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4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会判断指数函数图象，培养直观想象，数学抽象，如第1，2题.
2.会利用指数函数的性质解决实际问题，锻炼数学建模能力，如第5题.
3.会灵活应用指数函数的性质求解值域、不等式等问题，培养数学运算、逻辑推理等河西素养，如第6，8，9题.
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数是指数函数，求实数的值.
3．设为实数，已知函数是奇函数，求的值.
4．已知函数，试讨论函数的单调性.
5．已知镭经过100年后剩留的质量为原来的95.76%，设质量为1g的镭经过x年后的剩留量为yg.
（1） 求100年、200年、300年后镭的剩留量(精确到0.0001g)；
（2） 写出函数y＝f(x)的解析式.
6．求函数y＝单调区间与值域.
7．设，求证：
（1）；
（2）.
8．求满足下列条件的实数x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．分别把下列各题中的3个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
10．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数的数据如下表：
x 0 1 2
3.50 4.20 5.04
（2）函数的图象如图：
11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
12．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)【易错题目】第3，4，6，11，12题.
【复盘要点】熟记指数函数的性质，特别是与指数函数有关的复合函数，需要弄清是由哪些函数复合而成.
【复盘训练】
13．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数f(x)为指数函数，且＝，则f(－2)＝ .
（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）
15．函数的单调递增区间是
16．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
17．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
18．用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的.设漂洗前衣服上的污垢量为1，写出衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原有的1%，至少要漂洗几次？
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【解析】根据指数函数的图象与性质选择．
【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C.
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点，值域是．
2．
【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】由题意可得，解得.
3．
【分析】利用奇函数的定义得出，由此可求得实数的值.
【详解】因为函数为奇函数，则，
即
，
解得.
4．是R上的增函数.
【分析】利用函数单调性的定义讨论即可.
【详解】因为，R，
设R，，则，
，所以，
故是R上的增函数.
5．（1） 0.9576（g），0.9170（g），0.8781（g）；（2）.
【分析】（1）根据条件算出即可；
（2）由题意可得.
【详解】（1） 100年后镭的剩留量为1×95.76%＝0.9576（g），200年后镭的剩留量为1×(95.76%)2≈0.9170(g)，300年后镭的剩留量为1×（95.76%）3≈0.8781(g).
（2） x年即个100年，所以经过x年后镭的剩留量为，
所以
6．增区间为，减区间为，值域为.
【分析】令t＝－x2＋2x，则y＝t，利用复合函数的单调性求解；利用换元法求函数的值域即可.
【详解】令t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈时，t单调递增；
当x∈时，t单调递减.而函数y＝t是减函数，
由复合函数的单调性知函数y＝在上单调递减，在上单调递增.
所以函数y＝的减区间为，增区间为.
又因为t≤1，所以t≥1，从而函数y＝的值域为.
7．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用指数的运算性质可直接得结果；（2）直接利用指数的运算性质可得结果.
【详解】（1）∵，
∴左边，右边，即左边右边，
所以原式得证.
（2）∵
∴左边，右边，即左边右边，
所以原式得证.
【点睛】本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于基础题.
8．（1） （2） （3） （4）
【分析】（1）转化原式为，利用指数函数在R上单调递增，即得解；
（2）转化原式为，利用指数函数在R上单调递增，即得解；
（3）转化原式为，利用指数函数在R上单调递减，即得解；
（4）转化原式为，利用指数函数在R上单调递减，即得解
【详解】（1）由题意，
由于指数函数在R上单调递增
故
即满足条件的实数x的取值范围是
（2）由题意，
由于指数函数在R上单调递增
故
即满足条件的实数x的取值范围是
（3）由题意，
由于指数函数在R上单调递减
故
即满足条件的实数x的取值范围是
（4）由题意，
由于指数函数在R上单调递减
故
即满足条件的实数x的取值范围是
9．详见解析.
【分析】利用指数函数的单调性求解,
【详解】（1）因为，，；
又因为在R上是增函数，
所以，
所以；
（2）因为，，，
所以；
（3）因为，，；
又因为在R上是减函数，
所以，
所以；
（4）因为，，，
又又因为在R上是增函数，
所以，
所以.
10．（1）；（2）．
【解析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设，再代入其中两点即可算出答案；
（2）由图象可知函数模型为指数型，设，代入两点坐标即可求出答案．
【详解】解：（1）设.
把代入得，
，解得，
为可能的解析式；
（2）设，将代入，得
，解得，
∴为一个可能的解析式．
【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．
11．（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.
【分析】（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；
（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．
【详解】解：（1）由题意知，，，
，
∴，图象如图：
（2）∵，
∴，
为偶函数，
又，
∴在上为减函数，在上为增函数．
【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．
12．（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0【分析】（1）由题意按照a>1、0（2）由题意转化条件得，按照a>1、0【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数，
由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数；
当0由于>1，所以g(x)=是R上的增函数；
（2），
当a>1时，x<0；当00.
