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【第一练】3.1.2函数的表示法
3.1.2函数的表示法【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会求函数的解析式，培养运算求解能力，如第5，6题；
2.会根据解析式判断图象，会用图象法表示函数，培养数形结合能力，如第1题；
3.理解分段函数的概念，会用分段函数解决问题，培养运算求解能力，如第8，12题；
1．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
3．从甲市到乙市t min的电话费由函数g(t)＝1.06·(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为不超过t的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min的电话费为（ ）
A．5.04元 B．5.43元 C．5.83元 D．5.38元
4．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数y＝f(x)满足，求函数y＝f(x)的解析式．
6．已知f(x)－2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
7．如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
8．画出下列函数的图象：
（1）
（2）.
9．给定函数，，.
(1)画出函数，的图象；
(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．
10．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离，请将t表示为x的函数.
（2）如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？
11．画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？
12．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.
【易错题目】第5，6，8，9，12题
【复盘要点】这对具体问题，灵活应用函数的表述方法，对分段函数的概念理解不透，作图应准确.
【复盘训练】
（2023秋·湖南衡阳·高一校考期中）
13．函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一新疆实验校考期中）
14．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（浙江省浙东北联盟（ZDB）2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
15．已知函数，则 ．
（2023秋·四川凉山·高一宁南中学校考期中）
16．已知函数．若，则
（2023秋·宁夏固原·高三校考阶段练习）
17．已知函数．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
（2023·全国·高一专题练习）
18．已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据已知条件及排除法即可求解.
【详解】当时，距离单位最远，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，则随的变化慢，排除B，
故选：D．
2．B
【分析】根据图可知，继而根据表格可知.
【详解】由图可知，，
由表格可知，
故选：B.
3．A
【分析】根据题意知，然后计算即可求出结果.
【详解】依题意知g(5.5)＝1.06×(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04，
故选：A.
4．A
【分析】利用反比例函数平移得到函数的图象．
【详解】，将的图象左移1个单位再上移1个单位.
故选：A
【点睛】本题考查函数的图象，考查学生数形结合能力，属于基础题．
5．
【分析】利用配凑法求得的解析式.
【详解】，其中，
所以.
6．f(x)＝－x2＋x
【分析】将f(x)－2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替换，利用方程组法即可求解.
【详解】解：将f(x)－2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替换，
得f(－x)－2f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x.　
于是得到关于f(x)和f(－x)的方程组
　
消去f(－x)，可得f(x)＝－x2＋x.
因此，f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋x.
7．见解析
【解析】根据矩形面积，可以知道长宽的关系，进而可以求出对角线、周长，利用可以求出函数解析式.
【详解】解：答案不唯一.如：，这是y关于x的函数，其中，
这是关于x的函数，其中，，这是d关于x的函数，其中.
【点睛】本题考查了根据具体几何背景求函数关系，属于开放试题.
8．（1）图像见解析；（2）图像见解析
【分析】根据函数的类型直接画图即可.
【详解】解：（1）函数是一个分段函数，函数图象如图（1）所示.
（2）函数的图象是三个离散的点，如图（2）所示.

【点睛】本题考查画函数图象的能力，属于基础题.
9．(1)图象见解析
(2)图象见解析；.
【分析】（1）根据一次函数与二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意，结合（1）中的函数的图象，进而求得函数的解析式，画出图象.
【详解】（1）解：由函数，
根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数和的图象，如图所示：

（2）解：联立方程组，整理得，解得或，
结合（1）中的图象，可得：
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数的解析式为.
函数的图象，如图所示.

10．（1）（2）.
【解析】（1）利用勾股定理，结合速度、路程、时间的关系，根据题意可以求出t关于x的函数的解析式；.
（2）代入求值即可.
【详解】解：（1）如图，此人坐船所用时间为，步行所用时间为.
（2）当时，.
【点睛】本题考查了根据实际背景求函数的解析式，考查数学阅读能力，考查了数学建模思想.
11．（1）答案为唯一，见解析；（2）在线段，和线段上的点不在图象上.
【分析】（1）根据所给的定义域和值域的特征，可以画出线性型函数即可.
（2）根据所给的定义域和值域的特征，结合本问已知可以知道不在图象上的点.
【详解】1）由题意可知：定义域为，且，值域为，图象可以是如下图所示：

（2）由题意可知中：线段，和线段上的点不在图象上如下图所示：

【点睛】本题考查了已知函数的定义域和值域画图象，属于开放题.
12．解析式见解析，图象见解析
【分析】根据所给函数的定义进行分类讨论，画图函数的图象.
【详解】解：
函数图象如图所示：

【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了画函数图象，属于基础题.
13．A
【分析】利用配凑法即可得解.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A.
14．ABC
【分析】根据已知代入特殊值可得的值，可判断A，B；再根据换元法求解解析式即可得，从而判断C，D.
【详解】因为，所以时，可得，故A正确；
所以时，可得，故B正确；
令，则，所以，则，故C正确，D不正确.
故选：ABC.
15．6
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，
故答案为：6.
16．或
【分析】根据题意，由分段函数解析式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，，解得或（舍）；
当时，，解得；
综上所述，或.
故答案为：或
17．(1)答案见解析
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）分和写出分段函数；
（2）画出函数图象；
（3）数形结合得到函数值域.
【详解】（1）
（2）画出函数图象如下：

