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6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示3种常考题型归类
高频考点
题型1平面向量加法运算的坐标表示
题型2平面向量减法运算的坐标表示
题型3平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
解题策略
1、平面向量加、减运算的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
2、平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）．
在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
3、平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
考点精析
题型1平面向量加法运算的坐标表示
1．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，求
4．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·浙江宁波·高一统考期末）已知向量，，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）已知点，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·江苏南京·高一统考期中）已知一个物体在三个力，的作用下，处于静止状态，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·高一课时练习）设，，，若，则 ．
10．（2024上·北京西城·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（ ）
A．2 B．-2 C． D．
题型2平面向量减法运算的坐标表示
12．（2024上·北京·高二统考学业考试）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
15．（2023·高一课前预习）设，，，，则与的坐标分别为
16．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高一随堂练习）在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？
18．（2023下·北京·高一北京市十一学校校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
题型3平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
19．（2023上·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
20．【多选】（2023·高一课时练习）已知平面内平行四边形的三个顶点则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标及点C的坐标．

22．（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

23．【多选】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023上·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023下·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为
26．（2023下·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示3种常考题型归类
高频考点
题型1平面向量加法运算的坐标表示
题型2平面向量减法运算的坐标表示
题型3平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
解题策略
1、平面向量加、减运算的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
2、平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）．
在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
3、平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
考点精析
题型1平面向量加法运算的坐标表示
1．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可求得结果.
【详解】
故选：D.
3．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，求
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案.
【详解】，
.
4．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.
故选：B.
5．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.
【详解】由P，Q分别为的边，的中点，，得，
点为坐标原点，，因此，
所以点C的坐标为.
故选：A
6．（2023下·浙江宁波·高一统考期末）已知向量，，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出，再列出方程，即可得解.
【详解】设点，
又因为，，
所以，
即，
所以，解得
所以点的坐标为.
故选：C.
7．（2023下·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）已知点，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意写出，则根据同方向单位向量的求法即可得到答案.
【详解】由题得，，故，
故与其同方向的单位向量为，
故选：B.
8．（2023下·江苏南京·高一统考期中）已知一个物体在三个力，的作用下，处于静止状态，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，设，代入求解即可.
【详解】已知一个物体在三个力，的作用下，处于静止状态，
设，则，
即，解得，所以.
故选：A
9．（2023·高一课时练习）设，，，若，则 ．
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.
【详解】由题设，
所以，即，故.
故答案为：
10．（2024上·北京西城·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解.
【详解】
以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，
在平面直角坐标系下，，,，，
所以,， ，．
故选：B
11．（2023下·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算和模的计算即可求解.
【详解】解析：根据题意，向量，则，
则．
若，则有，
两边平方得到，再平方得到，
解得．
故选：．
题型2平面向量减法运算的坐标表示
12．（2024上·北京·高二统考学业考试）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】,
.
故选：C.
13．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用向量坐标的减法公式，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以.
故选：D
14．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）（2）（3）（4）利用平面向量加法与减法的坐标运算可得出向量、的坐标．
【详解】（1）解：因为，，则，
.
（2）解：因为，，则，
.
（3）解：因为，，则，
.
（4）解：因为，，则，
.
15．（2023·高一课前预习）设，，，，则与的坐标分别为
【答案】(2，5)，(4，3)
【分析】先求出，，即可求出与.
【详解】因为，，，，
所以，
所以=(2，5)，=(4，3).
故答案为：(2，5)，(4，3)
16．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出，进而得到.
【详解】由已知，得到，
因为，所以
故选：A.
17．（2023·全国·高一随堂练习）在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？
【答案】
【分析】先求出，根据平行四边形的性质求出.
【详解】
，，
，
.
18．（2023下·北京·高一北京市十一学校校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求得答案.
【详解】因为，
所以,
因此，，
故选：.
题型3平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用
19．（2023上·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设第四个顶点为，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
故选：A
20．【多选】（2023·高一课时练习）已知平面内平行四边形的三个顶点则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】若构成的平行四边形为，即为一条对角线，设，则由中点也是中点，利用线段的中点公式求得．
同理可求得，构成以为对角线的平行四边形，和以为对角线的平行四边形，对应的的坐标．
【详解】若构成的平行四边形为，即为一条对角线，
设，则由中点也是中点，可得，解得，
所以；
同理可得，若构成以为对角线的平行四边形，则；
以为对角线的平行四边形，则；
所以第四个顶点的坐标为可以为：或或．
故选：ABC．
21．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标及点C的坐标．

【答案】，，，．
【分析】根据题意，得，．由此结合三角函数的定义，算出点、两点的坐标，进而可得到与的坐标．由向量相等即可求解.
【详解】由题意，点在原点，与轴正半轴成,
可得，．
设，，，．
则，，，．
同理可得，，，．
，，，．
由于
22．（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．

【答案】．
【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求解．
【详解】因为，
所以点D的坐标是．
23．【多选】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.
【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确．
故选：AC
24．（2023上·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项．
【详解】以为轴，为轴建立坐标系，则，．
，，，．
．
令．得到，，，．
解得，．所以．
故选：．
25．（2023下·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为
【答案】
【分析】根据A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到，然后利用向量的加法和减法运算法则求解.
【详解】解：因为A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，
所以，
所以，
则，
所以 以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为，
故答案为：
26．（2023下·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，
则，，，
由可得，解得，
所以，
故选：A

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