2.1等式性质与不等式性质【第一课】学案(含解析)

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2.1等式性质与不等式性质【第一课】学案(含解析)

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2.1等式性质与不等式性质【第一课】
2.1等式性质与不等式性质【第一课】
【课标要求】
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.初步学会作差法比较两个实数的大小.
3.掌握不等式的基本性质.
4.运用不等式的性质解决有关问题.
【明确任务】
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.(数学建模).
2.会用作差法比较两个实数的大小(数学运算).
3.运用不等式的性质解决有关问题(逻辑推理).
1.含有等号的式子叫做等式.
2.等式的性质
等式的性质
性质1:.
性质2:,.
性质3:.
性质4:.
性质5:,.
3.一般地, a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
核心知识点1: “不等关系”与“不等式”的关系
不等式的概念
我们用数学符号“”“”“”“”或“”连接两个数或两个代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
文字语言与数学符号间的常见转换如下:
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大小 至多
小于 至少
大于或等于 不少于
小于或等于 不多于
解读:
1.不等关系强调的是关系,可用符号“”“”“”“”“”表示,而不等式则表示的是两者的不等关系,可用“”“”“”“”“”等式子表示.
2.用不等式表示不等关系时要注意以下两点:
①要恰当地进行语言的转换,即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换.
②要准确地使用不等号,同时要注意实际情境对表示变量的字母的取值范围的限制.
例1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示(  )
A.v≤120(km/h)或d≥10 (m)
B.
C.v≤120(km/h)
D.d≥10(m)
【答案】B
最大限速与车距是同时的,故选B.
归纳总结:用不等式(组)表示不等关系的步骤:
①审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.
②适当地设未知数表示变量.
③用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.
【举一反三】
1.某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车,根据需要,型汽车至少买5辆,型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
核心知识点2 实数a,b大小的比较
实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大,所以实数可以比较大小,如下表所示:
文字语言 符号表示
如果,那么是正数;如果,那么等于零; 如果,那么是负数. 反之亦然 ;
应用
(1)比较两个实数a,b的大小,一般用作差法,其实质是判定的值与0的大小关系.作差法是证明不等式的基本方法,0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.
(2)对同号的两数比较大小可用作商法,其实质是判定的值与1的大小关系.
求甚解
“”是等价符号,右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小顺序,二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
例2.(2023秋·河北保定·高一保定市第三中学校考阶段练习)设,,则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作差法比较大小即可.


故选:A
归纳总结 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步:作差并变形,其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形:
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和,然后判断.
第二步:判断差值与零的大小关系.
第三步:得出结论.
【举一反三】
2.若x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x与y的大小关系是 .
核心知识点3 不等式的性质
性质1(对称性):.
性质2(传递性):,.
性质3(可加性):.
推论(移项法则):.
性质4(可乘性):;.
性质5(同向可加性):.
性质6(同向同正可乘性):.
性质7(正数乘方性):.
推论(正数开方性):.
解读:
1.在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提,不可强化或弱化成立的条件.例如:
①在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如,,.
②在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”.如,当时,有;若无这个条件,则就是错误结论(因为当时,).
2.性质3说明不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向,性质3是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从不等号的一边移到另一边.
3.性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”的法则来完成的.一定要注意性质4中c的符号,因为c的符号不同,结论恰好相反.性质4中的a,b可以是实数,也可以是式子.
4.性质5中,同向不等式可相加,但不能相减,即由,,可以得出,但不能得出.
5.性质6是同向不等式相乘法则的依据,可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘,即若,,…,,,则.
6.不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“”表示等价关系,可以互相推出;而符号“”只能从左边推右边,即该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时,要注意是否可逆.
例3.(2023秋·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】D
【分析】根据不等式性质判断A,C;举反例判断B;利用作差法判断代数式大小关系,判断D.
对于A,当时,,A错误;
对于B,取,则,B错误;
对于C,,则,
则,C错误;
对于D,,则,
故,即,D正确,
故选:D
归纳总结:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值排除法.
【举一反三】
(2023秋·湖南·高一衡阳县第一中学校联考阶段练习)
3.若,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
4.如果,那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
(2023秋·福建三明·高一校考阶段练习)
5.已知,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2023秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习)
6.给出下列四个选项,其中能成为的充分条件是( )
A. B. C. D.
7.(多选)下面列出的几种不等关系中,正确的为( )
A.x与2的和是非负数,可表示为“”
B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“”
C.的两边之和大于第三边,记三边分别为a,b,c,则可表示为“且且”
D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度t可表示为“”
(2023秋·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习)
8.比较大小: (用“>”或“<”符号填空).
9.若,则与的大小关系为 .
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.
【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆,辆,再根据题意列出不等式组即可.
【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆,辆,
根据题意可得.
2.x<y
【分析】利用作差法即可容易比较出两个代数式的大小关系.
【详解】因为x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,
∴x<y.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系,属简单题.
3.C
【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解.
【详解】当,,时,满足,不满足,故A错误;
当,,时,满足,不满足,故B错误;
因为,所以,因为,所以,
所以,故C正确;
当,,时,满足,不满足,故D错误.
故选:C.
4.A
【解析】根据不等式的性质判断各选项.
【详解】由于,B中无意义,B错;
时,,C,D均错.
只有正确,.
故选:A.
【点睛】本题考查不等式的性质,掌握不等式的性质是解题关键,在应用不等式性质时,一定要注意不等式成立的条件,否则易出错.
5.D
【分析】由题意求出,,根据不等式性质即可求得答案.
【详解】因为,所以,,
故,
故选:D
6.D
【分析】根据不等式的性质确定推出关系即可得到结果.
【详解】对于A,若,则,,充分性不成立,A错误;
对于B,若,则当时,,充分性不成立,B错误;
对于C,取,满足,但,则充分性不成立,C错误;
对于D,若,则,充分性成立,D正确.
故选:D.
7.CD
【分析】由不等关系求解.
【详解】A.x与2的和是非负数,应表示为“”,故错误;
B.小明比小华矮,应表示为“”,故错误;
C.,D正确.
故选:CD.
8.
【分析】根据不等式的性质转化为比较与的大小关系,即可求解.
【详解】要比较与的大小关系,即比较与的大小关系,

即,
所以.
故答案为:
9.
【解析】利用“作差比较法”,结合不等式的基本性质,即可求解.
【详解】因为,可得,所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质,以及作差比较法的应用,其中解答中利用“作差比较法”,结合不等式的基本性质求解是解答的关键,属于基础题.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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