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3.3幂函数 【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.利用幂函数的定义判断幂函数，培养数学抽象，如第1题.
2.利用幂函数的性质解题，锻炼数学运算能力，逻辑推理能力，如第2，5，8，11，12题.
3.利用幂函数的性质判断图象，培养数学抽象，如第3题.
（2023上·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）
1．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022上·重庆万州·高一校考阶段练习）
2．若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象是
A． B． C． D．
（2023上·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）
4．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
（2023上·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）
5．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重庆长寿·高一统考期末）
6．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北·高一校联考阶段练习）
7．已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．9
（2023·上海·高一专题练习）
8．已知幂函数，若，则的取值范围是 ．
（2023上·河南商丘·高一校联考期中）
9．已知幂函数的图象经过原点，则的值是 .
（2023上·山东·高一统考期中）
10．已知幂函数的定义域为，则实数 .
（2023上·天津·高一统考期中）
11．已知函数，若正数满足，则的最大值是 .
（2023上·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考期中）
12．已知函数为幂函数，且在上单调递增.
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)解关于的不等式 ，其中.
（2023上·浙江·高一校联考期中）
13．已知幂函数的图像关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)设函数，求的定义域和单调递增区间.
【易错题目】第2，5，6，8，11，12，13题
【复盘要点】幂函数的图象
当指数时，的图象是一条直线；当时，是一条不包含点的直线．除上述特例外，幂函数的图象都是曲线，如下表（，为非零整数，且，互质）：
，都是奇数
是偶数，是奇数
是奇数，是偶数
典例 （2023上·四川成都·高一统考期末）
14．若幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的值域为
【复盘训练】
（2023上·辽宁丹东·高一统考期末）
15．已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值
（2022上·贵州毕节·高一统考期末）
16．下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东青岛·高一校考期中）
17．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）
18．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为 ．
（2023上·吉林白山·高一抚松县第一中学校考阶段练习）
19．已知幂函数的图象过点，则 .
（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）
20．已知幂函数，且在上单调递增．
(1)求实数的值；
(2)求函数，的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数，
故，为幂函数，，均不为幂函数.
故选：B
2．D
【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小.
【详解】幂函数在上单调递增，值域为，
由，则，又，
所以.
故选：D
3．B
【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），，可排除C．
故选B．
4．D
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】由题意令，由于图象过点，得，，所以，得
故选：D
5．A
【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.
【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.
6．CD
【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可.
【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误；
对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误；
对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确；
对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确，
故选：CD.
7．BC
【分析】设，利用幂函数的性质知，点一定在幂函数图像上，再分别讨论过三点，过三点，过三点，即可求出结果.
【详解】设，因为，
由幂函数的性质可知的图像必定经过点,
若的图像经过三点，由，得为正奇数，
则的解析式可能为，有，此时；
若的图像经过三点，由，得，
则，有，此时；
若的图像经过三点，由，得到，，此时不在图像上，即的图像不同时经过三点，
故选：BC.
8．
【分析】根据幂函数的单调性和定义域求参数取值范围
【详解】解：幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减，
所以需满足，解得，
故答案为：．
9．3
【分析】根据幂函数的定义结合图象经过原点求解参数即可.
【详解】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
10．3
【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解得或，
当时，，定义域为；
当时，，定义域为，不满足；
所以.
故答案为：3
11．##1.5
【分析】根据题意可得为奇函数，然后再利用基本不等式，从而求解.
【详解】由题意得的定义域为R，且，
所以得：为奇函数，，且函数单调递增，
因为，所以得：，化简得：.
所以得，
当且仅当时取等号，故最大值为
故答案为：.
12．(1)3，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；
（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.
【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以；
（2）不等式0，即
当，，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为.
所以，当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为.
13．(1)
(2)定义域为，增区间为.
【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可；
（2）由（1）可得，求出定义域结合单调性定义可得解.
【详解】（1）由题，解得或，
又因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，
则为偶数，从而；
（2）由（1）得，，
由，解得或，
所以函数的定义域为，
任取，且，
，
，，且，
所以当时，有，即成立，
所以函数在上单调递增，
当时，有，即成立，
所以函数在上单调递减，
故函数的增区间为.
