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3.1.2函数的表示法【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.会求解与分段函数有关的参数值或参数的取值范围问题，培养逻辑推理，如第2题，第11题；
2.会求解与分段函数有关的实际问题，锻炼数学建模能力，如第4题；
3.会求解与分段函数有关的新定义问题，培养分类讨论思想能力，如第9题.
一、单选题
（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）
2．已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期中）
3．已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（22·23高一上·黑龙江·期中）
4．列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过离A地300 km的C地，假设列车匀速前进，5 h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
（2023秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）
5．已知，若对任意，均有，则函数可以是（ ）
A． B． C． D．
（23·24高一上·河南郑州·期中）
6．如图，为直角梯形，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）
7．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
（22·23高一上·浙江·期中）
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．当，
（2022秋·四川凉山·高一统考期中）
9．设函数，则称函数为的“”界函数，若给定函数，，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
（2023秋·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）
10．已知函数满足，且，则 .
（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考阶段练习）
11．已知函数,若，则的取值范围是 .
四、解答题
（2023·全国·高一专题练习）
12．已知定义在上的函数满足：．
(1)求函数的表达式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
（2023·宁夏石嘴山·统考一模）
13．已知函数的最大值是.
(1)求的值；
(2)若（，），求的最小值．
【易错题目】第5，6，11，12，13题
【复盘要点】忽视绝对值的几何意义
14．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【复盘训练】
（2023·西藏拉萨·统考一模）
15．已知函数，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．设，定义符号函数则（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·上海闵行·高三校考期中）
17．定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（20·21高三·山东济南·期中）
18．设函数其中表示中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，有
C．当时，
D．当时，
（2023秋·北京海淀·高一首都师范大学附属中学校考期中）
19．已知函数.若存在，对于任意的，，则a的一个取值可以是 ；满足条件的a值共有 个.
（2023秋·广东佛山·高一校考阶段练习）
20．设函数
(1)将函数写成分段函数并画出函数的图像；
(2)求的值；
(3)求不等式的解集.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】，所以.
故选：C.
2．A
【分析】求出，，代入相应的函数解析式，利用可得答案.
【详解】因为，所以，，
所以，，
因为，所以，
解得.
故选：A.
3．C
【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.
【详解】令，则，，
因为，
所以，
则.
故选：C.
4．C
【分析】考查列车行驶速度，则小时后可到达地，排除法即可.
【详解】∵列车匀速前进，
∴列车行驶速度
∴列车后到达C地，
此时距离C地0 km，
即函数图象经过点，
由此可排除A、B、D，知C正确，
故选：
5．D
【分析】根据题意，取特殊值验证的方法判断A，B，C，根据满足的条件判断D.
【详解】对于A，，当时，不妨取，则，
此时不成立，即不成立，A错误；
对于B，，当时，不妨取，则，
则不成立，即不成立，B错误；
对于C，，不妨取，则，
此时不成立，即不成立，C错误；
对于D，，当时，则，
此时恒成立，即成立，
当时，则，此时恒成立，即成立，
故对任意，均有，D正确，
故选：D
6．C
【分析】直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数，判断图象即可．
【详解】所在直线方程为，
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角三角形，
底边长为，高为，则；
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角梯形，
上底长为，下底长为，高为2，则；
所以，由一次函数和二次函数的性质和图象可知，
函数的图象大致为选项C.
故选：C.
7．BD
【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以的定义域为，所以A错误；
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B正确；
对于C，因为，所以，所以C错误；
对于D，当时，由，得，解得（舍去），
当时，由，得，解得或（舍去），
综上，，所以D正确.
故选：BD.
8．ACD
【分析】根据分段函数的解析式，逐项分析即得.
【详解】因为，
所以，即，故A正确；
所以，，故B错误；
所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.
故选：ACD.
9．ACD
【分析】根据题意将函数表示为分段函数的形式，然后结合函数、的解析式逐项验证个选项，即可得出合适的选项.
【详解】由，即，解得，
所以，.
对于A选项，，，
所以，，A对；
对于B选项，，，
所以，，B错；
对于C选项，，
，所以，，C对；
对于D选项，，
，所以，，D对.
故选：ACD.
10．
【分析】用替换,再解方程组可得答案.
【详解】由①，
用替换，得②，
①×2－②，得，得.
故答案为：.
11．
【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可.
【详解】根据分段函数的定义可知，
当时，不等式可化为，
解得；
当时，不等式可化为，
解得；
当，不等式可化为，无解.
综上知，的取值范围为
故答案为：
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）将的替换为得，
联立
解得
（2）不等式为，化简得，
要使其在上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．
13．(1)
(2)8
【分析】(1)根据分段函数的性质求解；
(2)利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）
则在上单调递增，在上单调递减．
故，即．
（2）由（1）可知，
则．
因为，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故，即的最小值是8．
14．D
【解析】首先判断是偶函数，确定函数的图象，再利用对称性求的图象.
