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4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题．
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展．
【目标分析】
1．理解根式的意义，会化简根式，培养运算求解能力，如第6题．
3．理解幂的运算性质，能够灵活应用性质求解相关问题，培养运算求解能力，如第3，4，5，10，13题．
（2023上·四川雅安·高一统考期中）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若有意义，则的取值范围是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
（2023上·甘肃酒泉·高一敦煌中学校联考期中）
3．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）
4．设，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一专题练习）
5．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川成都·高一成都七中校考期中）
6．以下运算结果等于2的是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·江苏南京·高一南京市第十三中学阶段练习）
7．已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考开学考试）
8．设，，则化简为 .
9．已知，，，且，则的值为 ．
（2023·全国·高一假期作业）
10．化简： ．
（2023上·江西抚州·高一统考期中）
11．已知，，化简：．
（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）
12．（1）计算： ；
（2）已知：， 求 的值.
13．已知函数．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【易错题目】第3，5，8，9，11，13题．
【复盘要点】混淆幂的运算性质，书写不规范，出现计算错误．
典例 （2023上·河北沧州·高一校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误．
【详解】对于A，原式，A正确；
对于B，原式
，B正确；
对于C，原式，C错误；
对于D，原式，D正确．
故选：ABD．
【复盘训练】
（2023·江苏·高一专题练习）
14．等于（　　）
A．4 B． C． D．
（2023上·湖北荆州·高一荆州中学校考期中）
15．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期中）
16．若，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
（2023上·湖北荆州·高一荆州中学校考期中）
17．已知，则的值为 .
（2023上·陕西西安·高一西安中学校考期中）
18．若，则的值为 .
（2023上·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）
19．（1）求值：
（2）已知是方程的两根，且，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得，则，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
2．D
【分析】若使得式子有意义，则满足，解出不等式组即可.
【详解】若有意义，
需要满足
故选：D.
3．A
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】.
故选：A.
4．C
【分析】利用指数运算公式直接计算.
【详解】，
故选：C.
5．A
【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.
【详解】 ，即 ， ，
.
故选：A .
6．BCD
【分析】根据根式运算化简各项即可.
【详解】对于A，，不合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D，，符合题意.
故选：BCD
7．AC
【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
,,故选项D错误．
故选：AC．
8．
【分析】根据根式的性质即可求解.
【详解】由于，，所以
故答案为：
9．4
【分析】确定，，变换，计算得到答案.
【详解】， ，故，即，故，
故.
故答案为：.
10．
【详解】原式
11．
【分析】根据指数运算可得.
【详解】因为，所以，
．
因为，所以
所以
所以．
12．（1）；（2）2
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，，所以，，
所以.
13．(1)1；1
(2)1
【分析】（1）根据函数的解析式，代入求值，即得答案；
（2）根据函数的解析式，结合指数的运算，化简求值，即得答案.
【详解】（1）；
；
（2）
.
14．B
【分析】根据根式与分数指数幂的转化求解.
【详解】.
故选：B
15．C
【分析】由指数幂的运算规则化简求值.
【详解】.
故选：C
16．ABC
【分析】应用根式的运算即可.
【详解】，则，解得．
故选：ABC
17．34
【分析】根据指数幂的运算，平方即可求解.
【详解】由可得，
进而，
故答案为：34
18．14
【分析】两边平方求出答案.
【详解】，两边平方得，
即，解得.
故答案为：14
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用幂的运算性质去化简运算即可解决；
（2）利用根与系数的关系及根式的性质去求解即可解决.
【详解】（1）
（2）已知是方程的两根，则
由，
可得
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第二课】
题型一： 由根式的意义求范围
例1． 若，则实数a的取值范围为 ．
【答案】[，＋∞)．
【解析】∵，
∴2a－1≥0，∴a≥．
即实数a的取值范围是[，＋∞)．
【方法总结】对于，当n为偶数时，要注意两点：（1）只有a≥0才有意义；
（2）只要有意义，必不为负．
【变式训练1-1】
1．求使等式成立的实数a的取值范围为 ．
题型二： 根式的运算
例2． （1）化简：；
（2）已知，，，化简．
【解】（1）∵，∴．
当n为偶数时，；当n为奇数时，．
综上，
（2）∵，∴，．
当n是奇数时，原式；
当n是偶数时，原式．
综上，
【关键点拨】（1）注意偶次算术根为非负数，因而当n为偶数时，；（2）由于，所以，．
【方法总结】（1）解决根式的化简或求值问题首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值；
（2）注意对和进行区分；
（3）对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差、立方和、完全平方及完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
【变式训练2-1】
2．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B. C. D.
