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【第一练】3.1.1函数的概念
3.1.1函数的概念【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数学抽象，如第1，2题；
2.会求给定函数的函数值，锻炼运算求解能力，如第2题；
3.会求函数的定义域、值域，锻炼运算求解能力，如第4，7题；
4.能利用函的数特性判断相等函数，锻炼逻辑推理能力，如第6题.
1．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A. B.
C. D.
2．集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
3．已知函数，
（1）求，，的值；（2）求，，的值.
4．求下列函数的定义域：
（1）；（2）.
5．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；
（2）和.
6．下列哪一组中的函数与是同一个函数？
（1）；
（2）；
（3）.
7．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8．已知函数g(x)＝，
(1)点(3，14)在函数的图像上吗？
(2)当x＝4时，求g(x)的值；
(3)当g(x)＝2时，求x的值.
9．函数的图象如图所示，
(1)函数的定义域 值域各是什么？
(2)r取何值时，只有唯一的值与之对应？图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交.
【易错题目】第6题，第7，8题
【复盘要点】对函数的概念，相等函数的概念理解不透，作图不规范，致使答案错误.
【复盘训练】
（2023秋·吉林通化·高一校考阶段练习）
10．函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．不能确定
（2023·全国·高一专题练习）
11．如图图形，其中能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·贵州黔东南·高一凯里一中校考阶段练习）
12．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河北邯郸·高三校考阶段练习）
13．已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：
1 2 3
2 3 1
1 2 3
1 3 2
填写下列的表格，其三个数依次为（ ）
1 2 3
A．3，1，2 B．2，1，3 C．1，2，3 D．3，2，1
（2023秋·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）
14．下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023秋·河南郑州·高一郑州十一中校考阶段练习）
15．若函数，则 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．见解析.
【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断.
【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）；
（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）；
（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）.
剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.
【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案.
2．见解析.
【解析】根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域.
【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，
所以是从A到B的函数.
定义域是，值域.
【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题.
3．（1），，；（2），，.
【解析】（1）直接代入数值计算即可；
（2）直接代入计算可得.
【详解】（1），，；
（2），，.
【点睛】本题考查函数的值，已知函数解析式，代入自变量计算求解，属于基础题.
4．（1）；（2）.
【解析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可；
（2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【详解】（1）由，得，
∴函数的定义域.
（2）由，且，得，
∴函数的定义域为.
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题.
5．（1）不相等，理由见解析；（2）不相等，理由见解析.
【解析】分别判断函数定义域和对应法则是否相同，相同则为同一函数，不同则不是同一函数.
【详解】（1）不相等，前者的定义域为，而后者的定义域为R.
（2）不相等，前者的定义域为R，而后者的定义域为.
【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数，如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，注意中，属于基础题.
6．（1）不是；（2）不是；（3）是
【解析】根据同一函数的定义，从定义域、对应关系两方面判断即可.
【详解】解：（1）定义域为R，定义域为，
∵定义域不同，与不是同一函数.
（2）定义域为R，定义域为，
∵定义域不同，
与不是同一函数.
（3），与定义域与对应关系都相同，与是同一函数.
【点睛】本题考查了同一函数的定义，属于基础题.
7．(1)答案见解析.
(2)答案见解析.
(3)答案见解析.
(4)答案见解析.
【分析】根据基本初等函数的图像特征，直接画出图像，写出定义域和值域.
【详解】（1）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.

（2）反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.

（3）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.

（4）二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.

