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【第一练】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.利用对数的意义，培养数学抽象，如第1题.
2.理解对数与指数的转化关系，锻炼逻辑推理能力，如第3题.
3.能够灵活应用对数的性质求解相关问题，培养运算求解能力，如第6，7，8题.
4.能利用对数的换底公式解题，锻炼逻辑推理能力，如第9题.
1．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,且
2．已知与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
3．(多选)下列指数式与对数式的互化中正确的是（ ）
A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
4．已知，，，，则 ， ， ， ，一般地， .
5．将下列指数式改写成对数式：
（1）； （2）；（3）； （4）.
6．将下列对数式改写成指数式：
（1）； （2）；（3）.
7．求下列各式的值：
（1）； （2）.
8．求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4).
9．求的值．
10．如图，2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标？（参考数据：）
11．求下列各式中x的值：
（1）logx3＝；
（2）log64x＝－；
（3）－lne2＝x；
（4）；
（5）log5[log3(log2x)]＝0.
12．求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
13．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【易错题目】第1，6，7，8，11，12题
【复盘要点】不能熟记对数的性质和对数的运算性质，计算出错.
【复盘训练】
14．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
15．化简的结果为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
16．设，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·福建泉州·高一福建省泉州市泉港区第一中学校联考期中）
17． （其中）
18．设，则实数 ．
19．（1）求值：；
（2）已知：，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】根据对数的定义得到不等式组解得.
【详解】解：
解得，即且.
故选：
【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.
2．C
【分析】根据相反数的概念以及对数运算法则得出结果.
【详解】由已知得，即，所以.
故选：C.
3．ACD
【分析】根据指数运算和对数运算的法则，相互转化逐项判断即可.
【详解】B选项中，＝ log27＝－.
故选：ACD
4． 2 5 ##
【分析】根据求解即可.
【详解】由题意可得：； ； ； ；.
故答案为：2；5；；；.
5．（1）. （2）. （3）. （4）.
【分析】根据指对数的互化逐个改写即可
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
6．（1）； （2）. （3）.
【分析】根据指对数的互化逐个改写即可
【详解】（1）； （2）. （3）.
7．（1）13；（2）3.
【分析】（1）由，根据对数运算性质可得答案.
（2）由，根据对数运算性质可得答案.
【详解】解：（1）因为.所以；
（2）因为，所以.
8．(1)5
(2)-32
(3)2
(4)-1
【分析】根据对数运算法则计算可得答案.
【详解】（1）解：，故；
（2）解：，故；
（3）解：，故；
（4）解：，故．
9．．
【分析】运用对数的换底公式和对数的运算法则可求得答案.
【详解】解法1：．
解法2：．
解法3：.
10．19年.
【分析】假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，再根据题意列式计算即可
【详解】假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标.
根据题意，得，，
故.
所以，约经过19年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标.
11．（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.
【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.
【详解】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.
（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.
（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，
解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去；
x＝3时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意．
综上，x＝3.
（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，
所以log2x＝3，
故x＝23，即x＝8.
12．（1）；（2）
【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得；
（2）根据对数恒等式计算可得.
【详解】解：（1）
，
；
（2），.
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
13．（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天
【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.
（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.
【详解】解：（1）.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.
14．C
【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【详解】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：等价于，故A正确；
对于选项B：等价于，故B正确；
对于选项C：等价于，故C错误；
对于选项D：等价于，故D正确；
故选：C.
15．A
【分析】本题运用对数的运算直接解题即可.
【详解】解：，
故选：A.
【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.
16．B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
17．故答案为：-10.
【分析】此题考查根式指数式运算,运用指数对数运算法则进行解析.
【详解】
故答案为：-10.
18．4
【分析】结合换底公式和对数运算性质即可求解.
【详解】左边，所以，解得或（负值舍去），
故答案为：．
19．（1）2；（2）
【分析】（1）由对数运算性质可得答案；
（2）由指数幂的运算性质结合指对互化可得答案.
【详解】（1）原式
．
（2）因为，所以
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
【课标要求】
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
4.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.
5.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
【明确任务】
1.理解对数的概念.自然对数和常用对数.【数学抽象】
2.能熟练应用对数的运算性质进行运算.【数学运算】
3.能熟练应用对数的换底公式解题.【数学运算】
实数指数幂的运算性质:
① ；
② ；
③ .
指数幂运算的一般原则：①首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
核心知识点1: 对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
例如，因为，所以就是以64为底16的对数，记作．
理解 是一个整体，一个实数，不是，不能拆开．
解读：
1.规定底数，且，是因为：
当时，N取某些值时，x的值不存在，如是不存在的．
当时，
①若，则x的值不存在，如，即是不成立的；
②若，则x的值是任意正数，不是唯一的，即有无数个值．
当时，
①若，则x的值不存在，如，即是不成立的；
②若，则x的值是任意的，不是唯一的，即有无数个值．
2.规定真数，是因为：
由之前学习的指数（，且）可以知道真数．
注意 对数本身的限制条件是底数，且，解题时常因忽略此条件而出错．
例1（2023·广东省惠阳中山中学月考）在对数式中，实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意得解得且，故实数的取值范围为．
归纳总结: 要对数式有意义，底数必须大于零且不等于1，对数的真数恒为正.
