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2.1等式性质与不等式性质【第二练】
2.1等式性质与不等式性质【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.利用差比较法比较大小，培养数学运算，如第2题；
2.能利用等式性质与不等式性质进行解题，锻炼逻辑推理能力，如第1题.
3.能利用等式性质与不等式性质解决实际问题，培养建模能力，如第11题.
（2023秋·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）
1．已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）
2．设，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
（2023秋·北京·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）
3．有以下四个条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）
4．已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
（2023秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）
5．已知a，b，，则“”的必要不充分条件可以是下列的选项（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·吉林长春·高一校考阶段练习）
6．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考阶段练习）
7．已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）
8．已知a，b，c是实数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，则
（2023秋·浙江嘉兴·高一浙江省海盐高级中学校考阶段练习）
9．已知，则按从小到大的顺序排列是 .
（2023秋·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）
10．已知，则的取值范围 ．
11．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是
（2023·上海·高一专题练习）
12．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：
（3）已知，求证：
（2023秋·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）
13．（1）已知命题．若命题为假命题时，求实数的取值范围；
（2）已知实数，试比较的大小．
【易错题目】第9题，第11题.
【复盘要点】用错不等式的性质
典例 （2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）若，则下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，以及作差法，比较大小.
【详解】A.由条件且可知，，但是不确定的情况，当时，，故A错误；
B. ，因为，，所以，
即，则，故B错误；
C.若，则，，所以，故C正确；
D. 若，则，则，故D错误.
故选：C
【复盘训练】
（2023秋·辽宁·高一校联考阶段练习）
14．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
（2023秋·云南·高一校考阶段练习）
15．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·四川雅安·高一四川省汉源县第一中学校联考阶段练习）
16．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号表示不等关系，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．如果，那么
D．，则
（2023秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）
17．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若命题：至少有一个实数，使，则是真命题
D．已知为实数，则“且”是“”的充分不必要条件
（2023秋·河北张家口·高二校联考阶段练习）
18．若且，则的最大值是 .
（2023秋·广西南宁·高一南宁三中校考阶段练习）
19．（1）当时，比较与的大小；
（2）当时，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】取特例或特殊情况可判断ABD，根据不等式性质可判断C.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，由，得，即成立，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：C
2．A
【分析】运用作差法比较大小即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3．D
【分析】由不等式的性质判断各条件是否有成立即可.
【详解】①，则成立；
②，则成立；
③，则不成立；
④，则成立；
故选：D
4．C
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由得不到，如，故充分性不成立，
反之，由可以得到，故必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选:C.
5．C
【分析】利用不等式性质进行推导，结合取值验证可得.
【详解】A选项：取，满足，但，所以不是的必要条件，A错误；
B选项：若，，则，所以不是的必要条件，B错误；
C选项：若，，则，若，则，则有，所以，是的必要条件；
取，显然满足，但，所以不是的充分条件.
综上，是的必要不充分条件，C正确；
D选项：取，显然满足，但，所以不是的充分条件，D错误.
故选：C
6．B
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】∵，∴，，
又，∴，
故选：B.
7．CD
【分析】利用不等式的性质，计算各选项中的结果进行判断.
【详解】对于A，，
当时，；当，；
当，，，；
所以，A选项错误；
对于B， ，当时，，B选项错误；
对于C，当时，；当，；
当，，，；
所以，C选项正确；
对于D，，则，，则，
所以，D选项正确.
故选：CD
8．BD
【分析】根据不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以A错误；
B中，由，可得，因为，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
C中，例如：当，且，此时，所以C错误；
D中，由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以D正确.
故选：BD.
9．
【分析】根据不等性质直接比较大小.
【详解】由，
得，且，
所以.
故答案为：
10．
【分析】将用表示，再利用不等式性质求解即得.
【详解】依题意，，而，则，又，
因此，所以的取值范围是.
故答案为：
11．A>B
【分析】设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，则，
由题意可得：，代入可得：，根据不等式性质，联立即可得解.
【详解】设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，
则，
由题意可得：，
代入可得：，
根据不等式性质可得：，
而，可得,
故，
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，所以，
又因为，可得.
（2）因为，所以，
又因为，所以，可得，
因为，根据不等式的性质，可得，即以.
（3）因为，要证，只需证明，
展开得，即，即，
又因为，所以.
13．（1）；（2）
【分析】（1）依题意，方程没有实数根，利用判别式求解；
（2）作差法比较大小.
