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3.4函数的应用（一）【第三课】
扩展1: 函数图象的应用
例1.（2023上·高一课时练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
【答案】ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
【方法总结】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【举一反三1-1】
1．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-2】
（2023上·北京朝阳·高三统考期中）
2．在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m )随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a= ;
实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入.
扩展2: 对勾函数的应用
例2. （2023上·上海闵行·高一校考期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】（1）这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）当运转3年时，这批机器的年平均利润最大
【分析】（1）配方得到最值，得到答案；
（2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1），
因为，且，所以当时，取得最大值，
故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）设年平均利润为，
因为，且，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.
【方法总结】的单调递增区间为，；单调递减区间为，.
【举一反三2-1】
（2023上·山西·高一统考期末）
3．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【举一反三2-2】
（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）
4．杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少
扩展3: 生活中的决策问题
例3.（2012·高一课时练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠一个茶杯；（2）按总价的92%付款．某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），若购买茶杯数x个，付款ｙ（元），分别建立两种优惠办法中ｙ与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠．
【答案】当购买34只茶杯时，两法付款相同．
当时，＜优惠办法（1）省钱，
当时，＜，优惠办法（2）省钱．
【详解】主要考查一次函数模型的应用．解答此类题目，注意遵循“审清题意，设出变元，列出关系，解决问题，写出结语（答）”等步骤．分别计算，加以比较．
解：由优惠办法（1）可得函数关系为且；
由优惠办法（2）可得且
且，令，得.
所以，当购买34只茶杯时，两法付款相同．
当时，＜优惠办法（1）省钱，
当时，＜，优惠办法（2）省钱．
【方法总结】生活中的决策问题，需要我们根据已知的条件,用数学知识，函数的性质得出最值，再还原成实际问题，得出解答.
【举一反三3-1】
5．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足．设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）．
(1)当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
（2023上·北京西城·高三统考期末）
6．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
（2023上·广东深圳·高三统考期末）
7．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
（2023·全国·高三对口高考）
8．2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元 5
2 500~2000元 10
3 2000~5000元 15
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43 B．2280 C．680 D．不能确定
（2023上·江苏南通·高三统考开学考试）
9．一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖 只小船.
（2023·全国·高三专题练习）
10．为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）

（2023上·四川泸州·高一校考阶段练习）
11．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．
【详解】解：由图得水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数． 据四个选项提供的信息，
当，，我们可将水“流出”设想成“流入”，
这样每当增加一个单位增量△时，
根据鱼缸形状可知，函数的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，
故关于的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题．
2．
【解析】根据函数图象当时，，即可求出，从而得到，再根据题意解不等式即可.
【详解】由题知：当时，，即，解得.
所以.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
令，解得，
所以经过小时后方可进入房间.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查函数的模型应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
3．BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
4．(1)
(2)时有最小值，最小值为.
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
5．(1)万元
(2)在甲合作社投入万元，在乙合作社投入万元，总收益最大
【分析】（1）利用收入与投入的表达式即可求解；
（2）根据题中甲合作社的收入与投入，对甲乙的投入分类讨论，分别求出总收益即可.
【详解】（1）解：当甲合作社投入为万元时，乙合作社投入为万元，
此时两个合作社的总收益为: (万元)；
（2）解：甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，
①当，则，
，
令，得，
则总收益为，
显然当时，，
即此时甲投入万元，乙投入万元时，总收益最大，最大收益为万元.
②当时，则，
，
显然在上单调递减，所以，
即此时甲、乙总收益小于万元.
，
所以该公司在甲合作社投入万元，在乙合作社投入万元，总收益最大，最大总收益为万元.
6．C
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
7．C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.
【详解】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为.
故选：C
8．A
【分析】根据已知写出税法修改前纳税额与工资的分段函数形式，根据个人所得税求出某人工资，再按新税法求税额即可.
【详解】设工资为元，
当，纳税为0元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
所以，纳税为，
而，令，可得元，
由，则按新税法只要交税元.