【详解】首先是偶函数，函数图象关于轴对称，当时，，时，将轴右侧的图象翻折到左边，即得的图象.
其次 表示将的图象关于x轴作对称变换，即得的图象.
故选：D
15．A
【分析】根据分段函数对于解析式范围代入求值即可.
【详解】当时，，当时，，所以.
故选：A.
16．D
【分析】根据定义符号和绝对值的几何意义，设时，分别代入选项，排除选项.
【详解】当时，，，故排除A；，故排除B;，故排除C.
，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，新定义的简单应用，属于基础题型.
17．C
【分析】由条件可知，再利用换元求出在的解析式解出满足的的最小值即可.
【详解】由可知，
因为当时，，所以，所以，
当时，令无解，
当时，，此时，
令无解，
令，则，，
所以当时，，
令解得，
所以集合中的最小元素是，
故选：C
18．ABC
【分析】根据题意画出的大致图像,然后依据图像逐个检验即可．
【详解】画的图象如图所示：
对A选项，所以恒成立，故选项A正确；
对B选项，当 时, , 可以看做是向右平移两个单位，经过平移知恒成立, 故选项B正确；
对C选项，由图知, 当 时,, 可令 , 由 和 的图象知, 当 时, 在 的上方, 所以当 时, , 即 成立, 故选项正确；
对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项错误.
故选:
19． （答其中一个即可） 4
【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再由函数图像具有对性逐段分析求出即可.
【详解】任意的，，即函数图像关于对称，
当时，，当时，，
所以，当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
图像具有对称性，则对应函数的中间部分也要对称，即应恒为常数，
即当且仅当，即时，
函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，但，取不到，
故不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，所以a的一个取值可以是（答其中人一个即可），满足条件的a值共有4个.
故答案为：（答其中一个即可） 4
20．(1)，图像见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义写出函数解析式，结合二次函数图象画出分段函数图像；
（2）先求，再求即可；
（3）换元，先解外层不等式，再利用图象法解内层不等式即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以，函数图像如图：

（2）因为，所以；
（3）令，则，由图像及（2）知，
故只需解，当时，，解得或（舍去），
，解得，所以或，由图可知当时，.
所以不等式的解集为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.1.2函数的表示法【第三课】
扩展1: 与分段函数有关的不等式问题
例1. （22·23·合肥·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知计算出，画出图象，计算，解得，从而求出的最小值.
【详解】由题意得，当时，故，
当时，故，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，
当时，由，则，
所以的最小值为
故选：B
【方法总结】分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
（22·23上·全国·课时练习）
1．已知,则使成立的的取值范围是（　 ）
A． B．
C． D．
（23·24高一上·安徽宿州·期中）
2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（22·23高一上·广东佛山·期中）
3．设函数,若，则的取值范围是 .
扩展2:与分段函数有关的新定义问题
例2. （23·24高一上·广东广州·期中）定义区间的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时， .
【答案】2011
【分析】根据题设有，结合函数新定义，讨论、、、确定对应解集，即可得答案.
【详解】由题设，，
则，即，
当时，上式可化为，即；
当时，上式可化为，即；
当时，上式可化为，而，则；
当时，上式可化为恒成立，则
综上，在时的解集为，故.
故答案为：2011
【方法总结】所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
（22·23上·淄博·阶段练习）
4．函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的值域为 B．若，则
C．若，则 D．，
扩展3: 分段函数实际应用
例3.（23·24高一上·四川成都·开学考试）（多选题）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是．则下列图象不能大致反映与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意知，与的函数是分段函数，写出分段函数各段的解析式，即可判断各选项图象能否大致反映函数.
【详解】当点P在点AD上运动，即时，
不能构成三角形，故y值为0，
选项ACD都不能大致反映与的函数关系.
当点P在DC上运动，即时，
的一边，高，则；
当点P在CB上运动，即时，
的面积不变，；
当点P在BA上运动，即时，
的一边，高，
综上，，图象如选项B所示，能大致反映该函数关系.
故选：ACD.
