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专题03 幂的运算（考点串讲+六大类型）
一、同底数幂的乘法性质
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式．
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）．
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数．即（都是正整数）．
二、幂的乘方
（1）公式的推广： （，均为正整数）
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题．
三、积的乘方
（1）公式的推广： （为正整数）．
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便．如：
四、同底数幂的除法
（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算．
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式．
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质．
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式．
（5）底数不能为0，无意义．任何一个常数都可以看作与字母0次方的积．因此常数项也叫0次单项式．
（6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式．例如（），（）．
五、科学记数法
，
六、拓展方法：
1.同底数幂的新定义
初级：以模仿为主，难度偏低
中级：理解题意，根据学过的知识举一反三
高级：自己能创造题目，给出定义
2.同底数幂中比较大小
比较355，444，533的大小．
方法：55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解：∵，，，∴．
3.积的乘方凑整
方法：1.化为同指——
2.将凑整，再求解
4.同底数幂除法逆用
已知求的值．
方法：1.同底数幂相除，底数相同，指数相减——=96
2.把当成整体转化成一元一次方程，求解即可
5.同底数幂归纳演绎推理
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
方法：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l
【专题过关】
类型一、幂的简单运算
【解惑】
（2022秋·吉林长春·八年级校考期中）
1．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出字母、、之间的数量关系为______．
【融会贯通】
（2021秋·福建泉州·八年级统考期中）
2．若且，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．
（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·山东济南·七年级校考期中）
6．计算： ．
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）
7．（1）
（2）
（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）
8．计算：．
类型二、科学记数法
【解惑】
9．空气的密度是，用小数把它表示出来．
【融会贯通】
（2023秋·云南红河·八年级统考期末）
10．细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分．在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构．细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示应写成（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）
11．据《经济日报》报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到，主流生产线的技术水平为，中国大陆集成电路生产技术水平最高为．将用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河北保定·八年级统考期末）
12．某物质的密度a用科学记数法表示为，则数a用小数表示为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
13．某微生物的直径为，则原数为（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期末）
14．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）
15．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为克，将用科学记数法表示为 ．
（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）
16．两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 ．
类型三、积的乘方
【解惑】
（2022春·陕西西安·七年级统考期中）
17．计算：．
【融会贯通】
（2022春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）
18．已知，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
（2022春·安徽合肥·七年级统考期中）
19．已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（ ）
A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z
（2020春·浙江·七年级期中）
20．若，，则 ．
（2020秋·山东德州·八年级统考期中）
21．计算： ；若，则 ．
（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）
22．已知：，求的值；
（2022秋·内蒙古通辽·八年级统考期中）
23．计算
(1)；
(2)；
（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）
24．计算：
(1)．
(2)
(3)先化简，再求值：，其中，；
(4)已知，求的值．
类型四、同底数幂新定义
【解惑】
（2023春·七年级课时练习）
25．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
【融会贯通】
（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）
26．定义运算： ，若，则 ．
（2023春·七年级课时练习）
27．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
（2023春·七年级课时练习）
28．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵，
∴．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_______；
(2)求证：；
(3)拓展运用：计算______．
（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）
29．规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．
例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，
则，即．
(1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________．
(2)计算___________，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立．
（2022秋·广东东莞·八年级东莞市东莞中学初中部校考期中）
30．我们给出以下两个定义：
①三角形 ；②3×3的方格图
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空： =__________
(2)填空： =____________
(3)若 ，求
（2023春·七年级单元测试）
31．数学活动
在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．
运算法则如下：
．
解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)如果，求出的值；
(3)如果，请直接写出的值．
类型五、同底数幂比较大小
【解惑】
（2022秋·四川达州·八年级校考期中）
32．由幂的运算法则逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：；
(2)若，求m的值；
(3)比较大小：，，，，请确定a，b，c，d的大小关系．
【融会贯通】
（2023春·江苏·七年级校考周测）
33．比较大小： （ 填“＜”或“>”或“=”）
（2022春·山西晋城·八年级统考期末）
34．比较大小： ．（填“”“”或“”）
（2023春·七年级课时练习）
35．阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）．
(2)比较与的大小（写出具体过程）．
(3)已知，求的值．
（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）
36．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
∵，
又∵，
∴，即．
你能类似地比较下列各组数的大小吗？
(1)与；
(2)，与．
（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）
37．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．
①比较，的大小；当时，，当同底数相同时，指数越大值越大；
②比较和的大小，，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大；