8．（1）不在；（2）；（3）.
【分析】将 分别代入即可得所求.
【详解】(1) ，故点不在函数的图像上.
(2) .
(3)
9．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的图象，分析出自变量和函数值的范围，可得值域和定义域；
（2）根据函数的图象，即可得到结果．
【详解】（1）解：由函数的图象可得，函数的定义域为：，值域为：；
（2）解：由已知中函数的图象可得：当时，只有唯一的值与之对应．
10．B
【分析】将函数图象与直线的交点个数转化为方程解得个数，然后根据函数的定义判断.
【详解】函数图象与直线的交点个数可以转化为方程解得个数，根据函数的定义可得方程只有一个解，所以函数图象与直线的交点个数为1个.
故选：B.
11．B
【分析】根据函数的定义即可得解.
【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，
由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.
故选：B.
12．D
【分析】根据，可得答案.
【详解】，
，，
从而可知函数的值域为.
故选：D.
13．D
【分析】根据表中函数关系计算即可.
【详解】，，
，，
，.
故选：D.
14．ABD
【分析】根据两函数的定义域和对应关系完全相同是同一个函数逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，，，
所以与不是同一函数；
对于B，，，，
所以与不是同一函数；
对于C，，，，，
所以与是同一函数；
对于D，，，
，，
所以与不是同一函数.
故选：ABD.
15．##49.5##
【分析】利用给定的函数求出，再配求值即得.
【详解】函数，当且时，，
所以
.
故答案为：
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答案第1页，共2页【第一课】3.1.1函数的概念
3.1.1函数的概念（第一课）
[课标要求]
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是否为同一函数.
5.能正确使用区间表示数集.
6.会求一些简单函数的值域.
[明确任务]
1.能从教材实例中判断函数(数学抽象).
2.会判断复合函数(数学抽象).
3.会用区间表示函数的定义域、值域(数学抽象).
4.会判断两个函数相等(数学抽象)．
5.能用列举法表示元素个数有限的集合(数学建模)
初中学习的函数的传统定义（变量说）
设在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之相对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量．它们描述的是两个变量之间的依赖关系．
核心知识点1: 函数的概念
一般地，设，是非空的实数，如果对于集合中得任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的四个特性：
（1）非空性：函数定义中的集合，必须是两个非空的数集；
（2）任意性：定义域中的每一个元素都有函数值与之对应；
（3）单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应；
（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．
解读： （1）集合一定是函数的定义域，但集合不一定是函数的值域，即中的元素可以没有与之对应的元素，若将函数的值域记为，容易得到．
（2）函数与是常数）的区别与联系：
①表示当时函数的值，是一个常量；
②是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量；
③是的所有取值中的一个．
（3）对应关系的理解
①不是表示“等于与的乘积”，而是表示“是的函数”，其中是自变量；
②是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格；
③在研究两个或多个函数时，除用符号外，还常用，，等来表示函数．
例1.（2023秋·高一课时练习）
1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)，，对应法则，，；
(3)，，对应法则，，；
(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.
归纳总结: 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法

