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3.2.1单调性与最大（小）值【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.熟记常用函数的性质（单调性），会利用函数的单调性求解相关问题，培养逻辑推理能力，数形结合能力，如第1，4题.
2.利用新定义求函数的最值，锻炼转化与划归能力，如第2题.
3.正确理解恒成立与能成立的概念，熟练求解相关问题，培养分类讨论思想能力，如第6，9，12题.
一、单选题
（2023上·北京·高一北京市第三十五中学校考期中）
1．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·贵州遵义·高一统考期中）
2．定义新运算 ：当时， ；当时， ，则函数的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
（2024上·广东·高三校联考阶段练习）
3．命题：函数的最大值为，函数的最小值为；命题：的最大值为，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）
4．函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·广东茂名·高一统考期中）
5．已知，若函数有最小值为4，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
（2023上·江苏常州·高一常州市第二中学校联考期中）
6．已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023上·四川达州·高一校考阶段练习）
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．没有最小值 D．最大值为2
（2023上·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）
8．若函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·贵州·高三统考开学考试）
9．已知函数，，若对任意．及对任意，都有，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．3
三、填空题
（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）
10．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 .
（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）
11．已知函数，若对任意满足的正数，，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
（2023上·北京昌平·高一昌平一中校考期中）
12．函数，定义域为
(1)当时，求的值域；
(2)若恒成立，求实数的取值范围
（2023上·湖北孝感·高一期中）
13．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的值域．
【易错题目】第1，2，3，6，8，12，13题
【复盘要点】
1.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
（1）区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
（2）对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
2.灵活应用分类讨论、转化与划归的数学思想解题.二次函数问题通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
（2023上·河北沧州·高一校联考期中）
14．已知是定义在上的单调递增函数，且.
(1)解不等式；
(2)若对和恒成立，求实数的取值范围.
【复盘训练】
（2023上·上海黄浦·高一卢湾高级中学校考期中）
15．“函数在上是严格增函数”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2022上·江苏连云港·高一统考期中）
16．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2021上·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）
17．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
（2023上·河北唐山·高一校联考期中）
18．已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 .
（2023上·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）
19．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）
20．已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据基本初等函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
2．C
【分析】当和时，分别求出函数的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数的最大值.
【详解】解：由题意知
当-2≤x≤1时，f（x）=x-2，当1＜x≤2时，f（x）=-2，
又∵f（x）=x-2，f（x）=x3-2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=-2=6．
故选C．
【点睛】该题考查的是有关新定义运算以及函数最值的求解问题，在解题的过程中，需要对题中所给的条件正确转化，再者就是对函数最值的求解方法要灵活掌握.
3．D
【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可.
【详解】设，分别存在最大值和最小值，则的最大值为，所以充分性不成立；
设，，取得最大值为1，但不存在最小值，所以必要性不成立．
故选:D．
4．A
【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.
【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，
则，解得.
故选：A.
5．B
【分析】根据题意，分，与讨论，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】当时，在单调递增，无最小值；
当时，因为在单调递增，在单调递增，则在单调递增，无最小值；
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，所以，则，符合要求.
故选：B
6．B
【分析】将已知函数整理得，令，由二次函数的性质求得，将不等式等价于，求解即可.
【详解】解：由已知得，
令，因为，所以，所以，
所以，当时，，当时，，即，
所以对任意，，
所以对任意，都有，等价于，
即，解得或，所以实数m的取值范围是，
故选：B.
7．BD
【分析】先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断即可得出结果．
【详解】由，得，即函数的定义域为,，
令，则的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，
函数在,上单调递增，在,上单调递减，
又单调递增，在,上单调递增，在,上单调递减，故B正确，A错误；
由于当时，，当时，，故，所以，，故D正确，C错误．
故选：BD
8．BD
【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.
【详解】函数开口向上，对称轴为，
若，即时，解得或（舍去），
若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，
若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），
综上可得或.
故选：BD
9．CD
【分析】因为对任意及对任意，都有，所以，根据以及解析式的结构分别求出最小值和最大值即可.
【详解】当对任意时，，当且仅当，即时，等号成立，所以在上；
又，
当，即时，在上，由，解得，所以；
当，即时，在上，由，解得，所以；
综上可知，实数a的取值范围是；
故选：CD．
10．
【分析】应用单调性定义，将转化为，可构造，对其讨论即可.
【详解】，不妨设，
故，即，
令，则，故在上单调递减，
，不等式两边同除以得：，
因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：，则解集为.
