴市·理】17．（文科17）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 ▲2-或2+ ．
2．【嘉兴市·文】13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．
3．【嘉兴市·文】17．己知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 ▲2-或2+ ．
4．【金丽衢联考·理】1l．（文科11）抛物线的焦点坐标为 （1，0） ．
5．【金丽衢联考·理】17．（文科17）我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值，那么甲的面积是乙的面积的倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形、乙：小矩形）、②（甲：大直角三角形乙：小直角三角形）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是与，运用上而的原理，图③中椭圆的而积为 ．
6．【宁波市·文】12．若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值 ▲4 .
7．【台州市·理】13. 已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线
的方程为 ▲ .
8．【温州十校联合·文】13. 以抛物线的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_▲_。学科网
三、计算题
1．【嘉兴市·理】22．(本小题满分15分)
如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
【解】 (1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)
且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，
∴ ，解得c=1，
∴所求的椭圆方程为 6分
(2) 点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，
过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，
∵，又，∴cos=
∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=
所求直线的方程为x×2+2=0． 15分
2．【金丽衢联考·理】22．（本题满分16分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
【解】 （1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得.
∴椭圆的方程 （4分）
（2），设边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为 （10分）
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得


∴直线与直线的交点在直线上．
3．【金丽衢联考·文】20．（本题满分14分）
如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点．
（1）求边所在直线方程；
（2）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；
（3）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程．
【解】（1）∵，，∴，∴ （4分）
（2）在上式中，令，得，∴圆心
又∵，∴外接圆的方程为 （9分）
（3）∵，
∵圆过点，∴是该圆的半径
又∵动圆与圆内切，∴，即
∴点的轨迹是以、为焦点，长轴长为3的椭圆，
∴，，，∴轨迹方程为 （14分）
4．【宁波市·理】21．（文科22）（本题15分）如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
【解】（1）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即
∴
故椭圆方程为 …………6分
（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故， ……8分
于是设直线为 ，由得
…………………………………10分
∵ 又
得 即
由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件………15分
5．【台州市·理】21.（本题满分15分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于两不同的点.

【解】
………………5分
6．【台州市·文】21．（本小题满分15分）设，点在轴上，点在 轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
【解】 （1）设，则由得为中点，所以
又得，，
所以（）. ………………6分
（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，
所以，
根据成等差数列，得， ………………10分
直线的斜率为，
所以中垂线方程为， ………………12分
又中点在直线上，代入上式得，即，
所以点. ………………15分
7．【温州十校联合·理】21、（文科22）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足学科网
条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.学科网
(Ⅰ) 求W的方程；学科网
(Ⅱ) 经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k学科网
的取值范围；学科网
(Ⅲ)已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 学科网
与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．学科网
学科网
【解】
交点。
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点。
∴ 。 ∴
∴W：…………………………………………….5分
(Ⅱ) 设直线的方程为，代入椭圆的方程，得
整理，得 ① …………………………7分
因为直线与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或。
∴ 满足条件的k的取值范围为或。
（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因为，， 所以.……………………… 12分
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分
8．【温州中学·理】21、（本题15分）已知点，直线，动点到点的距离等于点到直线的距离，动直线与直线交于动点，过且平行于轴的直线与动直线交于动点．
（Ⅰ）求证：动点在同一条曲线上运动；
（Ⅱ）曲线在X轴上方的点处的切线与直线交于点，
为线段的中点．
（ⅰ）求证：直线//轴；
（ⅱ）若直线平分，求直线的方程．
【解】


9．【温州中学·文】22．（本小题满分15分）已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设 （5分）
（6分）
（9分）
（11分）
（13分）
） (15分)

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