14．BD
【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可.
【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;
所以,又因的图象经过点,所以,所以,解得,故A错误;
因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.
故选:BD.
15．B
【分析】现根据幂函数的定义，求得，进而求解.
【详解】设，则，
所以，即，
则函数的定义域为，
且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.
故选：B.
16．D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
17．AB
【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.
【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；
B：根据幂函数定义也是幂函数，错；
C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；
D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.
故选：AB
18．##
【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，在区间上单调递增，不满足题意，
当时，在上单调递减，满足题意.
故．
故答案为：
19．0
【分析】根据幂函数的性质得到，并代入点求出，得到答案.
【详解】由题意得，解得，
故，将代入，，即，解得，
故.
故答案为：0
20．(1)
(2)
【分析】(1)直接利用幂函数的定义和在上单调递增求出.
(2)先分离常数确定函数的单调性，再求值域.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，
解得或，
又在上单调递增，
所以；
（2）
由函数的单调性可知在上是单调递增的，
所以
所以，值域为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.3幂函数 【第二课】
题型一:幂函数的判定
例1.（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是不是幂函数？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）是
（2）不是
（3）不是
（4）是
（5）不是
（6）不是
【分析】根据幂函数的定义判断．
（1）是幂函数，
（2）不是幂函数，
（3）不是幂函数；
（4）是幂函数，
（5）不是幂函数，
（6）不是幂函数，
【方法总结】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.
【变式训练1-1】（2023上·高一课时练习）
1．在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
题型二:幂函数的定义域、值域
例2. （1）函数的定义域是__________，值域是__________；
（2）函数的定义域是__________，值域是__________；
（3）函数的定义域是__________，值域是__________；
（4）函数的定义域是__________，值域是__________．
【解析】（1）函数的定义域是，值域是；
（2）函数的定义域是，值域是；
（3）函数的定义域是，值域是；
（4）函数的定义域是，值域是．
【答案】（1） （2）
（3） （4）
【方法总结】求幂函数的定义域和值域的方法
幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．
幂函数的定义域由幂指数确定：
（1）当幂指数取正整数时，定义域为，当为正偶数时，值域为；当为正奇数时，值域为．
（2）当幂指数取零或负整数时，定义域为，当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为．
（3）当幂指数取分数时，可以先化成根式，再利用根式有意义求定义域和值域．
【变式训练2-1】[甘肃永昌一中2023高一期中]
2．幂函数与幂函数（ ）
A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数
【变式训练2-2】
3．写一个定义域为，值域为的幂函数 ．
【变式训练2-3】
4．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
【变式训练2-4】（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）
5．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三: 求幂函数的解析式
例3.（2023上·四川成都·高一成都七中校考期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解.
设幂函数，将点代入得，所以.
所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则，
故函数的解析式为（）.
故选：A.
【方法总结】设幂函数，将点的坐标代入求.
【变式训练3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）
6．已知点在幂函数的图象上，则 .
【变式训练3-2】（2023上·河南·高一校联考期中）
7．已知函数为幂函数，则m的值为 ．
【变式训练3-3】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）
8．若幂函数的图像经过点，则= .
题型四: 根据幂函数的值域求参数
例5.（2023上·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 .
【答案】1，3
【分析】根据幂函数的性质分析可得.
当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件.
故答案为：1，3
【方法总结】对于幂函数y＝xα（α为实数）有以下结论：
（1）当α>0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增；
（2）当α<0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减；
（3）当α为正偶数时，幂函数y＝xα是R上的偶函数，其值域为.
（4）当α为正奇数时，幂函数y＝xα是R上的奇函数，其值域为R.
【变式训练5-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）
9．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【变式训练5-2】（2023·高一单元测试）
10．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
题型五: 幂函数的图象判断
例5.（2023上·浙江·高一校联考期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案.
的定义域为R，又，
故为偶函数，
当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.
故选：C
【方法总结】关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．
【变式训练5-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）
11．幂函数（）的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】
12．下列关于函数与的图象正确的是（　　）
A． B． C． D．
题型六: 幂函数的单调性
例6. （2023上·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的单调性逐一判断即可.