故选：A
9．6
【分析】设出一次函数解析式，代入对应数值求得答案，调好出每只小船的载重量，每日运货的总重量，进一步列出二次函数，利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】设每日每次拖只小船，每日来回次，每只小船的载重量为，每日的运货总重量为，
由题意设，则，解得，
所以，
所以每日运货总重量为，
所以当时，取得最大值，
即每次拖6只小船，
故答案为：6
10．
【分析】根据关于的函数关系，令，设出对应的时间为，结合韦达定理求出即可.
【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，
因为，所以，
令，可得，即，
所以，所以.
所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒.
故答案为：.
11．(1)
(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
∴．
（2）当时，，
当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值.
综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.4函数的应用（一）【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.根据实际问题判断图象，培养数形结合能力，如第2，3题.
2.利用已知模型求解相关问题，锻炼运算求解能力，如第6题.
3.根据已知条件建立数学模型，求解相关问题，培养建模能力，分类讨论思想能力，如第11题.
一、单选题
（2023·高一课时练习）
1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，的面积为S，则函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线于E，当从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为
A． B． C． D．
（2018·全国·高三竞赛）
4．一个人以匀速去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车时，交通灯由红变绿，汽车以的加速度匀加速开走，那么（ ）．
A．人可在内追上汽车 B．人可在内追上汽车
C．人追不上汽车，其间最近距离为 D．人追不上汽车，其间最近距离为7m
（2023下·江西·高三校联考阶段练习）
5．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，则（ ）
A．10 B．-10 C．2 D．-2
（2023上·湖南益阳·高一统考期末）
6．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
二、多选题
7．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
（2023·高一课时练习）
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
9．甲、乙两人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度 .甲一半路程使用的是，另一半路程使用的是；乙一半时间使用的是，另一半时间使用的是.则关于甲、乙两人从A地去B地的路程s和时间t的函数图象表示准确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
（2023·高一课时练习）
10．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 .(填序号)
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
11．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝ .
四、解答题
12．某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
（1）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元.试求和；
（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？
（2023·高一课时练习）
13．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
【易错题目】第3，5，9，11，13题
【复盘要点】1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围；二是要检验所得结果，以使结果符合实际问题的要求.
2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.　
典例:党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）；（2）当2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大利润为1600万元.
【解析】（1）由投入成本为分段函数，可得以利润也分、两种情况进行讨论即可；（2）当时，，利用二次函数求最值的思路即可，当时，利用基本不等式即可.
【详解】（1）当时，；
当时，；
所以.
（2）当时，，
当时，；
当时，.
（当且仅当即时，“＝”成立）
因为
所以，当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.
答：（1）2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为.
（2）当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元.
【点睛】本题关键点在能够读懂题意，明确利润也分、两种情况进行讨论.
【复盘训练】
14．如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·山东潍坊·高二统考期末）
15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
（2023上·广西柳州·高一统考期中）
16．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
(2023·湖北恩施期末)
17．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元.
（2023上·江苏无锡·高一无锡市市北高级中学校考期中）
18．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
（2023上·四川绵阳·高一阶段练习）
19．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.
（1） 求出关于的函数的解析式；
（2） 求的最大值，并指出相应的值．
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参考答案：
1．A
【解析】根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论．
【详解】解：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入中均成立，
故选：．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．
2．D
【分析】先求得函数的解析式，即可选出函数的图象.
【详解】依据题意，有
则函数的图象是由三段折线段构成，故排除选项ABC.
故选：D
3．C
【详解】试题分析：直线l从A到D的移动过程中，面积在增大并且面积的增大率在增加，即函数的导数为正且在变大，直线l从D到C的移动过程中，面积在增大，但面积的增大率不变，所以导数为正的常数，直线l从C到B的增大过程中，面积在增大，但面积的增大率在减小，所以导数为正但逐渐减小，综上可得函数为增函数，且函数的导数先增大后不变再减小，C项符合要求
考点：函数导数的几何意义及瞬时变化率
点评：函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率
4．D
【详解】如图，设汽车在点开始运动，此时人通过点．经过秒后，汽车到达点，有路程；
人此时追到点，有路程．
依题意两者的距离是．
可见，人不能追上汽车，他与汽车最近距离是在汽车开动后的瞬间，两者距离为．
5．A
【分析】由图可知点在曲线上，点，点在曲线上，将点代入计算可求，，的值，从而得到结果.