【详解】（1）命题，
若命题为假命题时，则有，
即方程没有实数根，，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）已知实数，
则，
所以.
14．D
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, 不能得到，比如，故错误，
对于B，若，不能得到，比如，故错误，
对于C，若，不能得到，比如，故错误，
对于D，因为，所以，故正确，
故选：D
15．A
【分析】运用不等式的性质即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以.即的取值范围为.
故选：A.
16．BCD
【分析】根据不等性质及作差法分别判断各选项.
【详解】A选项：，，无法判断正负，A选项错误；
B选项：，，所以，B选项正确；
C选项：，，即，C选项正确；
D选项：，，即，D选项正确；
故选：BCD.
17．ABD
【分析】根据作差法计算即可判断A；由不等式的性质即可判断B；写出命题，举例说明即可判断C；根据不等式的性质和 、必要条件的概念即可判断D.
【详解】A：，
即，故A正确；
B：由，得，故B正确；
C：，而当时，，故C错误；
D：因为，所以.
又，所以两边同时乘，得，即.
若，则，也可能且，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
18．5
【分析】根据，结合不等式的性质求解即可.
【详解】由题意，，故，
即时的最大值是5.
故答案为：5
19．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）由作差法比较大小；
（2）由作差法即可证明.
【详解】（1），
若，，所以，
若，，所以，
综上：若，；若，.
（2）由于，
因为，所以，，，
所以，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.1等式性质与不等式性质【第二课】
2.1等式性质与不等式性质【第二课】
题型一: 比较代数式的大小
例1.（1）已知，，试比较与的大小．
（2）已知且，试比较与的大小．
（3）设，比较与的大小．
（1）两代数式作差得．
∵，，∴，
∴．
（2）两代数式作差得．
①当时，，∴．
②当，且时，，∴．
③当时，，∴．
综上，当时，；当，且时，；当时，．
（3）∵，∴，，∴，，
两式作商得，∴．
【方法总结】比较大小的四种常用方法
（1）作差法：
①作差：对要比较大小的两个代数式作差．
②变形：对差进行变形，常用变形手段有因式分解、配方、有理化、通分等．
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
④得出结论．
（2）作商法：直接作商与1比较大小，注意两式的符号．
（3）不等式的性质法．
（4）特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
【变式训练1-1】
1．已知，试比较与的大小.
【变式训练1-2】
（2023秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）
2．（1）已知，比较与的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
【变式训练1-3】
（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）
3．解决下列问题：
(1)已知，设，.比较与的大小；
(2)已知，，，求证：.
题型2：利用不等式的性质求取值范围
例2
（1）已知，，求与的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围；
（3）已知，，求的取值范围．
【解】（1）∵，，∴，，
∴．∵，∴．
又，∴，即．
∴的取值范围是，的取值范围是．
（2）∵，∴．
又，∴，即．
∴的取值范围是．
（3）∵，∴．
①当时，；
②当时，．
由①②得，
即的取值范围是．
【方法总结】（1）同向不等式具有可加性及同向同正不等可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
（2）不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．
【变式训练2-1】
[浙江宁波2023高一期中]
4．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】
[湖南长沙市实验中学2022高一期中]
5．已知-3【变式训练2-3】
6．已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围.
(1)x＋y
(2)x－3y
(3)．
题型3 利用待定系数法求取值范围
例3[河南名校联盟2023高一期中]已知实数x，y满足，，则的取值范围为______．
【答案】
设，则
解得所以．
因为，所以，
因为，所以，
所以．
故的取值范围为．
【方法总结】已知两个关于a，b线性关系的代数式的取值范围，而求另一个关于a，b线性关系的代数式的取值范围的方法：根据条件，确定（p，q，r，s，，，，，，均摊为实数）的取值范围时，首先采用待定系数法，令，然后通过对应系数的关系建立方程组求得λ和μ的值，进而求出的取值范围．
【变式训练3-1】
7．已知实数，满足，，则的最大值是 .
【变式训练3-2】
[山东聊城2023高一期中]
8．若，，，则的取值范围为 ．
题型四:不等式性质的综合应用
例4. （2023秋·湖北·高一校联考阶段练习）（多选题）若，，，，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，可得为，，即可判定；对于B，利用作差法判定；对于C，可得，，即可判定；对于D，利用作差法判定．
对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，，因为，
所以，，故，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
则，可得，
所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，但分母符号不确定，故D错误；
故选:ABC．
【方法总结】利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
【变式训练4-1】
（2023秋·广西河池·高一校联考阶段练习）
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合与集合表示同一集合
C．若，则
D．
【变式训练4-2】
（2023秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）
10．（1）已知，，试比较与的大小并证明；
（2）如果x，，比较与的大小并证明.
