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4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.指数型复合函数的性质，培养逻辑推理，如第5题.
2.能利用新定义求解相关问题，锻炼转化与划归能力，如第8题.
3.能够灵活应用指数函数与其他函数的性质求解恒成立问题 ，培养分类讨论思想能力，如第12题.
一、单选题
（2023上·新疆伊犁·高一校联考期中）
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023上·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）
2．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山西临汾·高一统考期中）
3．已知函数有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河南·高一济源高中校联考期中）
4．已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
（2023上·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）
5．若对，使得（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）
6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023上·河南·高一济源高中校联考期中）
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的最大值为0
C．在上单调递减 D．
（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数 B．是奇函数
C．的值域是 D．的值域是
（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于成中心对称
B．函数（且）的图象一定经过点
C．函数的图象不过第四象限，则的取值范围是
D．函数（且），，则的单调递减区间是
三、填空题
（2023上·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考期中）
10．函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ．
（2023上·河南·高一济源高中校联考期中）
11．若函数的单调递增开区间为，对，，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
（2023上·河北沧州·高一校联考阶段练习）
12．已知是R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围．
（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）
13．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数．
(1)求的对称中心；
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【易错题目】第2，4，5，7，8，12，13题.
【复盘要点】指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象、单调性和奇偶性等常考知识点，解含参指数不等式或者求等式中参数的取值范围，通常需要分离参数，转化为求有关函数的最值问题．注意数形结合思想和分类讨论思想的使用．
典例:（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A．
B．，且，恒有
C．函数在上的值域为
D．对，恒有成立的充分不必要条件是
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性的概念即可得的值，从而可判断A；根据指数函数与反比例函数的性质可判断函数在上的单调性，从而可判断B；由函数的单调性求函数值即可得函数在上的值域，从而可判断C；由函数单调性解不等式，结合含参一元不等式恒成立即可求的取值范围，从而可判断D.
函数的定义域为，又是奇函数，所以，故，故A正确；
，由于函数在上递增，函数在上递增，
所以函数上递增，则，且，恒有，故B正确；
因为在上单调递增，，又，所以函数在上的值域为，故C错误；
若对，恒有成立，则，即整理得的解集为，
当时，不等式的解集为，不符合题意
当时，要使得解集为，则有，解得，
综上，对，恒有可得，其成立的充分不必要条件是，故D正确.
故选：ABD.
【复盘训练】
（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）
14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川资阳·高一四川省资阳中学校考期中）
15．定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ）
A．0 B． C． D．
（2023上·江苏镇江·高一统考期中）
16．设函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·广东汕头·高一金山中学校考期中）
17．已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·辽宁·高一校联考期中）
18．已知函数，为常数，若有最大值，则的取值范围是 .
（2023上·山东枣庄·高一统考期中）
19．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数的性质判断即可.
【详解】由，且，得，即充分性成立.
因为，所以，由，得，则，即必要性成立，
故“”是“”的充要条件.
故选：C
2．C
【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.
【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
3．B
【分析】由有最大值结合指数函数的图像，得出当时，可取最大值，且该最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【详解】当时，的取值范围是，
故当时，可取最大值，且该最大值大于等于，
显然不合题意，
则必有，此时，解得，
故选：B．
4．C
【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值.
【详解】的定义域为，是奇函数，
所以，
即，
两边乘以得，
两边乘以得
，
不恒为，则恒为，
由得恒成立，所以，
由于且，所以.
故选：C
5．A
【分析】分与两种情况，对不等式变形后，结合函数单调性求出最值，从而得到实数的取值范围.
【详解】若（且）对任意的都成立．
①当时，，由变形得到，故，
因为指数函数在上单调递增，故要使得对任意成立，
只需，即得；
②当时，变形为，即得，
因为指数函数在上单调递减，要使得对任意成立，
只需，即，即得，
因此，结合题意可知要使得对，使得（且）恒成立，
取与的交集，可知，
故选：A．
6．D
【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.
【详解】当时，单调递增，
所以
当时，单调递增，
所以，
要使得函数值域为，
则恒成立，
令，
如图所示：

由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为，
所以若要，则，
也即函数的值域为时，
则实数的取值范围为：，
故选：D.