故答案为：
11．
【分析】由基本不等式得出等号右边的范围，再分类讨论的值，再利用二次函数并结合已知条件分析求解.
【详解】
当且仅当时取等号，
设的值域为A，则，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，存在，使得，则，
又因为，，所以，
综上所述：.
故答案为：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数特征直接求解即可；
（2）根据进行分类讨论，通过参变分离的方法转化为最值问题求解即可.
【详解】（1）当时，函数，开口向上，对称轴为，
又因为函数定义域为，所以，即，
所以的值域为
（2）因为恒成立，
所以当时，成立，，
当时，，
即，即，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，即实数的取值范围为
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的函数值求解析式；
（2）利用二次函数在给定区间的单调性分类讨论最小值即可求解.
【详解】（1）由题可得，，所以，
又因为，
所以二次函数的对称轴为，解得，
所以.
（2）由（1）知，，对称轴，
当，即时，
函数在上单调递减，
则函数的最小值；
当，即时，
函数在上单调递减，单调递增，
则函数的最小值；
当时，
函数在上单调递增，
则函数的最小值；
所以，
（i）当时，单调递减，所以；
（ii）当时，；
（iii）当时，单调递增，所以；
综上，的值域为.
14．(1)解集为
(2)
【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求；
（2） 恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可.
【详解】（1）是定义在上的单调递增函数，且，
则，即.
有,解得，
故所求解集为.
（2）在上单调递增，
当时，.
问题转化为，
即，对成立.
接下来求的取值范围.
设，
①若，则，对成立；
②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，
或.
或或，即的取值范围是.
15．B
【分析】根据二次函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.
【详解】函数的对称轴是，
若函数在上是严格增函数，则，
所以“函数在上是严格增函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
16．C
【分析】根据题意，得到，且对任意的，恒成立，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由函数，
令，因为，所以为减函数，故函数为单调递减，
所以 ，即
又由在恒成立，故，所以
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
17．B
【分析】将变形为，求出其值域，根据其值域可得或，由此可得答案.
【详解】因为，
又因为，，，
所以，
所以当时，；
当时，.
所以函数的最小值为.
故选：B
18．
【分析】设，由已知可得出，令，分析可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】不妨设，由可得，
所以，，
令，则，所以，函数在上单调递增，
由可得，
又因为，
由可得，则，解得，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
19．
【分析】求出函数的对称轴，分类讨论区间端点与对称轴的大小，将恒成立问题转化为最值问题解决.
【详解】由可知，函数对称轴为，
当时，在上单调递增，，
所以要使恒成立，即，即，解得；
当时，在上单调递增，所以，
则，解得；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
20．
【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由任给，存在．使得，
可知，在上的值域为在上的值域的子集.
根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，
且，，
所以，；
当时，.
，且，
则.
因为，且，
所以，，，
所以，，，
所以，在上单调递增.
又，
所以，.
综上所述，当时，.
当时，单调递增，所以.
所以有，解得；
当时，不满足；
当时，单调递减，所以.
所以有，解得.
综上所述，或.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.2.1单调性与最大（小）值【第三课】
扩展1： 复合函数的单调性
例1.（2023上·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性，即可求得函数的递减区间.
【详解】对于函数，有，解得或，
所以，函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在上为增函数，
所以，函数的单调递减区间为.
故选：C.
【方法总结】函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
【举一反三1-1】（2022上·安徽合肥·高一校考期末）
1．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是，值域是
B．f(x)的单调减区间是(1，3)
C．f(x)的定义域是，值域是
D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)
【举一反三1-2】（2023·河南·校联考模拟预测）
2．已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
扩展2： 抽象函数的单调性
例2.（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为＿＿＿＿＿.
【答案】
【分析】应用单调性定义，将转化为，可构造，对其讨论即可.
【详解】，不妨设，
故，即，
令，则，故在上单调递减，
，不等式两边同除以得：，
因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：，则解集为.
故答案为：
【方法总结】不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，等性质集于一身，有时需要赋值处理.
【举一反三2-1】（2023上·江苏无锡·高一校联考期中）
3．已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【举一反三2-2】（2023上·江苏南京·高一期中）
4．已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
扩展3： 函数最值的应用
例3. （2023上·北京·高一北京八中校考期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ）
A. B. C. D.或
【答案】C
【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，对称轴的方程为，
当时，则时，函数取得最大值，不满足题意；
当时，可函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
解得或（舍去）.
故选：C.