【方法总结】有关分段函数的实际应用问题的两个关注点
（1）应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．
（2）注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．
（23·24高一上·河北唐山·期中）
5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元
超过但不超过的部分 6元
超过的部分 9元
则下列说法正确的是（ ）
A．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费30元
B．若某户居民某月用水量为，则该用户应缴纳水费96元
C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为
D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过，乙户该月用水量未超过，则该月甲户用水量为（甲，乙两户的月用水量均为整数）
（22·23下·南京·阶段练习）
6．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
扩展4: 抽象函数问题
例4.设是定义在上的函数，且满足，且对任意实数，都有，求的解析式．
【解】方法一：因为，且，
所以令，则，
所以．
方法二：令，得，
即，
将用代换得．
【方法总结】在某些求函数解析式的问题中，通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或是减少变量个数，从而解决问题，这种方法叫做赋值法．赋值法常用于求解抽象函数的解析式．
（2023秋·广东佛山·高一校联考阶段练习）
7．已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
8．对任意实数，，都有，求函数的解析式．
（2007·安徽·高考真题）
9．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2012·福建·高考真题）
10．设,则f(g(π))的值为
A．1 B．0 C．-1 D．π
（2004·全国·高考真题）
11．设函数，则使得的自变量的取值范围为
A． B．
C． D．
（2012·安徽·高考真题）
12．下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
考点：函数关系判断
（2010·陕西·高考真题）
13．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A． B． C． D．
（2004·湖北·高考真题）
14．已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（2011·江苏·高考真题）
15．已知实数，函数，若，则a的值为
（2006·浙江·高考真题）
16．对，，记，函数，的最小值是 .
（2021·浙江·统考高考真题）
17．已知，函数若，则 .
（2004·浙江·高考真题）
18．已知，则不等式的解集是 ．
（2018·天津·高考真题）
19．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案.
（方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.
【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；
当时，，不等式可化为，解得，
又，所以.
综上，使不等式成立的的取值范围是.
故选: A.
（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.
由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.
在中，令，得，所以点的横坐标为.
在中，令，得（舍去）或，
所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.
故选：A.
2．D
【分析】对进行分类讨论，通过解不等式求得的取值范围.
【详解】当时，不成立.
当时，，
所以，解得.
当时，，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
3．
【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.
【详解】（i）当，即时，，，
由得，即，
因为，所以恒成立，所以；
（ii）当，即时，，，
由得，即，即恒成立，
所以；
（iii）当，即时，，，
由得，即，所以，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
4．BD
【分析】求得函数的值域判断选项A；推理证明判断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.判断选项D.
【详解】选项A：函数的值域为.判断错误；
选项B：若，则，，则.判断正确；
选项C：，但.判断错误；
选项D：当时，.
则，.判断正确.
故选：BD
5．AC
【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可
【详解】对于A选项，居民用水量未超过12，则按3元计算，故应缴水费为元，故A选项正确；
对于B选项，居民用水量超过12，但未超过，因此其中12，按3元计算；剩余的，按6元计算；故应缴水费为元，故B选项错误；
对于C选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过12，但未超过，设居民用水量为，则有，解得：，故C选项正确；
对于D选项，根据题意，设甲居民用水量为，乙居民用水量为，则根据已知条件可得：，整理可得：.通过方程无法确定甲居民用水量一定为，故D选项错误.
故选：AC
6．(1)6天
(2)2
【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.
（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.
【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．
当时，，解得； ．
当时，，解得； ．
综上求得，
所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ．
（2）设从第一次投放起，经过x（）天后，浓度为 ．
因为，所以，
所以即
所以
当且仅当，即时，等号成立，所以
答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2
7．
【分析】利用赋值法先求出解析式，再求解不等式可得答案.
【详解】令，得．
令，则，即，解得，
则不等式的解集为．
故答案为：
8．
【分析】方法一：赋值,得到,再赋值,得到解析式；
方法二：赋值,得到的解析式,再令,即可得到解析式
【详解】方法一：对任意实数,都成立,
令,得,
再令,
得,
方法二：在已知式子中,令,
得,
,
,
令,得
【点睛】本题考查赋值法求函数解析式,如何赋值要根据题目特征来确定,由赋值法求出解析式后,应注意函数的定义域
9．B
【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．
10．B
【详解】，
,
故选B.
11．A
【详解】试题分析：由题意得，当时，令，即或，解得或；当时，令，解得，综上所述，使得的自变量的取值范围为，故选A．
考点：分段函数的应用．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键．
12．C
【详解】试题分析：A中，B中，C中，D中
考点：函数关系判断
13．B
【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
14．C
【解析】令，即可用换元法求函数解析式.
【详解】令，
得，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.
15．
【解析】分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.
【详解】当时，，所以，
解得，不满足，舍去；
当时，，所以解得，满足.
故答案为：.
【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．
16．
【解析】根据题中所给条件通过比较、哪一个更大先求出的解析式，再求出的最小值．
【详解】解：当时，，，因为，所以；
当时，，，因为，；
当时，；
当时，，，显然；
故
据此求得最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．
17．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
18．
【分析】结合分段函数的概念，对进行分类讨论求解.
【详解】∵，
∴
（1）当时，原不等式等价于，解得，
∴此时；
（2）当时，原不等式等价于，解得，
∴此时；
综上所述，原不等式的解集为.
故答案为：.
19．
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
答案第1页，共2页
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