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专题07 二元一次方程组 解决应用（考点串讲+十大类型）
一、年龄问题
（1）两个人的年龄差是不变的；
（2）两个人的年龄是同时增加或者同时减少的
（3）两个人的年龄的倍数是发生变化的．
常用的计算公式是：
成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1）
几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄
几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年
二、古文问题
只需看译文后即可，节约时间
三、倍分问题
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量 总量＝倍数×倍量
四、几何问题
用未知数表示长与宽，用面积与周长构造等量关系
五、方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案．
六、行程问题
速度×时间＝路程．
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
七、工程问题
工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量，设工作总量为“1”．
八、利润问题
商品利润＝商品售价－商品进价
九、数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b＋a．
十、解决应用题方法与步骤
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组．
【专题过关】
类型一、年龄问题
【解惑】
（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）
1．十年前，小明爸爸的年龄是小明的倍；五年后，小明的年龄是小明爸爸的．设小明今年岁，小明爸爸今年岁，根据题意可列方程组为（　 ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
（2023春·浙江·七年级专题练习）
2．小明与哥哥的年龄和是24岁，小明对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是24岁，”如果现在小明的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·浙江·七年级专题练习）
3．小明与爸爸的年龄和是 岁，爸爸对小明说：“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，则可列二元一次方程组为： ．
（2021春·广东云浮·七年级校考期末）
4．欢欢对乐乐说“当我的年龄是你现在年龄时，你才2岁”；乐乐对欢欢说：“当我的年龄是你现在的年龄时，你将23岁”．求两人现在的年龄．设欢欢现在为x岁，乐乐现在年龄为y岁．列出的二元一次方程组是 ．（要求所列方程组保留原来的数量关系，不要化简）
（2022春·内蒙古乌海·七年级校考期中）
5．学生问老师：“你今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生（看成0岁），你到我这么大时，我已经36岁了”．则老师年龄为 岁．
（2021春·黑龙江黑河·七年级统考期末）
6．父子二人的年龄和是54岁，年龄差是26岁，若设父亲年龄为x岁，儿子年龄为y岁，则可列方程组为： ．
（2018春·江苏无锡·七年级江苏省江阴市第一中学校考期中）
7．4月15日上午8时，2018徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：女孩说：我和哥哥的年龄和是16岁．男孩说：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．若设现在哥哥的年龄为x岁，妹妹的年龄为y岁，请你根据对话内容，列出方程组为 ．
类型二、古文问题
【解惑】
（2023春·北京海淀·九年级北京市第二十二中学校联考阶段练习）
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
（2023·浙江宁波·校考一模）
9．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
（2023·甘肃陇南·统考一模）《御制数理精蕴》
10．《御制数理精蕴》一般称《数理精蕴》，于康熙六十一年（1722年）告成，全书分上下两编及附录，共45卷，是一部介绍包括西方数学知识在内的数学百科全书，这本书中曾记载了这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建福州·校考一模）
11．《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少？设上等稻子一捆为x升，下等稻子一捆为y升，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北襄阳·校考一模）
12．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺 可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西咸阳·校考三模）
13．把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为 ．
（2023·陕西西安·统考一模）
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
类型三、倍分问题
【解惑】
（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）
15．某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．求课外活动小组的人数和应分成的组数．依题意得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
（2023·浙江宁波·统考一模）
16．我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）
17．体育课上某班全体男生和女生被分成了两组，其中男生组有人，女生组有人．
(1)嘉嘉说：“若将男生组的11个男生分到女生组，则女生组的总人数是男生组剩余人数的2倍．”请根据嘉嘉的说法将表示成含的代数式，并化简；
(2)淇淇听完嘉嘉的说法后认为嘉嘉说的不正确．已知该班共有52人，请通过计算判断嘉嘉的说法是否正确．
（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）
18．为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元；买10个篮球和20个足球需要3100元．求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
（2023春·湖北鄂州·七年级校考阶段练习）
19．的两边与的两边互相平行，且比的倍少，则的度数为 ．
（2023·江西·模拟预测）
20．近年来，妇女权益得到有力保障，参加养老保险（即城镇职工养老保险和城乡居民养老保险）的妇女人数越来越多，2022年某地区参加养老保险的妇女共有165万人，比2010年增加120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，分别求2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的妇女人数．
（2023·吉林长春·校考一模）
21．九年二班计划购买A、B两种相册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种相册的单价多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同，求A、B两种相册的单价分别是多少元？
类型四、几何问题
【解惑】
（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）
22．如图，宽为的长方形图案由10个形状、大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
（2023·河北沧州·校考模拟预测）
23．在长方形中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 ；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 （填“有变化”或“不改变”）．
（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）
24．用8块相同的地板砖拼成一个大长方形，地板砖的拼放方式及相关数据如图所示，那么每块地板砖的面积为 ．
（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）
25．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为 ．
（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）
26．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置，测量数据如图所示，则升旗台的高度是 cm．
（2023春·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）
27．小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？
（2023春·浙江·七年级专题练习）
28．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的小长方形．
(1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示）
(2)求这张长方形大铁皮的面积S；（用含a、b的代数式表示）
(3)若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．
类型五、方案问题
【解惑】
（2023·黑龙江绥化·校考一模）
29．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【融会贯通】
（2023春·浙江·七年级专题练习）
30．某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
(1)甲、乙两个乐团各有多少名学生？
(2)现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
（2023春·全国·七年级专题练习）
31．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某公司有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车都装满货物．根据以上信息解答下列问题：
(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次各运多少吨？
(2)请你帮公司设计租车方案．
(3)若A型车每辆租金100元，B型车每辆租金120元，哪种方案租金最少？
（2023春·浙江·七年级专题练习）
32．随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．
(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
（2022秋·八年级单元测试）
33．某商场计划用元从厂家购进台新型电子产品，已知该厂家生产三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入，台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元台）
销售获利（元台）
(1)购买丙型设备______ 台（用含，的代数式表示）；
(2)若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了元，则商场有哪几种购进方案？
(3)在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这个最大值．
（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）
34．郑州“7．20”特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A、B两种型号的货车，分两批运往郑州，具体运输情况如表：
第一批 第二批
A型货车的辆数（单位：辆） 1 2
B型货车的辆数（单位：辆） 3 5
累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运输方案？
(3)运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆A型货车需油费500元，一辆B型货车需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？
（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）
35．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗 手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，两种口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
类型六、行程问题
【解惑】
（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）
36．甲、乙两地相距100千米，一般轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是（ ）千米/时
A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
【融会贯通】
（2023·全国·七年级专题练习）
37．甲、乙两人相距300米，若两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙，则甲、乙两人的速度是（ ）
A．55米/分，40米/分 B．55米/分，45米/分
C．50米/分，45米/分 D．50米/分，45米/分
（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）
38．小张家在小王家西边100米，他们同时从各自家里出发，前往小张家西边的博物馆．设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，如果出发10分钟后两人同时到达了博物馆，并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
（2023·广东东莞·模拟预测）
39．A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
（2022秋·全国·七年级专题练习）
40．小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈.