7．BC
【分析】根据函数的奇偶性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是偶函数，不是奇函数，
图象关于原点轴对称，不关于原点对称，所以A选项错误，
，当时，，
单调递减，C选项正确，，D选项错误.
所以当时，单调递增，
所以的最大值为，所以B选项正确，
故选：BC
8．BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
9．AD
【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B； 由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.
【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，
故函数的图象关于成中心对称，故A正确；
当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；
由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；
函数中，，又且，所以，则，
由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，
则函数的单调递减区间是，故D正确.
故选：AD.
10．
【分析】先求出定点，代入方程得到的等式，再根据基本不等式可求得答案.
【详解】由，（且），令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，即，，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
11．
【分析】根据复合函数的单调性求得，根据指数函数的单调性、一元二次不等式等知识求得的取值范围.
【详解】函数的开口向下，对称轴为直线，
函数在上单调递减，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增开区间为.
依题意，对，，
所以对，，
函数的开口向上，对称轴是直线，
当时，函数在上单调递增，
所以，
解得或.
当时，函数在时取得最小值，
所以，
解得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】求解复合函数的单调性，首先要求得复合函数的定义域，研究函数的单调性，必须在函数定义域的范围内进行研究.复合函数单调性的判断，主要根据的是“同增异减”.求解一元二次不等式在某区间上恒成立问题，可利用分类讨论的数学思想方法来进行求解.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质，列方程即可求出答案.
（2）利用复合函数与指数函数的单调性判断的单调性，从而得到二次不等式恒成立，由此得解.
【详解】（1）∵，是R上的奇函数，
∴，可得，
经检验，此时为奇函数，满足题意．
∴．
（2）∵，
∴在R上单调递增，
又为R上的奇函数，
∴由，，
∴，即恒成立，
当时，不等式为不可能对恒成立，故不合题意；
当时，要满足题意，需，解得．
实数m的取值范围为．
13．(1)
(2)
【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.
（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）假设的图象存在对称中心，
则的图象关于原点中心对称，
因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以的图象存在对称中心.
（2）函数在区间上单调递减，在区间上值域为，
由题意可知：对恒成立，
因为开口向下，对称轴为，
若，即时，则在上单调递减，
则，解得，不合题意；
若，即时，则在上单调递增，在上单调递减，
则，解得；
若，即时，则在上单调递增，
则，解得，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
14．A
【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），
所以．
故选：A．
15．C
【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案.
【详解】，故函数在上单调递增，
，故存在唯一值满足条件，
即，，
当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解，
，.
故选：C.
16．C
【分析】分、和三种情况讨论，结合指数函数的性质求解即可.
【详解】当时，，
所以恒成立，
则；
当时，，
所以恒成立，
则；
当时，，
所以，
解得，则.
综上所述，满足的实数的取值范围是.
故选：C.
17．BC
【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
不存在正数，使得成立，故函数不是“有界函数”.
对于B，，
因为，所以，
存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.
对于C，，因为，所以，
所以，所以，所以，即，
存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.
对于D，令，则，
当即时，等号成立，即，
所以，不存在正数，使得成立，
故函数不是“有界函数”.
故选：BC.
18．
【分析】画出的图象，对进行分类讨论，根据有最大值求得的取值范围.
【详解】画出的图象，如下图所示，
由解得或，
当时，；当时，.
①对于二次函数，函数的图象开口向下，对称轴，
当时，；
②对于指数型函数，当时，.
对于函数，
当时，，
当时，，
当时，没有最大值.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：

【点睛】求解含参数的分段函数的最值问题，主要是要用数形结合的数学思想以及分类讨论的数学思想方法来进行求解.要注意参数的位置，可能参数在函数的解析式上，也可能参数在函数的自变量的范围上，画出函数的图象后，通过对参数进行分类讨论来求得参数的取值范围.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，再验证即可；
（2）变换得到，设，根据均值不等式计算得到，即可得到m的范围.
【详解】（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得.
，，所以是奇函数，
故.