【详解】解：由得，其图象为x轴上方（包含x轴上的点）的两个半圆，由“爱心”图知经过点，即，．由“爱心”图知必过点与，所以，得，，从而．
故选：A．
6．D
【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.
【详解】由题意可得，
故当时，取得最大值，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，
当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.
故选：D.
7．BD
【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
8．CDE
【解析】依题意分别计算各选项的情形，判断正误.
【详解】解：在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；
在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；
在中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．AB
【分析】求出甲乙所用的时间，比较大小知甲用时大于乙用时，排除C、D，进一步分析A、B符合要求.
【详解】甲的时间为，平均速度为；
设乙所有的时间为，则，所以，乙的平均速度为，
因为，所以，所以选项C、D不正确.
选项A为甲、乙两人先使用速度，后使用速度，因为,甲在一半路程处改换速度，此处用的时间过半；乙在一半时间处改换速度，此时不超过路程的一半，故选项A符合题意.
选项B为甲、乙两人先使用速度，后使用速度，因为,甲在一半路程处改换速度，此处用的时间不过半；乙在一半时间处改换速度，此时超过路程的一半，故选项B符合题意.
故选：AB.
10．④.
【分析】此题为路程与时间的图像，速度 ，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.
【详解】对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；
对②，甲、乙的路程取值范围相同，故②错误；
对③，速度 ，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；
对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；
故答案为：④.
【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.
11．45
【分析】由题意由题可得，xy＝1800，b＝2a，y＝a＋b＋3＝3a＋3，表示出面积关于的函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1808－3x－y.
S＝1808－3x－×＝1808－(x>0)，
≤1808－2＝1808－240＝1568.
当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值.
此时y＝＝45.
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.
故答案为：45
【点睛】本题主要考查了函数在实际问题中的应用，考查了均值不等式求最值，属于中档题.
12．（1），；（2）当时，，选甲家比较合算；当时，，两家一样合算；当时，，选乙家比较合.
【分析】（1）由已知可知甲家收费与x成正比例关系，可得的解析式；再利用分段函数的表达式的求法即可求得乙家收费的解析式.
（2）由，得或，求出，然后讨论经济实惠的乒乓球俱乐部.
【详解】（1）由题设甲家每张球台每小时５元，所以，
乙家30小时以内每张球台90元，故，超过30小时的部分每张球台每小时2元，故
所以.
（2）令时，解得；令，解得，
所以：当时，，选甲家比较合算；
当时，，两家一样合算；
当时，，选乙家比较合.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）作于点，连接，根据求出，从而可写出梯形的周长y和腰长x之间的函数关系式；
（2）根据二次函数求最值即可求出梯形周长的最大值.
【详解】（1）作于点，连接，因为是半圆的直径，所以，
易知，所以，所以，
又因为，，
所以，
所以，
因为，，所以，
所以.
（2）因为，，
所以时，有最大值，且最大值为，
所以当时，梯形的周长最大，最大为.
14．B
【分析】利用水槽的形状，探究水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象．
【详解】开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h=0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至到烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢．
故选B．
15．C
【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.
【详解】对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故选:C.
16．D
【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．
【详解】因为是边长为2的等边三角形，
所以当时，设直线与交点为，
当点在中点左侧时，，，
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，
当点在中点右侧时，，
此时左侧部分面积为：，
此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，
故选：D
故选：D．

17．11710
【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值
【详解】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为，
满10000元时，，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时，，人数不足，
因为，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为（元），
故答案为：11710
18．(1)3年
(2)方案①较为合算
【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
【详解】（1）由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
19．（1），；（2）时，的最大值是10.
【详解】试题分析：（1）作、分别垂直交于，连结.
由圆的性质得 ；再由直角三角形的射影定理得；则，其定义域是；
（2）令，则，且，则；利用二次函数的图像和性质即可求得其最大值.
试题解析：
解：（1） 作、分别垂直交于，连结.
由圆的性质，是中点，设，
又在直角中，
所以其定义域是．
（2） 令，则，且，
所以，
当，即时，的最大值是10.
考点：函数的解析式和最值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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