【变式训练2-2】 （多选）[吉林白山2023高一月考]
3．已知，且，则以下结论错误的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练2-3】 [江苏连云港四校2023高一期中联考]
4．若，，则的值为 .
题型三： 根式与分数指数幂的互化
例3．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）：
（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
【方法总结】（1）根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应：①根指数分数指数的分母；②被开方数（式）的指数分数指数的分子．
（2）当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由内向外用分数指数幂依次写出．
【变式训练3-1】 [北京人大附中2023高一月考]
5．等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】
6．化简：= ．（用分数指数幂表示）.
题型四： 有理数指数幂的运算
例4．化简或求值（式子中的字母均为正数）．
（1）；
（2）；
（3）．
【解】（1）原式．
（2）原式．
（3）．
【方法总结】指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；
（4）若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解；
（5）运算结果可化为根式形式或者保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【变式训练4-1】 [广东深圳2022高一月考]
7．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】
8．计算 .
【变式训练4-3】 [浙江浙北G2联盟2022高一期中联考]
9．已知，，化简并计算：．
【变式训练4-4】
10．计算：．
题型五： 指数幂相等问题
例5． 设a，b，c都是正数，且，求证：．
【思路分析】根据已知条件，设一个参数t，用含t的式子建立等式关系，从而找到a，b，c之间的关系．
【证明】令，则，，．
因为，所以，即，
所以．
【方法总结】对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使问题迅速得到解决．
【变式训练5-1】 [四川宜宾四中2023高一期中]
11．设，，求的值．
【变式训练5-2】
12．已知：，且，求证：．
题型六：指数幂运算中的条件求值
例6．（2023上·广东汕头·高一金山中学校考期中）若，求下列各式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）将平方化简得解；
（2）利用完全平方式结合已知得，然后利用立方差公式求解即可．
【详解】（1）因为，所以，解得；
（2）因为，所以，
因为，所以．
所以．
【方法总结】条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．解决此类问题的一般步骤是：①审题（从整体上把握已知条件和所求代数式的特点）；②化简（化简已知条件）；③求值（把条件代入求值）．
【变式训练6-1】
13．已知，且，求.
【变式训练6-2】
14．已知，则的值为 ．
易错点： 忽视偶次算术根非负
例 计算的值为______．
【解析】原式．
【答案】
易错警示 对于，其结果需要根据n的奇偶来作决定，若n为奇数，则；若n为偶数，则．
针对训练
15．已知，化简：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由成立，即可得出，解得即可.
【详解】，
要使成立，
需解得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：.
2．D
【详解】对于根式，当a为奇数时，，有意义；
当a为偶数时，，有意义；
因此，当时，无意义
故选：D
3．CD
【分析】由题意可得，即可得解.
【详解】由，且知，
所以x，y异号，所以A，B正确，C，D错误．
故选：CD．
4．1
【分析】利用根式的性质进行求解.
【详解】因为，
，
所以.
故答案为：1.
5．A
【分析】先由根式化为指数，再结合指数幂的运算性质可求出答案.
【详解】由题意，可知，
∴·.
故选：A.
6．
【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为
.
故答案为：.
7．B
【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【详解】
故选：B
8．
【解析】根据分数指数幂的运算算出答案即可.
【详解】
故答案为：
9．12
【分析】利用分数指数幂的运算法则计算
【详解】
．
10．25
【分析】利用指数幂的运算法则计算即可.
【详解】原式．
11．27
【分析】直接由指数幂的运算性质列出方程组即可求解.
【详解】因为，所以，即．
又，所以，即，
由，解得，
故的值为27．
12．见解析
【详解】试题分析：等式左边=，根据题意，可得，代入上式，整理可得右边
试题解析：由知：
则左边=
右边
考点：指数运算
13．
【分析】根据题中条件，得到，，进而可求出结果.
【详解】，，
，
.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于常考题型.
14．6
【分析】两边平方求出，再利用立方和公式求出，从而求出结果.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以
，
所以．
15．．
【分析】首先根据判断出，从而结合完全平方公式即可化简原式.
【详解】因为，所以，所以，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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