【举一反三】（1）（2023秋·高一课时练习）
2．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）某商场一天的销售额与客流量之间是函数关系.( )
（2）家庭买衣服的支出与交手机费之间是依赖关系.( )
（3）高铁运营里程与年份之间存在依赖关系，但不是函数关系.( )
（4）圆的面积与半径之间是函数的关系.( )
（2023秋·安徽淮南·高一校考期中）
3．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
核心知识点2: 区间的概念
区间的概念及几何表示
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注意开区间与点在具体情境中的区别．
2．无穷大
实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”“”读作“正无穷大”．
3．含“”的区间的几何表示
定义 符号 数轴表示
在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
例2.（2023·山东·校联考模拟预测）
4．不等式组的解集用区间表示为： ．
归纳总结: （1）区间的左端点必小于右端点，将称为区间长度；
（2）区间符号里面的两个字母（或数）之间用“，”隔开；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间的端点用实心点表示，不属于这个区间的端点用空心点表示；
（4）无穷大（）是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数，因此它不具备数的性质和运算法则；
（5）包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“”或“”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．
【举一反三】
5．区间表示的集合是（ ）
A．或 B．
C． D．
【举一反三】（2023·江苏无锡期中）
6．设关于x的函数，其中a， b都是实数.
(1)若的解集为，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
核心知识点3：相等函数
一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域．
（1）定义域：函数的定义域就是自变量的取值范围．在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略不写，这时就默认这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约，如圆的面积与圆的半径之间的函数关系为，其定义域为．
在求函数的定义域时，要把所有的限制条件都考虑到．
（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域中任取一个，可得到值域中唯一的与之对应．同一“”可以“操作”于不同形式的变量，如是对实施“操作”，而是对实施“操作”，是对2实施“操作”． 拓展
与的区别与联系：它们有同一个对应关系，但施加的对象不同，一个是，一个是．若以为自变量，则它们是不同的函数．
（3）值域：对于定义域是的函数，其值域就是指集合．
解读：函数三要素的关注点
（1）习惯上用表示自变量，但也可以用其他单个字母来表示，如，，等均可以表示自变量．自变量是对应关系所施加的对象．
（2）在函数的三要素中，当定义域、对应关系确定后，值域也就随之确定了．
（3）函数的三要素缺一不可．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定了，所以两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才为同一个函数．换言之，定义域不同，两函数不同；定义域相同，而对应关系不同，两函数不同；定义域相同且对应关系相同，两函数相等．需要注意的是，两函数不同，即使定义域和值域分别相同的两个函数，也不一定是同一函数．如与，它们的定义域和值域都是实数集，但不是同一个函数，即两个函数的三要素中任意一个不相同，则可判断两个函数不是同一个函数．
例3.（2023秋·山东·高一校考期中）
7．下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A． B． C． D．
归纳总结: 两个函数相等的判断方法
（1）先判断函数的定义域，若不同，则不是同一个函数；若相同，则进行第（2）步；
（2）再判断函数的对应关系，若不同，则不是同一个函数；若相同，则是同一个函数；
（3）函数与自变量及因变量的表示符号无关，如，与，是同一个函数．
【举一反三】（2023·全国·高一专题练习）
8．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
核心知识点4: 复合函数
复合函数：如果是的函数，是的函数，即，，那么关于的函数叫做与的复合函数，其中是中间变量，自变量，函数值.是外层函数，是内层函数.
解读：
（1）复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围.
（2）内层函数的值域是外层函数的定义域.
（3）与表示两个不同的复合函数.
（4）复合函数中的函数可以是两个或两个以上的函数.
（5），，，四个函数中的，，，在对应关系下的范围相同．
（6）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围．
（7）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为，求的取值范围（值域），这个范围就是的定义域．
例4.
9．下列函数中，是复合函数的是（ ）
A． B．
C．（为常数） D．
归纳总结: 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域，共同确定了复合函数的定义域．
【举一反三】
10．函数是由哪几个函数复合而成.
（2023·山东·校联考模拟预测）
11．下列图象中，能表示函数图象的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
（2023秋·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）
12．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）
13．给出函数如表，则的值域为（ ）
x 1 2 3 4
4 3 2 1
x 1 2 3 4
1 1 3 3
A． B． C． D．以上情况都有可能
（2023秋·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）
14．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
（辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题）
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
（2023秋·陕西西安·高一西安中学校考阶段练习）
16．已知函数.则 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据函数的定义，可依次判断得解.
【详解】（1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数.
（2）对于A中的元素，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.
（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如对应1，对应4，所以是函数.
（4）集合A不是数集，故不是函数.
2． 错误 错误 正确 正确
【分析】根据依赖关系和函数关系的概念，这个判定，即可求解.
【详解】（1）某商场一天的销售额与客流量之间关系是不确定的、随机的，所以不是函数关系，所以（1）错误；
（2）家庭买衣服的支出与交手机费之间是依赖关系是不确定呢的、随机的，所不是函数关系，所以（2）错误；
（3）高铁运营里程与年份之间的关系式不确定的，所以存在依赖关系，但不是函数关系，所以（3）正确；
（4）圆的面积与半径之间满足，所以是函数的关系，所以（4）正确.
故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）正确.
3．B
【分析】根据已知及函数定义，数形结合判断各图象是否符合给定条件的函数关系即可.
【详解】由题意，为定义域，值域为N的子集
A：图象中定义域范围有误，不符合；
B：满足从集合M到集合N的函数关系，符合；
C：图象中值域不为集合N的子集，不符合；
D：由函数定义域内任意自变量有且仅有唯一函数值与之对应，图象存在一个x对应两个y值情况，不符合.
故选：B
4．
【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示.
【详解】解：∵不等式组 ，
∴，∴不等式组的解集为．
故答案为：．
5．C
【分析】根据区间的定义判断.
【详解】区间表示的集合是.
故选：C．
6．(1)
(2)当时，解集为；时，解集为;时，解集为.
【分析】（1）判断开口方向结合韦达定理进行求解；
（2）因式分解求出两根，结合开口方向对两根大小进行判断即可.
【详解】（1）的解集为，
则的开口向上，是对应方程的两根，
则，即；
（2）若，则，
，
当时，，则的解集为
当时，若，即时，的解集为；
当时，，的解集为；
综上：当时，解集为；
时，解集为
时，解集为.
7．B
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
8．D
【分析】根据同一函数的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义域为；
对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数.
故选：D.
9．B
【分析】复合函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的.函数是否为复合函数，需要通过寻找中间变量，根据复合函数定义来判断.
【详解】选项B中函数是由和两个函数复合而成的，是复合函数．
另外三个函数都是基本初等函数或由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，不是复合函数．
故选：B.
10．，，
【分析】根据复合函数的定义求解.
【详解】根据复合函数的定义可知：
函数由函数，，三个函数复合而成.
11．D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，
对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；
对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.
故选：D．
12．A
【分析】使函数有意义解不等式即可.
【详解】要使函数有意义，则，即，
即函数的定义域为.
故选:A．
13．A
【分析】根据表格数据即可求解.
【详解】∵当或时，，
∴；
当或时，，
∴．
故的值域为．
故选：A．
14．AC
【分析】根据同一函数的定义，结合函数的三要素进行逐一判断即可.
【详解】对于选项A：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；
对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数；
对于选项C：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；
对于选项D：函数的定义域为或，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，
故选：AC
15．
【分析】根据的定义域即可求出的定义域.
【详解】由题意，
在函数中，定义域为，
∴在中，，
解得：，
故答案为：.
16．2
【分析】计算的值为常数即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：2
答案第1页，共2页
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