根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小____________（填写>、<或=）；
(2)已知，，，试比较、、的大小．
（2023春·七年级课时练习）
38．阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小
解：因为，且，
所以，即」
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较和的大小．
解：因为，且，
所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较、、的大小：
(2)比较的大小：
(3)比较与的大小．
类型六、同底数幂归纳推理
【解惑】
（2023春·七年级课时练习）
39．（1）填空
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明理由．
（3）计算；
【融会贯通】
（2023春·七年级课时练习）
40．阅读材料：根据乘方的意义可得：；；＝，即．通过观察上面的计算过程，完成以下问题：
(1)计算：＝______；
(2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）＝　 　；
(3)用（2）的规律计算：
（2023春·七年级课时练习）
41．（1）填空：；；；…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
（3）计算
（2023春·七年级课时练习）
42．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
（2023春·浙江·七年级专题练习）
43．观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
（2023春·七年级课时练习）
44．阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125
=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．
(1)仿照上面材料的计算方法计算：．
(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；
(3)用（2）的规律计算：．
（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）
45．观察下列等式：
第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
第4个等式为：；
……
根据上述等式含有的规律，解答下列问题：
(1)第5个等式为：__________；
(2)第n个等式为：________（用含n的代数式表示），并证明．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)9
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可；
（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．
【详解】（1）解：∵=3，
∴；
（2）解：∵=3，=8，=72，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．C
【分析】逆用同底数幂的除法，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的除法的逆用．熟练掌握同底数幂的除法法则，是解题的关键．
3．C
【分析】积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是积的乘方和幂的乘方的运算法则，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的计算法则求解即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．B
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
6．
【分析】根据负指数幂运算法则直接计算即可得到答案；
【详解】解：原式，
故答案为．
【点睛】本题考查负指数幂运算：．
7．（1），（2）
【分析】（1）先计算幂的乘方、再计算乘，最后计算减法；
（2）先计算积的乘方，然后将除法转化为乘法，然后按照乘法分配律计算 ．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及合并同类项法则即可得解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方法则及合并同类项，掌握相关运算公式是关键．
9．0.001293
【分析】根据负整数指数幂进行运算即可．
【详解】解析：，
答：用小数表示为0.001293．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则．
10．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
11．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：因为，
所以
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．C
【分析】科学记数法表示绝对值大于10的数，“还原”成原数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示绝对值小于1的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
【详解】解：；
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，把一个数表示成科学记数法的形式及把用科学记数法表示的数进行还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法，熟练掌握此方法是解题关键．
13．B
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
14．C
【分析】由科学记数法的定义：“把一个数记为：的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”可知．
【详解】．
故选∶C．
【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是把一个绝对值较小的数（纯小数）用科学记数法表示时，我们要注意两点：① 必须满足： ；② 等于原数中从左至右第1个非0数字前0的个数（包括小数点前面的0）．
15．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000011用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17．
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．C
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，得到，进而得到，从而代入代数式中求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则，代数式求值，求出，，两式相乘得到是解答关键，
19．C
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键．
20．±6
【分析】先利用幂的乘方公式的逆运算，求出an=±2，bn=±3，再利用积的乘方公式，求解即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴an=±2，bn=±3，
∴=±6，
故答案是：±6
【点睛】本题主要考查幂的乘方公式和积的乘方公式，熟练掌握上述公式，是解题的关键．
21． 4
【分析】原式利用幂的乘方和积的乘方即可得到结果；根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可．
【详解】==；由，∴，
故答案为：，4．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方及同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
22．25
【分析】原式利用幂的乘方和积的乘方法则可得出，再根据幂的乘方的逆用即可求出结果．
【详解】解：∵
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方和其逆用，积的乘方，有理数的乘方运算．掌握各运算法则是解题关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案；
（2）由同底数幂乘法，幂的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．
24．(1)
(2)
(3)
(4)(或)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解；
（4）逆用幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
（3）
当，时，
原式．
（4）∵
∴．(或256)
【点睛】本题考查了幂的运算，代数式求值，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键．
25．(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；
（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；
（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.
【详解】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，
∴d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）
∴
故答案为3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．
【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键.