∴当a>1时，x的取值范围是；
当0【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.
13．D
【分析】根据指数函数定义依次判断各个选项即可.
【详解】指数函数定义为：形如且的函数叫做指数函数；
对于A，不满足指数函数定义，A错误；
对于B，不满足指数函数定义，B错误；
对于C，不满足指数函数定义，C错误；
对于D，满足指数函数定义，D正确.
故选：D.
14．
【解析】设出指数函数的解析式，根据＝，求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】函数f(x)为指数函数，设f(x)＝ax（且）， 由＝，
得 ，所以a＝3，即f(x)＝3x，f(－2)＝＝.
故答案为：
【点睛】本题考查了代入法函数的解析式以及求函数值，关键是利用指数的运算性质对式子进行化简，属于基础题.
15．
【分析】根据二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调的判定方法，即可求解.
【详解】设，即，
可得函数的图象表示开口向下，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数单调递增区间为.
故答案为：.
16．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由函数的单调性比较；
（2）由函数的单调性比较；
（3）与中间值 1比较．
【详解】（1）函数在上是增函数，
.
（2）函数在上为减函数，
.
（3）.
【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．
17．
【解析】用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论．
【详解】由已知得，，，
，
，又.
【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．
18．；次
【分析】由题意列出指数函数表达式，从而得出不等式，解不等式即可求解.
【详解】由条件可知，每次存留的污垢是上一次存留污垢的，
故存留污垢y与漂洗次数x之间的函数关系式为，
若，则，
由 ，且可知，，
故至少要漂洗次.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页4.2.1指数函数的概念＋4.2.2指数函数的图象和性质【第一课】
【课标要求】
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
3.掌握指数函数的图象及简单性质.
4.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.
5.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
【明确任务】
1.会判断指数函数.【数学抽象】
2.掌握指数函数的图象性质.【直观想象】
3.能熟练应用指数函数的性质解题.【直观想象，数学运算】
1.幂函数：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2.函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
核心知识点1: 指数函数的概念
一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
解读：对于指数函数的定义应注意以下三个方面：
1．定义域为R
指数幂的概念已经由整数扩充到了实数，所以在，且的前提下，自变量x可以取任意实数．
2．规定，且，是因为
若，则恒为1，没有研究价值；
若，则时，恒为0，而当时，无意义；
当时，中m为偶数，n为奇数时，无意义，例如，，当x取，，…时，无意义；
当或，即且时，x可以是任意实数．
3．函数解析式形式要求
指数函数表达式中，需满足：①系数必须为1；②自变量出现在指数位置上；③底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；④整个式子仅有一项，例如就不是指数函数．
4.拓展 古代数学文化
例1. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中为指数函数的有______．（填正确结果的序号）
【解析】由指数函数定义的特征知，②不符合自变量出现在指数上，③不符合的系数必须为1，④不符合且，⑥不符合指数部分只是自变量x，⑦不符合底数为常数，所以正确结果的序号为①⑤⑧．
【答案】①⑤⑧
归纳总结: 在由定义判断函数是否为指数函数时，一定要注意满足指数函数解析式形式的四个要求，要思考全面，避免由于思维不缜密而出错．
【举一反三1-1】（2023·江苏·高一专题练习）
1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【举一反三1-2】（2023·全国·高一专题练习）
2．若函数，且是指数函数，则 ， ．
核心知识点2：指数函数的图象与性质
指数函数（，且）的图象与性质
底数a的范围
图象
性质 定义域 R
值域
定点
单调性 在R上单调递增 在R上单调递减
函数值的变化 当时，，当时，， 当时， 当时，，当时，， 当时，
奇偶性 非奇非偶函数
解读：（1）当底数a大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论．
（2）画指数函数（，且）的图象，应抓住三个特征点：，，．
注意 由于指数函数（，且）的图象恒过定点，因此我们讨论与指数函数有关的函数图象过定点的问题时，只需令指数位置为0，则指数式为1，解出相应的x，y，即可得定点坐标．
（3）函数（，且）与函数（，且）的关系
在同一平面直角坐标系中作出（，且）与（，且）的图象时，可以发现，两函数图象关于y轴对称．例如，函数与函数的图象关于y轴对称，如图所示．
（4）不同底数的指数函数图象间的相对位置关系
对于不同底数的指数函数，在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，则．
指数函数（，且）与（，且）的图象特点
（1）若，则当时，总有；当时，总有；当时，总有．
（2）若，则当时，总有；当时，总有；当时，总有．
例2.（2023上·山西·高一统考期中）函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
【方法总结】指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
【举一反三】（2023上·山东·高一校联考期中）
3．函数的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
核心知识点3: 指数函数的定义域与值域
1．定义域
（1）指数函数（，且）的定义域为R．
（2）（，且）的定义域与函数的定义域相同．
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同．函数的定义域为，而的定义域为R，求的定义域时，应通过复合函数的定义，由的定义域与的值域的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解．
2．值域
（1）指数函数的值域为．
（2）求形如的函数的值域时，先求的值域，然后结合函数（，且）的性质确定的值域．
（3）求形如的值域，转化为求时，的值域．
（4）有关指数函数最值问题往往结合函数单调性更易求解．
例3.（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，9)
C．(，9] D．(，27)
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）∵的定义域为，∴，即，
∴，解得，
∴的定义域为．故选A．
（2）因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.
