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4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.体会指数幂的实际应用，锻炼数学建模能力，如第4题；
2.能够灵活基本不等式求最值，培养逻辑推理能力，如第3题.
3.能熟练利用指数幂的性质求解相关问题，培养运算求解能力，如第8，12，13题.
一、单选题
（2023上·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期中）
1．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2023·全国·高一专题练习）
2．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）
3．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
4．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
（2023·湖北武汉·统考二模）
5．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．是有理数 B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数
（2023上·浙江温州·高一瓯海中学校考阶段练习）
6．已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023上·陕西榆林·高一校考期中）
7．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）
8．下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2023·全国·高一专题练习）
9．（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　）
A． B．﹣ C． D．
三、填空题
（2023上·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）
10．已知且，则 .
（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）
11．关于的方程的解为 ．
四、解答题
（2023上·高一课时练习）
12．求下列各式的值.
(1)若，求；
(2)已知，求的值；
(3)若，求；
(4)若，求.
（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）
13．（1）计算：；
（2）若，求的值.
【易错题目】第2，3，6，12，13题.
【复盘要点】指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
典例:（2023上·四川凉山·高一统考期中）（1）计算；
（2）已知正实数x，y满足，求的最小值．
【答案】（1）25；（2）4
【分析】（1）根据指数幂运算求解；
（2）利用基本不等式运算求解.
【详解】（1）原式；
（2）因为x，y为正实数，由基本不等式知．
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以的最小值为4．
【复盘训练】
（2023·全国·高一专题练习）
14．已知，，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
15．化简的结果等于
A． B． C． D．
（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）
16．设函数的最小值为，且，则 ．
（2023上·高一课时练习）
17．化简： ．
（2023上·四川绵阳·高一统考期中）
18．（1）计算：；
（2）关于的不等式的解集为，求的值.
（2023上·安徽滁州·高一安徽省定远中学校联考期中）
19．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据函数的三要素逐一判断即可.
【详解】的值域为，的值域为，A错误；
的定义域为，的定义域为，B错误；
的定义域为，的定义域为，C错误；
，定义域，值域，解析式都相同，是同一函数，D正确.
故选：D
2．D
【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.
【详解】解：由，
可得，即．实数的取值范围是．
故选：．
3．D
【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
4．B
【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.
【详解】依题意，，解得，当时，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B
5．C
【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
故选：C
6．D
【分析】根据二次根式的运算求解.
【详解】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
7．ACD
【分析】根据根式的化简，分数指数幂的运算性质，即可判断选项.
【详解】，，
，，其中只有B错误.
故选：ACD
8．ABD
【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
9．ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
10．##
【分析】由已知条件消去未知数即可.
【详解】由于
所以
故答案为：.
11．
【分析】由可得出，结合可求得的值.
【详解】由可得，即，
因为，可得，故.
所以，方程关于的方程的解为.
故答案为：.
12．(1)
(2)3
(3)
(4)4
【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为；
（2）原式可表示为，代入即可求出答案为3；
（3）将化简为，代入的值可计算出结果为；
（4）化简后可得原式，将的值可得结果是4.
【详解】（1）利用指数运算法则可知，
将代入可得.
（2）易知，又，
所以
（3）化简得，
将代入可得
（4）易知
又，所以
13．（1）；（2）23
【分析】（1）进行指数式运算可得；（2）将两边同时平方可得到的值，再将平方可求出的值，再用立方和公式将分解，代入、的值，即可求出的值.
【详解】（1）原式.
（2）因为，所以，得.
所以，得.
所以，
所以.
14．A
【分析】根据题意，由根式的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①中，所以有意义；
②中5为奇数，所以有意义；
③中，因此无意义；
④9为奇数，所以有意义．
故选：A．
15．C
【详解】试题分析：因为，而，所以．
考点：根式化分数指数幂．
16．
【分析】依题意利用基本不等式求得当时，最小值为，再由对数运算计算即可得.
【详解】根据题意可得，
当且仅当，即时，等号成立，此时最小值为；
因此，可得，即；
可得
故答案为：
17．
【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒
【详解】原式
故答案为：﹒
18．（1）1；（2）16.
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用给定解集求出，再利用指数运算法则计算即得.
【详解】（1）
（2）不等式化为，
依题意，是方程的两个实根，则，解得，
所以.
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用指数幂运算法则进行运算即可；（2）把两边平方得，化简表达式，代入即可求值.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由题可知，故，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第三课】
扩展1： 指数运算的实际应用
例1．（2023·河北张家口·统考二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆．截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星．已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等．若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值．
【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为．
设地球 火星运行轨道的半长轴分别为，，
则，
于是．
故选： A．
【方法总结】解决指数实际应用问题的步骤
（1）理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；
（2）运用指数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．
【举一反三1-1】
1．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ）
A．15h B．30h C．40h D．60h
【举一反三1-2】（2023上·江苏南京·高一南京市人民中学校考阶段练习）
2．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．【提示：】
A．10 B．9 C．11 D．8
扩展2： 与指数幂有关的证明问题
例2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中学校考期中） 已知，求证：．
证明：因为，所以，
所以，即，①
又因为，所以，
所以，即，②
由①②可得，，所以．
【方法总结】1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【举一反三2-1】（2021·高一课时练习）
3．设，且x，y，a均为正数，求证：.
扩展3： 与指数幂有关的最值问题
例3．（2023上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）（多选题）已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是9 D．的最小值是
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解．
【详解】，且，
对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，所以A错误；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C正确；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确．
故选：BCD．
【方法总结】基本不等式是求最值常用的方法，应注意等符号成立的条件．
【举一反三3-1】（2023上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）
4．已知，则的最小值为
【举一反三3-2】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）（多选题）
5．已知为正实数，，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
（1984·全国·高考真题）
6．如果n是正整数，那么的值（ ）
A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数
（2007·山东·高考真题）
7．设函数，则 ．
（1977·福建·高考真题）
8．计算：．
（1978·全国·高考真题）
9．化简：．
（1986·全国·高考真题）
10．1.求方程的解．
（1982·全国·高考真题）
11．已知，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.
【详解】由题意知，，所以，
所以，所以，所以.
故选：C．
2．A
【分析】根据题意，结合指数不等式与参考数据，即可求解.
【详解】由题意可设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个才能被测到碳14，
则，即，
由参考数据可知，，，
所以.
故选：A．
3．证明见解析
【分析】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论.
【详解】
，设，
则，即，
故成立.
4．32
【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
5．BCD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断AB；利用基本不等式，结合指数运算判断C；利用基本不等式“1”的妙用判断D.
【详解】为正实数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误；
，当且仅当时取等号，B正确；
，当且仅当时取等号，C正确；
，
当且仅当，即时取等号，由，得，
所以当时，取得最大值，D正确.
故选：BCD
6．B
【分析】分别讨论为奇数、偶数即可
【详解】当时，原式；
当时，原式为偶数.
故选：B
7．
【分析】利用指数的运算求解即可.
【详解】因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
8．7
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】原式
.
故答案为：7.
9．.
【分析】利用指数幂运算公式化简即可.
【详解】原式.
10．或
【分析】根据指数的运算化简即可.
【详解】由已知
所以
所以
解得或
11．
【分析】先通过条件求出，然后可求出，进而可得，则通过可得答案.
【详解】由已知，即
得，
答案第1页，共2页
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