【举一反三】
1．在中，实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
核心知识点2：常用对数与自然对数
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记为
自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，其中e为无理数， 简记为
解读：常用对数也称为十进对数，是由纳皮尔与布里格斯提出的，开始他们共同编制十进对数表，最后在1624年由布里格斯完成，因此又称为布里格斯对数．
自然对数在物理学、生物学等自然科学中有重要的意义．
例2（2023上·贵州贵阳·高二统考期中）若与互为相反数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质可得.
【详解】与互为相反数，
，则，
故选：C.
提醒 注意常用对数与自然对数的书写形式.
【举一反三】
2．化简：
(1)；
(2).
核心知识点3: 指数式与对数式的互化
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当，时，．
解读：在与中，x，a，N是同一个代表符号，只是有不同的名称，例如，与是等价式，两式是可以互相转化的．
表达形式 a x N 对应运算
底数 指数 幂 乘方，由a，x求N
方根 根指数 被开方数 开方，由N，x求a
底数 对数 真数 对数，由N，a求x
例3.（1）将下列指数式改写成对数式：，．
（2）将下列对数式改写成指数式：，．
【解析】
（1），．
（2），．
归纳总结: 对数式与指数式的关系如图：
【举一反三】
3．将下列指数式、对数式互化.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
核心知识点4:对数的性质
（1）负数和0没有对数．
（2）1的对数等于0，即．
因为，所以．
（3）底数的对数等于1，即．
因为，所以．
（4）对数恒等式．
因为，所以，将代入，
即得．
（5）．
因为，所以，将代入，
即得．
解读： 对数的性质不仅仅在于简化运算，更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数，如．
例4.（1）已知，那么________.
（2）的值为________.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23，∴x－＝(23)－＝＝.
（2）原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2
＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋＝－.
归纳总结:
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
(2)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
【举一反三】
（2023上·江苏盐城·高一统考期中）
4．下列式子中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
核心知识点5: 对数的运算性质
如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解读：由对数的运算性质（1）得，积的对数等于对数的和，
逆向理解：同底数相加，底数不变，真数相乘．
由（2）得，商的对数等于对数的差，
逆向理解：同底数相减，底数不变，真数相除．
由（3）得，幂的对数等于对数的倍数，
逆向理解：对数的倍数可以作为真数的指数．
注意 对数的运算性质必须在同底数时才能使用，而且必须保证每个对数都有意义．若M，N同号，则以及还成立吗？事实上是不成立的，但是是成立的．
对数运算中的常用结论：
已知，且，
（1）；
（2）；
（3）推广：（，，，…，均大于0）．
例5.（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）计算 .
【答案】
【分析】利用分数指数幂和对数运算法则计算即可.
【详解】
.
故答案为：
归纳总结: 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
【举一反三】
（2023上·福建福州·高一福州四中校考期中）
5．求值：
(1)；
(2).
核心知识点6:对数的换底公式
对数的运算，必须同底对数才能直接运算，而实际问题中往往有不同底对数的运算问题，所以引入换底公式．
换底公式：（，且；；，且）．
例如，．
解读：换底公式的本质是改变对数的底数，将不同的底数转化为相同的底数，进行化简、计算以及证明．
（1）换底公式的证明（对数的定义和指数、对数的互化）：
已知，且；；，且．
设，可化为指数式，两边同时取以c为底的对数，得．
把代入上式得．
因为，所以，则．
例6.（1）（2023·江苏省常州市期末）的值为______．
（2）（2023·江西省抚州市期末）若，且，则______．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【详解】
（1）．
（2）设（，且），
则，，，则．
归纳总结: 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
常用的对数换底公式，其中，且，且，且，m，．
①；
②；
③．
【举一反三】
6．设，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
（2023·全国·高一专题练习）
7．在中，实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．有以下四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
（2023·四川省泸县一中月考）
9．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023 辽宁省沈阳市重点高中联合体月考）
10．下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C．若,则 D．若,则
（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）
11． .
（2023上·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）
12．（1）若，，求的值；
（2）求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据对数的概念即得.
【详解】要使式子有意义，则，
解得或.
故选：B.
2．(1)4
(2)
【分析】由对数的运算法则化简求值.
【详解】（1）．
（2）．
3．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案.
【详解】（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得.
4．AD
【分析】根据指对数互化以及指对数的运算性质判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：AD.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用对数运算的性质求解即可.
【详解】（1），
（2）.
6．B
【分析】利用换底公式化简得到对数方程，求出即可.
【详解】,
，，
故选：B.
7．B
【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可.
【详解】由对数的定义可知，
解得，且，
故选：B．
8．C
【分析】根据对数的性质以及和指数式的互化，一一判断各选项，可得答案.
【详解】对于①，，正确；
对于②，，正确；
对于③，若 ，则，故错误；
对于④，若 ，则，故错误，
故选：C.
9．C
【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值．
【详解】 是方程的两个根，由韦达定理可得，
可得 ，
则
故选C．
【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题．
10．AB
【分析】根据对数的定义和运算公式计算即可.
【详解】因为,所以,故A正确;
因为,故B正确;
若,则,故C不正确;
若,则,故D不正确.
故选:AB.
11．0
【分析】根据对数的运算法则运算求解.
【详解】.
故答案为：.
12．（1）；（2）
【分析】（1）根据指对互化得出，，进而根据指数幂的运算性质，化简求值即可得出答案；
（2）根据指数幂的运算性质，以及对数的运算性质、对数恒等式，化简求值即可得出答案.
【详解】（1）由，，可得，，
所以，，
所以.
（2）
.
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