而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，
即所求函数的值域为(，9]，故选C.
归纳总结: 函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
【举一反三】
4．求下列函数的定义域与值域：
(1)；
(2).
核心知识点4: 指数函数的单调性
当时，函数在R上单调递增；
当时，函数在R上单调递减．
解读：函数（，且）与函数的单调性之间的关系如下表：
指数函数的单调性 与指数函数有关的复合函数的单调性
当时，函数在R上单调递增 当时，若在上单调递增，则在上单调递增；若在上单调递减，则在上单调递减
当时，函数在R上单调递减 当时，若在上单调递增，则在上单调递减；若在上单调递减，则在上单调递增
例4.函数f(x)＝的单调减区间为________．
【答案】(－∞，1]
【解析】设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
归纳总结:
讨论形如的函数的单调性，首先确定函数的单调性，然后结合底数中的a是满足，还是满足来确定函数的单调性，其核心：同增异减．
与指数函数有关的不等式往往通过适当化简可变形为，利用指数函数的单调性，将其转化为（当时）或（当时）．
【举一反三】
5．判断函数的单调性．
核心知识点5: 指数函数的图象变换
已知指数函数（，且）．
1．平移变换
；
；
．
规律总结：上加下减（针对函数值y），左加右减（针对自变量x）．
2．对称变换
；
；
．
3．翻折变换
；
．
解读： 画与指数函数有关的图象的策略
（1）找特殊点，选取图象上的几个特殊点，描点、连线、画图．指数函数的图象过定点，所以画与指数函数有关的图象，一般会先选取函数图象所过的定点．
（2）图象变换．
（3）利用函数的性质：单调性、奇偶性等．
例5.利用函数的图象，作出下列各函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【解析】利用指数函数的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象．如图4.2-2所示．
归纳总结: 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法——变换作图法
对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质．利用变换作图法作图要注意：（1）选择哪个指数函数作为起始函数；（2）平移的方向及单位长度．常用的变换作图法主要有：
此外，函数的图象关于轴对称；函数的图象可由函数的图象保持在轴上及轴上方的部分不动，把轴下方的部分翻折到轴上方得到．
【举一反三】
6．已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．
（2023·江苏·高一专题练习）
7．若函数是指数函数，则（　　）
A．或 B．
C． D．且
（2023上·广东茂名·高三校考阶段练习）
8．若函数的图象经过，则（ ）
A． B． C．3 D．9
（2023·浙江省余姚市梦麟中学月考）
9．函数（，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知指数函数，且，则的取值范围是 .
（2023·湖南岳阳期中）
11．函数在区间上的值域为 .
（2023上·山西·高一统考期中）
12．函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.
【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；
②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；
④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
⑤中，底数，不是指数函数．
综上，指数函数的个数为1，
故选：B.
2．
【分析】根据指数函数的定义，指数式的系数为1，常数项为0，即可求出参数的值．
【详解】因为是指数函数，
所以，解得，
故答案为：4，4．
3．A
【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点．
【详解】因为当时，无论取何值，，
所以函数且的图象必经过定点，
故选：A.
4．(1)定义域为，值域为且
(2)定义域为，值域为
【分析】根据具体函数定义域的求法得出定义域，在根据定义域结合指数函数的值域得出答案.
【详解】（1）由，得，所以定义域为，
则，所以，
所以的值域为且．
（2）由，得，所以定义域为，
当时，，
又因为，所以，
即的值域为．
5．答案见解析
【分析】根据复合函数的单调性，即可求解.
【详解】由于函数在定义域内单调递增，
设，当时，单调递增，
因而函数在上单调递增；
当时，单调递减，
因而函数在上单调递减．
综上，函数在上单调递增；在上单调递减．
6．答案见解析；作图见解析．
【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的规律，即可求解.
【详解】解： ．作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数的图象，如图所示．
7．C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得.
故选：C.
8．B
【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.
【详解】解：因为函数的图象经过，
所以，解得 ，
所以，
则，
故选：B
9．D
【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案.
【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，
显然A，B的图象均不正确；
C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.
故选：D
10．
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
【详解】∵,∴指数为增函数，∴,
故答案为：
11．
【分析】根据指数函数性质分析求解.
【详解】因为在区间上单调递增，则，
所以函数在区间上的值域为.
故答案为：.
12．
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
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