题型五: 利用不等式性质解决实际问题
例5.甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且．
（1）请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和；
（2）比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地．
【答案】（1）；.
（2），甲先到达B地．
【分析】（1）分别根据两人的运动情况表述出所需时间；
（2）利用作差法比较大小即可得到结论.
（1）设A地到B地的路程为，
因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走，
所以，所以，
因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，
所以，
（2）
因为，所以，因为
所以
所以，所以甲先到达B地．
【提醒】1.根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式.
2.根据实际问题列出不等式（组），应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.
【变式训练5-1】
11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来.
【变式训练5-2】
12．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
易错点: 求取值范围时，尽量避免多次使用不具有可逆性的条件，要使用整体代换的思想解决问题．
例. 已知－≤α<β≤，求，的范围．
∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.两式相加，得－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，∴－≤<.
又∵α<β，∴<0.∴－≤<0.
易错警示: 求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．
针对训练1-1:
（2023秋·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考阶段练习）
13．已知，则的取值范围 ．
针对训练1-2:
（2023秋·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）
14．若实数、满足：，则下列叙述正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的范围是 D．的范围是
针对训练1-3:
[北京海淀区2023高一段考]
15．已知对于实数，，满足，，则的最大值为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解.
【详解】由，
因为，，可得，
所以.
2．（1）；（2）
【分析】作差法比较大小.
【详解】（1），所以
（2），
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
故
3．(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）利用作差法进行求解即可；
（2）利用作差法，结合不等式的性质进行证明即可
【详解】（1）；
（2），
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
4．B
【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围.
【详解】因为，所以，则有，
将不等式的两边同时乘，可得，
所以.
故选：B．
5．-18<2a+3b<-5， 0【分析】利用不等式性质直接求解范围即可
【详解】∵-3∴-6+（-12）<2a+3b<4+（-9），∴-18<2a+3b<-5.
又∵-4∴0故2a+3b的取值范围为-18<2a+3b<-5，a-b的取值范围为06．(1)46＜x＋y＜66
(2)－42＜x－3y＜－6.
(3).
【分析】（1）直接根据不等式基本性质的同向可加性可求解.
（2）先求得的范围，再根据同向可加性求解.
（3）根据第（2）小问的范围结合反比例函数性质求得的范围，再根据同向可乘性即可求解.
【详解】（1）因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.
（2）因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
（3）因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以,
所以,所以,故.
7．
【解析】直接用，表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】解：令，
解得：，，
又，，
，
即的最大值是.
故答案为：.
8．
【分析】将用和表示，利用不等式的同向可加性，求出的范围.
【详解】设，则，
解得，所以，
因为，，所以，，
所以.
故答案为：.
9．ACD
【分析】根据不等式性质可判断A；根据集合的描述法结合集合含义可判断B；结合作差法可判断C；根据全称命题的真假判断可判断D.
【详解】对于项，若，根据不等式的性质可知，所以选项正确；
对于项，由描述法的概念可知集合与集合分别表示点的集合与数的集合，
显然不表示同一集合，故B错误；
对于选项，若，则，即，故C正确；
对于D项，，故D正确，
故应选：ACD.
10．（1），证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）（2）应用作差法比较代数式的大小关系即可.
【详解】（1），证明如下：
，
若，则，故，即；
若，则；
若，则，故，即；
综上，.
（2），证明如下：
，
当且仅当时等号成立，故.
11．
【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解.
【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以，
又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以，
而注意到球的个数应为自然数，
故满足题意的不等关系为.
12．答案见解析
【分析】由题意得到不等式组，可求x，进而可求出满足题意的方案．
【详解】由题意得，
解得，
故，
所以有三组组建方案：
方案一：组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二：组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三：组建中型图书角20个，小型图书角10个．
13．
【分析】将用表示，再利用不等式性质求解即得.
【详解】依题意，，而，则，又，
因此，所以的取值范围是.
故答案为：
14．ABC
【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对；
由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对；
设，则，解得，
所以，，
因为，由不等式的可加性可得，C对D错.
故选：ABC.
15．7
【分析】由题意可得，，且，利用不等式的性质即可求解
【详解】由，可得，，
因为，，
所以，故，则的最大值为7，
故答案为：7
答案第1页，共2页
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