设，则，解得，
所以，则在定义域上单调递增，
因为，所以，故选项A错误；
在定义域上单调递增，
因为，所以，故选项B错误；
在定义域上单调递减，
因为，所以，
即，选项C正确；
在定义域上单调递增，
因为，所以，故选项D错误.
故选：C.
【方法总结】对于幂函数y＝xα（α为实数）有以下结论：
（1）当α>0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增；
（2）当α<0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减；
【变式训练6-1】（2023上·广西玉林·高一校联考期中）
13．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源县第一中学校考期中）
14．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
题型七: 利用幂函数的单调性比较大小
例7. （2023上·天津·高一统考期中）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解.
由题意得函数在上单调递增，
因为，所以得：，故A项正确.
故选：A.
【方法总结】1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
【变式训练7-1】（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）
15．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）
16．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法总结】利用幂函数的单调性解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题，求解步骤如下：
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意幂函数的定义域及分类讨论思想的应用．
【变式训练8-1】（2023上·新疆·高一新疆实验校考期中）
17．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型八: 利用幂函数的单调性解不等式
例8. （2023上·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性求解即可.
函数的定义域为且在上单调递减，
则由，
得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【变式训练8-2】（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）
18．已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
易错点: 忽略对底数的分类讨论而致错
例1 若，试求实数的取值范围．
【解析】，或或
解得或．故实数的取值范围为．
易错警示 利用幂函数解有关不等式时，需要依据幂函数的性质进行分类讨论．分类的依据是幂函数的定义域和单调性，且应把各种情况考虑周全，不能遗漏任何一种情况．
针对训练1-1: [湖南郴州2023高一月考]
19．若，则的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用幂函数定义直接判断作答.
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
2．B
【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.
【详解】由题知
，定义域为，单调性递增，值域为，
，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，
所以与值域相同，
故选：B
3．（答案不唯一）
【分析】根据已知条件写出一个符合题意的幂函数的解析式即可.
【详解】因为的定义域为，值域为，
所以幂函数符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
4．或，.
【解析】由幂函数的概念求解．
【详解】为函数，，解得或.
当时，，则，且有；
当时，，则，且有.
故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.
【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
5．C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
6．
【分析】将点的坐标代入计算即可求解.
【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以.
故答案为：.
7．1
【分析】根据幂函数定义求解.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得，
故答案为：1
8．##
【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式即可求.
【详解】设，则，所以，
则，所以.
故答案为：.
9．
【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
10．（1）2；（2）a＝0，b＝1．
【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值；
（2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解.
【详解】（1）为幂函数，
∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，
，
∴k＝2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，
，∴a＝0，b＝1．
【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题.
11．B
【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状.
【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增．
只有B选项符合条件.
答案：B．
12．C
【分析】根据图像确定函数解析式，然后逐一判断即可.
【详解】函数是幂函数，而是一次函数，
选项A，直线对应函数，曲线对应函数为；
选项B，直线对应函数为，曲线对应函数为；
选项C，直线对应函数为，曲线对应函数为；
选项D，直线对应函数为，曲线对应函数，故C正确.
故选：C.
13．A
【分析】根据幂函数的性质判断各项对应函数是否符合题设.
【详解】由幂函数性质知：、为偶函数，为奇函数，为非奇非偶函数，
在上递减，递增，
综上，是偶函数，在区间上单调递减.
故选：A
14．C
【分析】令，，利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：由，得，即，
解得，所以 的定义域为，
令，在上递增，在上递减，又，在上递减，
所以在上递减，
所以函数的单调递减区间为，
故选：C
15．D
【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.
【详解】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
16．C
【分析】根据函数单调性及，比较出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
17．D
【分析】先将点代入，解得，再利用幂函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，其定义域为，
所以在上单调递减，
因为，
所以为偶函数，
所以，
所以由，得，
所以，所以或，解得，或．
故的取值范围为．
故选：D．
18．(1)
(2)
【分析】（1）取，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；
故.
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
19．
【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】函数为偶函数，且当时，单调递增，
则可得，
解得或
即的取值范围是
故答案为:
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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