【方法总结】函数的最值是函数的特殊性质.函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域.函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在.
【举一反三3-1】（2021上·高一单元测试）
5．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三3-2】（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）
6．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
扩展4： 恒成立与能成立问题
例4.已知二次函数（）在区间上有最大值4，最小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【解】（1）∵，
∴函数图象的对称轴方程为.又∵，
∴依题意得即解得
∴.
（2）∵，∴.
∵在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上恒成立.
∴只需，.
令，由，得.
设，.
∵函数的图象的对称轴方程为，
∴当时，函数取得最大值33，
∴，
∴实数的取值范围为.
【方法总结】函数的恒成立与能成立问题，一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题，即恒成立，恒成立，能成立，能成立.
【举一反三4-1】（2023上·江苏南京·高一期中）
7．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三4-2】（2023上·上海·高一上海市大同中学校考期中）
8．设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ．
【举一反三2-3】（2023上·江西南昌·高一校考期中）
9．已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
扩展5： 新定义问题
例5.（浙江省台州市八校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题）用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【分析】根据定义，得到分段函数，再求的最小值即可求解.
【详解】因为，由，得或，
则，
当时，当时，单调递减，则，
综上，时，，
则恒成立，即，解得，
则的最大值是3.
故答案为：3
【方法总结】所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数.函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.
【举一反三3-1】（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）
10．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与的是“同象函数”，已知函数，则下列函数中与是“同象函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三3-2】（2023上·北京西城·高一北京育才学校校考期中）
11．设函数的定义域为，若满足：“，都存在，使得”则称函数具有性质，给出下列四个结论：
①函数具有性质；
②所有奇函数都具有性质；
③若函数和函数都具有性质，则函数也具有性质；
④若函数，具有性质，则.
其中所有正确结论的序号是 .
【举一反三3-3】（2023上·天津滨海新·高一校考期中）
12．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围.
扩展6： 实际应用中的函数最值问题
例6.（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设.
（1）将四个宣传栏的总面积表示为的表达式，并写出的范围；
（2）为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸，可使用宣传栏总面积最大？
【答案】（1）
（2）当时，宣传栏总面积最大
【分析】（1）由题意得四个宣传栏拼接后为一个矩形，其长为，宽为，再根据求出的范围，进而可得出答案；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，
由题意得四个宣传栏拼接后为一个矩形，其长为，宽为，
则，
由，解得，
所以；
（2）由（1）得，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，宣传栏总面积最大.
【方法总结】（1）解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题.要注意自变量的取值范围.
（2）实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
【举一反三5-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）
13．某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资A产品的年收益与投资额成正比，其关系如图①，投资B产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.（注:收益与投资额单位:万元）.

(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
(2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元
【举一反三5-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第二中学校考期中）
14．2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产等优质产业.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．
(1)小李承包的土地到第几年开始盈利？
(2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
（2006·上海·高考真题）
15．若集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2017·浙江·高考真题）
16．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
（2014·安徽·高考真题）
17．若函数的最小值3，则实数的值为
A．5或8 B．或5 C．或 D．或
（2011·陕西·高考真题）
18．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为
A．（1）和（20） B．（9）和（10） C．（9）和（11） D．（10）和（11）
（2017·天津·高考真题）
19．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
（2016·北京·高考真题）
20．函数的最大值为 .
（2017·浙江·高考真题）
21．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是
（2010·江苏·高考真题）
22．已知函数，则满足不等式的的范围是
（2008·湖南·高考真题）
23．已知函数．
（1）若，则的定义域是 ；
（2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
（2000·广东·高考真题）
24．设函数，其中．
(1)解不等式；
(2)证明：当时，函数在区间上是单调函数．
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参考答案：
1．AB
【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.
【详解】已知函数，
对于A、C，令，则，解得，定义域为.
，又，函数的值域为，故A正确，C错误；
对于B、D，函数定义域为，函数的对称轴为，所以在区间单调递增，在区间上单调递减，故B正确，D错误；
故选：AB.
2．AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
3．B
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4．B
【分析】设，即可判断的单调性，不等式，即为，结合函数的单调性解得即可.
【详解】设，则，且，
因为对任意的实数且，，则，
即，所以在上是增函数，
所以不等式，即为，即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
5．B
【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域
【详解】解：令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选：B．
6．D
【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围.
【详解】由，
因为在上的最小值为，
所以时，，
所以，
易知反比例型函数在单调递减.
所以在处取到的最小值为，
即 ，
所以.