（3）由图象可看出，函数值域为.
18．(1)，，
(2)或
【分析】（1）根据自变量的范围，代入相应的解析式，求函数值；
（2）分类讨论，解方程即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
因为，
所以，
（2）由于，
当时，，
解得，又，所以不合题意，舍去．
当时，，
即化为，
解得或，
又，所以符合题意，
当时，，即符合题意．
综上可得，当时，或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】3.1.2函数的表示法
3.1.2函数的表示法【第一课】
【课标要求】
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.会求函数的解析式.
【明确任务】
1.能根据具体问题表示函数（数学抽象）.
2.理解分段函数的概念，并能简单应用.（数学运算）.
3.会作函数图象（直观想象）．
4.会求函数的解析式（数学运算）.
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f（x）|x∈A}
2.同一个函数
（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
（2）结论：这两个函数为同一个函数.
核心知识点1: 函数的表示方法
函数的表示法
表示法 含义 定义域 值域 示例
解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 使解析式有意义的自变量的取值范围 因变量的取值范围 函数的定义域是，值域是
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 表格中自变量的取值集合 表格中相应的取值集合 12301
定义域是，值域是
图像法 用图象表示两个变量之间的对应关系 图象在轴上的射影 图象在轴上的射影 定义域是，值域是
解读：三种表示法的优缺点
例1.以下形式中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A.
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
B.
C．y＝x2
D．（x＋y）（x－y）＝0
【答案】D
【解析】根据函数的定义及表示方法可知，只有选项D中可化为y＝x或y＝－x，不满足函数的定义，故选D.
归纳总结: 用三种方法表示函数时的注意点
（1）解析法在定义域不是默认范围时，必须注明函数的定义域；
（2）列表法必须罗列出所有自变量的值与函数值的对应关系；
（3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【举一反三】（22·23高一上·全国·课时练习）
1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　）
A． B．
C． D．
核心知识点2：分段函数
如果在函数的定义域内，对于自变量的不同取值，函数有着不同的对应关系，那么这样的函数叫做分段函数．
拓展
几种常见的分段函数
①取整函数
（表示不大于的最大整数），如图①．
②含绝对值符号的函数如图②．
③自定义函数，如图③．
④点列函数，，如图④．
⑤符号函数
图① 图② 图③ 图④
（1）定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的.
（2）值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
（3）图象：根据不同取值区间上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象.
解读： 1．分段函数是一个函数而不是几个函数.
2．分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
3．处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系.
4．画分段函数的图象时，要特别注意区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心点表示.
例2.（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，在求出的值即可.
因为，
所以，
所以，
故选：B.
归纳总结 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
【举一反三】（2023·全国·高一专题练习）
2．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．的解集为 D．若，则x的值是1或
核心知识点3: 函数图象
（1）函数图象的特征：既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线或离散的点．
（2）描点法作函数图象的三个步骤：
①列表：先找出一些有代表性的自变量的值，再计算出与这些自变量相对应的函数值，并用表格的形式表示出来；
②描点：把第（1）步表格中的点在平面直角坐标系中描出来；
③连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
方法 画函数图象的方法
（1）直接法：若函数是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数，则依据各函数的图象特点，直接画出的图象．
（2）描点法：若函数不是基本初等函数，则用描点法画出的图象，其步骤：列表、描点、连线．注意连线时，若是曲线，则曲线要光滑；若是孤立的点，则此时不要连接各点．
（3）图象变换法：若函数不是基本初等函数，但是与基本初等函数有关，则可以由一个函数的图象，通过某种或多种连续方式的变换，得到另一个与之相关的函数的图象．常见的图象变换有四种基本形式：平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换．本章节我们重点了解平移变换、对称变换和翻折变换．
例3.已知，，设，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当时，即时，解得或或，
∴
故图象为D，故选D．
【答案】D
【方法总结】解决函数图象识别问题的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势、对称性、特殊点等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法如下：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
【举一反三】（22·23高一上·北京·期中）
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·广西南宁·高一校考期中）
4．设函数，则（ ）
A． B． C．10 D．
（2023秋·河北邢台·高一校联考期中）
5．函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期中）
6．若函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·广东汕头·高一校考期中）
7．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
（2023秋·北京丰台·高一统考期中）
8．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）
9．已知，若，则 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据体温变化过程结合图像可得答案.
【详解】选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.
故选：C
2．B
【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
3．D
【分析】变形函数解析式，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，函数的定义域为，选项AC都不满足；
而当时，，选项B不满足；
函数的图象是直线在的部分与直线在的部分组成，D满足.
故选：D
4．A
【分析】代入分段函数的解析式，即可求解.
【详解】函数，因为，所以.
故选：A
5．A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
6．D
【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.
【详解】令，则，，
因为，
所以，
则，
故选：D.
7．B
【分析】根据图可知，继而根据表格可知.
【详解】由图可知，，
由表格可知，
故选：B.
8．C
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
9．##0.5
【分析】根据解析式计算即可.
【详解】令.
故答案为：.
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