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2.2基本不等式【第一课】
2.2基本不等式【第一课】
【课标要求】
1.掌握基本不等式
2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
3.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
4.能够利用基本不等式解决实际问题.
【明确任务】
1.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题(逻辑推理).
2.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值(逻辑推理).
3.能够利用基本不等式解决实际问题(数学建模).
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c．
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方：a＞b＞0 ．
核心知识点1: 基本不等式
1．基本不等式
，，有，当且仅当时，等号成立．
特别地，如果，，我们用，分别代替中的a，b，可得，（1）当且仅当时，等号成立．
通常称不等式（1）为基本不等式．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式成立的条件是，．
解读：（1）不等式与基本不等式的异同：
不等式
适用范围 a， ，
文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
等号成立的条件
（2）基本不等式的实质是实数平方的非负性．
（3）不等式中a，b的取值可以是具体的数，也可以是代数式．
（4）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
①成立的条件是a，b都是正数．
②“当且仅当”的含义：当时，等号成立：仅当时，等号成立．
例1.（2023秋·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错．
【详解】，，故A错；
，，即，可得，，故B错；
，，且，则，故C正确；
，，而，则，故D错.
故选：C
归纳总结: 利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
【举一反三】
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.（2023秋·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据基本不等式得到最值.
【详解】因为，所以，，
故，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为4.
故选：D
归纳总结 在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
【举一反三】
（2023秋·天津河东·高一校考阶段练习）
2．已知（，），则的最小值是（ ）
A．1 B．30 C．60 D．15
核心知识点2：基本不等式的几何意义
解读：基本不等式的几何意义
（1）将基本不等式两边平方得．若矩形的长和宽分别为a和b，则面积为ab．可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，故几何意义为所有周长一定的矩形中，正方形面积最大．
（2）如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心．
已知，，D为半圆上一点，
且，
则，，
故几何意义为一个圆的半弦不大于半径．
例3.（2023秋·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考阶段练习）我国明朝科学家徐光启在他的《几何原本》中，首创使用几何方法研究代数问题，后来这一方法“几何代数法”成了西方数学家处理问题的重要依据．运用这个方法，很多代数公式、定理都能够通过图形实现证明，数学上称之为“无字证明”．设，，称为a，b的调和平均数；为a，b的几何平均数；为a，b的算术平均数；为a，b的平方平均数．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，点D在半圆O上，且，于点E，过点O作AB的垂线，交半圆于F，连结CF，设，．
(1)求线段DE与CF长度；
(2)证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的几何图形，利用勾股定理及相似三角形性质计算即得.
（2）利用（1）的结论，结合图形中线段在大小关系推理得解.
【详解】（1）依题意，不妨令，
，，
由，得，即，
由，得，则，因此，
由，得，，
所以，.
（2）由（1）知，，，，，，
观察图形知，，当且仅当点与重合时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以.
归纳总结设，，称为a，b的调和平均数；为a，b的几何平均数；为a，b的算术平均数；为a，b的平方平均数．熟记这个结论.
【举一反三】
（2022·上海·高一专题练习）
3．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
（2023秋·广东惠州·高一校考阶段练习）
4．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用一段长为cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·甘肃白银·高一统考开学考试）
6．若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．16 D．17
（2023秋·河南新乡·高一统考阶段练习）
7．若正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·山东淄博·高一校考阶段练习）
8．下列选项中正确的是（ ）
A．若正实数x，y满足，则
B．存在实数a，使得不等式成立
C．若a、b为正实数，则
D．不等式恒成立
（2023秋·全国·高一专题练习）
9．若，，，则的最小值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ABD
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除.
【详解】对于选项A，因为，则，
所以，故选项A正确；
因为，所以，，又，得到
故，所以选项B和D正确，
对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误，
故选：ABD.
2．C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】由，，，得，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值60.
故选：C
3．C
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，可得外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，可得对任意正实数和，有，即可得出.
【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，
则外围的正方形的面积为，也就是，
四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有，
当且仅当时等号成立，故选C.
【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可以得到在什么情况下取得等号.
4．C
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
5．C
【分析】设矩形的长为，宽为，则有，再利用基本不等式即可得解.
【详解】设矩形的长为，宽为，，
则，即，
所以这个模型的面积为，
当且仅当时取等号，
所以这个模型的最大面积为.
故选：C.
6．C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立.故最小值为16
故选:C
7．A
【分析】由题意，利用基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意，，，
，得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：A.
8．ABC
【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，举出例子即可；C选项，利用基本不等式求出答案；D选项，举出反例.
【详解】对于A：若正实数x，y满足，
故，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
对于B：当时，，故存在实数a，使得不等式成立，故B正确；
对于C：若a、b为正实数，则，
当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D：当和时，不等式成立，
但当时，不成立，故D错误.
故选：ABC
9．9
【分析】运用代“1”法，结合基本不等式进行计算即可.
【详解】由题意得，，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9
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