故选：D
7．B
【分析】由题目条件得到分段函数在R上单调递减，需在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，为定义在R上的减函数，
则要满足，解得
故选：B.
8．
【分析】参变分离可得对任意的成立，令，则，再令，，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式对任意的成立，
所以对任意的成立，
令，则，则对成立，
令，，则在上单调递增，
所以，
所以，则的取值范围是.
故答案为：
9．A
【分析】先判定分段函数的单调性，再计算即可.
【详解】由二次函数的单调性可知，时，单调递减，
时，单调递减，且，故函数在区间上单调递减，
因此不等式等价于，即，
因此有.
故选：A
10．ACD
【分析】根据给定的定义，求出各个选项的值域即可判断得解.
【详解】对于A，的值域为，A是；
对于B，的值域为，B不是；
对于C，的值域为，C是；
对于D，的值域为，D是.
故选：ACD
11．①②④
【分析】根据函数具有性质，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.
【详解】由题知，若满足性质即：“，都存在，使得”
则的值域关于原点对称.
对于①，函数，值域为关于原点对称，显然具有性质，故正确；
对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意的都有，
则值域关于原点对称，显然具有性质，故正确；
对于③，设，，值域为，具有性质，
，，值域为，具有性质，
，，值域为，不具有性质，故错误；
对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.
又 ，时，的值域为，
则，解得，故正确.
故答案为:①②④.
12．(1)，4
(2)
【分析】（1）由不动点定义运算即可得解；
（2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可.
【详解】（1）当，时，，
令，即得，解得或，
所以函数的不动点为和.
（2）因为函数恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，
整理得，
所以，即，对恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
13．(1)，
(2)投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元
【分析】（1）设出所求解析式，根据图象把点分别代入解析式即可得解；
（2）写出收益的表达式，换元后利用二次函数求解即可.
【详解】（1）由题意，设，
，
，
（2）设投资产品万元，则投资产品为万元.
那么，总收益，
令，则，
所以当，即万元时，收益最大，万元.
答：投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元.
14．(1)第年开始盈利
(2)最大为万元
【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求得，根据题意得到李承包的土地到第年的利润为，令其大于零，解出不等式即可；
（2）求得年平均利润的函数，利用基本不等式求最大值即可.
【详解】（1）由题意得，解得，所以．
设小李承包的土地到第年的利润为万元，
则，
由，得，解得．
故小李承包的土地到第年开始盈利．
（2）设年平均利润为万元，
则，
当且仅当时，等号成立．
故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．
15．B
【分析】根据题意，结合函数的单调性依次求出集合可得到.
【详解】因为函数在上是减函数，所以，
所以，
因为函数在上是增函数，所以，
所以，
所以.
故选：B.
16．B
【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
17．D
【详解】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
18．D
【分析】根据已知，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，我们设树苗集中放置的树坑编号为，并列出此时各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，根据绝对值的性质，结合二次函数的性质即可得到使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小时，树苗放置的最佳坑位的编号．
【详解】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为，
则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
，
若取最小值，则函数也取得最小值，
由二次函数的性质可得函数的对称轴为，
又∵为正整数，∴或，
故选：.
19．A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
20．2
【分析】分离常量，由函数可得函数单调递减，然后求解函数的最大值即可.
【详解】[方法一]：分离常量法
由函数，得在单调递减，
即.
故答案为：2.
[方法二]：换元法
由函数，令，，得，
可知在是单调递减的，即.
故答案为：2.
[方法三]：反函数法
由函数，得，由，得，
从而有，即.
故答案为：2.
[方法四]：函数图像法
由函数，由在单调递增，
得在单调递减，即.
故答案为：2.
21．
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
22．
【分析】分析函数的单调性，作出函数的图象，根据可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则函数在上为增函数，
且函数在上连续，作出函数的图象如下图所示：
因为，则，解得.
因此，满足不等式的的范围是.
故答案为：.
23．
【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到的定义域；
（2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，即，故，
所以的定义域为；
（2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即，
因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则，得，故；
当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立，
所以，即，此时显然成立；
综上：或，即.
故答案为：；.
24．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知，进而得，将问题转化为，再分，两种情况讨论求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）解：，等价于，
所以，，即，其中
所以，
所以，原不等式等价于，
所以， 当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）解：当时，，
设，且，
所以
，
因为且，
所以，，，
所以，，即，
所以，当时，函数在区间上是单调递减函数.
答案第1页，共2页
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