26．或
【分析】根据新定义得出，根据零次幂，偶数次幂进行计算即可求解．
【详解】解：，，，
∴，
解得或或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义运算，根据题意列出方程是解题的关键．
27．①②③④
【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：，①正确；
，②正确；
，③正确；
∵，
∴，
∴，④正确；
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键．
28．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）解：设，则，
∴．
∴．
∴．
（3）解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．
29．(1)2；0；3
(2),理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得；
（2）设，利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到；
（3）设：，利用新定义得到，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立．
【详解】（1）∵ ，
∴；
∵，
∴；
∵ ，
∴
故答案为：2；0；3；
（2）；
理由如下：
设，则，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）设，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数）．
30．(1)16
(2)48
(3)18
【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可；
（2）根据②中所给公式直接进行求解即可；
（3）根据题中所给公式直接代值求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
故答案为16；
（2）解：由题意得：
；
故答案为48；
（3）解：由题意得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键．
31．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义的运算法则计算即可；
（2）逆用运算法则列一元一次方程求解；
（3）分两种情况讨论：，求解可知； ，求解可得，即可获得最终答案；
【详解】（1）解：
（2）解：原等式可化为：
所以：
解得：
（3）解：当时，
解得：
当时，
解得：
所以：或
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键．
32．(1)25
(2)2
(3)
【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】（1）解：
故答案为：25；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，解得；
（3）由题可得：，，，，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．
33．＞
【分析】先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形．
34．
【分析】利用负整数指数幂，零次幂分别计算出两个式子，即可判断．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的大小比较，负整数指数幂，零次幂，熟练掌握有理数的大小比较方法是解本题的关键．
35．(1)
(2)
(3)603979776
【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答；
（2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的形式，进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）
（3）
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．
36．(1)
(2)
【分析】（1）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为指数相同的形式比较大小即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为指数相同的形式比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，即；
（2）解：∵，
又∵，
∴，即．
【点睛】本题考查幂的大小比较，读懂题中材料，灵活运用幂的乘方运算及其逆运算按材料中的方法求解是解决问题的关键．
37．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；
（2），
．
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可；
（2）根据，，，再比较底数的大小即可；
（3）根据，，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
39．（1）0， 1，2；（2）2n-2n-1=2n-1，理由见解析；（3）2101-1．
【分析】（1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据式子规律可得2n-2n-1=2n-1，然后利用提2n-1可以证明这个等式成立；
（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．
【详解】解：（1）21-20=2-1=20，22-21=4-2=21，23-22=8-4=22；
故答案为： 0， 1，2；
（2）第n个等式为：2n-2n-1=2n-1，
∵左边=2n-2n-1=2n-1（2-1）=2n-1，
右边=2n-1，
∴左边=右边，
∴2n-2n-1=2n-1；
（3）设a=20+21+22+23+…+299+2100．①
则2a=21+22+23+…+299+2100+2101②
由②-①得：a=2101-1
∴20+21+22+23+…+298+2100=2101-1．
【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2n-2n-1=2n-1成立．
40．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案；
（2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案；
（3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
，
故答案为：1；
（2）解：由题意可得，
原式，
故答案为：
（3）解：由题意可得，
原式
．
【点睛】本题考查积的乘方等于乘方的积的逆应用，解题的关键是找出规律，进行简便计算．
41．（1），，；（2）第n个等式为，说明见解析；（3）
【分析】（1）根据乘方的运算法则以及零指数幂进行运算可得结果；
（2）由（1）中式子可得规律，从而解答；
（3）由（2）中规律可得原式，进而得出答案．
【详解】解：（1），，；
故答案为：，，；
（2）由（1）可得，第n个等式为，
∵，
∴等式成立；
（3）由（2）中规律可得：
原式
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，乘方等运算法则，读懂题意得出题目中式子的变化规律是解本题的关键．
42．(1)3，6；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．
【详解】（1）解：，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵的末尾数字是6，
∴的末尾数字是4；
（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，
∴的末尾数字是5，
∴能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
43．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知直接填空即可求解；
（2）根据（1）中的规律，可得，，即可求解．
（3）根据（1）的规律，化为正指数幂的运算，进而根据积的乘方运算法则，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，有理数的的乘方运算，找到规律，掌握幂的运算是解题的关键．
44．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案．
（2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变．
（3）根据第二问的结论计算即可．
【详解】（1）解：
=1；
（2）解：原式=，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算．
45．(1)
(2). 证明见解析
【分析】（1）根据前四个等式的关系，直接写出第5个等式；
（2）第n个等式，即等式的序号是n，根据等式中被减数、减数、差的指数与序号的关系直接写出即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
第4个等式为：；
∴第5个等式为：36-35=2×35．
故答案为：36-35=2×35．
（2）解：第n个等式即等式的序号为n，根据等式中被减数的指数比等式的序号大1，减数与差的指数与序号相同，其余的数值都不变可得，
第n个等式为：3n+1-3n=2×3n．
证明：∵左边右边，
∴3n+1-3n=2×3n成立．
【点睛】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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