（2），，恒成立，得，
因为，所以，则，所以，
设，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故，
所以，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第三课】
扩展1: 指数型复合函数的性质
例1.已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
【解析】∵函数的定义域为R，且，∴函数是奇函数．
∵函数在R上是减函数，∴函数在R上是增函数．
又函数在R上是增函数，∴函数在R上是增函数．
【答案】B
【方法总结】判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性的步骤相同，先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．当定义域关于原点对称时，判断与或是否相等；若已知函数的奇偶性，也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等．
【举一反三1-1】
1．已知函数是奇函数，则 ．
【举一反三1-2】[广东深圳2022高一期末]
2．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)判断的单调性，并用定义法给予证明．
扩展2: 与指数函数有关的新定义问题
例2.（2023·安徽黄山期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.
【详解】函数，
当时，；
当时，；
当时，，
函数的值域是，故选D.
【方法总结】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
【举一反三2-1】（2023·湖北荆州联考）
3．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．
扩展3: 与指数函数有关的恒成立问题
例3.（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知函数，.
(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，问题化为在有解，应用换元法及二次函数性质求参数范围；
（2）由题设得，令，问题进一步化为对任意的恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围.
【详解】（1）∵，，
∴，即在有解，
令，所以,
当时；当趋向于0或时趋向于，即.
（2），即，
令，因为，所以为增函数，
所以，则，
所以，化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为.
【方法总结】对于不等式恒成立或存在成立问题，常常分离参数，结合函数最值求解.
【举一反三3-1】（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）
4．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是 ．
【举一反三3-2】（2023上·广西南宁·高一南宁二中校考期中）
5．已知函数，在区间上有最大值，最小值.
(1)求实数，的值；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围.
（2022·北京卷）
6．已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
（2020·山东卷）
7．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津卷）
8．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·新高考卷）
9．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国乙卷）
10．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（2023·全国甲卷）
11．已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
（2015·山东卷）
12．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
（2008·上海卷）
13．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据对任意非零实数恒成立，可求出结果.
【详解】的定义域为，
因为为奇函数，所以对任意非零实数恒成立，
所以，即.
故答案为：.
2．(1)奇函数，理由见解析
(2)是上的增函数.，证明见解析
【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；
（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1）因为的定义域是，
且当时，，
故是奇函数；
（2）变形得，
令，则，
因为在上是增函数，，
又在上是单调递增，
所以是增函数，下面用定义法证明：
任取两个实数，，且，
则，
因为，所以，所以，
又，
所以，即，
故是上的增函数.
3．AB
【分析】首先求函数，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求的取值范围.
【详解】解：因为，则，
由题意得与在区间上同增或同减．
若同增，则在区间上恒成立，即，所以．
若同减，则在区间上恒成立，即，无解，
综上，实数的取值范围是，所以A，B选项符合题意．
故选：AB．
4．
【分析】先求出的解析式，然后代入得到的解析式，应用主元法转化为关于的一次函数，然后端点处都为非负求解即可.
【详解】因为是指数函数，所以，解得或者，
又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以，
所以，
令，要使得即恒成立，
则，
所以，解得，
故答案为：
【点睛】方法点睛：熟练应用主元法可以降低运算量和思维量.
5．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可；
（2）令，由题意转为问题为成立，进而结合对勾函数的单调性求解即可；
（3）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
则，解得，.
（2）由（1）知，，
则存在，使得成立，
即存在，使得成立，
令，即成立，
即成立，则只需满足.
因为函数在上单调递增，
所以当上，，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）由题意，，
因为对任意都有，
即恒成立，
当时，显然成立；
当时，转化为恒成立，
由，则，
对于，
所以当，即时，，即；
对于，
所以当，即时，，即.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立或存在成立问题，常常分离参数，结合函数最值求解.
6．C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
7．B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
8．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
9．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
10．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
11．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
12．
【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
考点：指数函数的性质.
13．(1)；
(2)
【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解；
（2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）当时，，舍去；
当时，，即，
令，则，解得：或（舍），
所以，可得：.
（2）当时，，即，
即.
当时，，所以对于恒成立，
所以，
当，，，所以
故的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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