求：
(1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？
(2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？
(3)哥哥的速度是小明的多少倍？
(4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案）
（2023春·浙江·七年级专题练习）
41．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
（2023春·浙江·七年级专题练习）
42．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长
类型七、工程问题
【解惑】
（2022秋·全国·八年级专题练习）
43．某粮食加工厂收购玉米150吨，准备加工后销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工8吨和粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工．所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）
44．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，则有（ ）
A． B．
C． D．
（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）
45．某工程队承包了对新修建的足球场及外围跑道进行草坪和地胶的铺设工作．已知该足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，设该工程队每天可铺设x平方米的草坪或铺设y平方米地胶，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）
46．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
(1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是____________，未知数表示的是_______________；
(2)淇淇同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照她的思路解答老师的问题．
（2023春·七年级统考阶段练习）
47．已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只．
(1)在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？
(2)该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？
（2022秋·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）
48．甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？
（2022秋·河南·八年级河南省实验中学校考期中）
49．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．
(1)小明、小华两位同学提出解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，表示________，表示________；
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程）
类型八、数字问题
【解惑】
（2023春·七年级课时练习）
50．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是 （ ）．
A． B． C． D．
【融会贯通】
（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）
51．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）
52．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个两位数是 ．
（2023秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）
53．一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多36，这样的两位数的个数有 个．
（2023秋·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）
54．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组 ．
（2023春·浙江·七年级专题练习）
55．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
（2023·全国·九年级专题练习）
56．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
(1)请任意写出两个“极数”________，________；
(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
(3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是________．
类型九、利润问题
【解惑】
（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）
57．新世纪商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高．设上衣和裤子在调价前单价分别为x和y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）
58．某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）
A．230元 B．250元 C．260元 D．300元
（2023秋·广东佛山·八年级统考期末）
59．某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售价为150元/件，现商场用40000元购进这两种商品，销售完后获得总利润10000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）
60．（列方程解应用题）兔年迎春到，正值冬去春来的时节，某商场用10600元分别以每件100元和80元的价格购进衬衫和长袖T恤共120件．
(1)商场购进衬衫和长袖T恤各多少件？
(2)1月底，该商场以每件180元的价格销售了衬衫进货量的，长袖T恤在进价的基础上提价销售，因款式火爆开售当天一抢而空．2月初，正值迎春大酬宾，商场发现有5件衬衫因损坏无法销售于是免费赠送给员工，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，要使商场销售完这批购进的衬衫和长袖T恤正好达到盈利的预期目标，每件衬衫降价后的售价应是多少元？
（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）
61．为倡导环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲、乙两种型号的水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号的水杯进价为25元/个，乙种型号的水杯进价为45元/个，下表是两个月两种型号水杯销售情况：
时间 销售数量（个） 销售收入（元） （销售收入=售价×销售数量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8
第二月 38 24
求甲、乙两种型号水杯的售价．
（2023春·浙江·七年级专题练习）
62．某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
（2023春·七年级课时练习）
63．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？
类型十、三元一次方程组中的解决应用
【解惑】
（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）
64．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为 ．
【融会贯通】
（2023秋·重庆丰都·九年级统考期末）
65．春节即将到来，花店老板对玫瑰、牡丹和菊花进行混合包装，推出了甲、乙两种花束．花束的成本是花束中所有玫瑰，牡丹和菊花的成本与花束包装成本之和，每束甲种花有5枝玫瑰、1枝牡丹和2枝菊花，每束乙种花有6枝玫瑰，2枝牡丹和4枝菊花，每束甲中所有玫瑰、牡丹和菊花的成本之和是1枝玫瑰的10倍，每束乙种花束的包装成本是每束甲种花束包装成本的倍，每束乙种花束的利润率为，每束乙种花束的售价是甲种花束售价的2倍，当该店销售这两种花束的总销售额为6240元，总利润率为时，销售甲种花束的总利润是 元
（2022·北京·101中学校考模拟预测）
66．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱：B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．则B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 个．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
（2023秋·福建厦门·七年级厦门市莲花中学校考期末）
67．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．（说明：活动次数为正整数）
体育小组活动次数 科技小组活动次数 文艺小组活动次数 课外兴趣小组 活动总时间（单位：h）
1班 4 6 5 11.5
2班 4 6 4 11
3班 4 7 4 12
4班 6 13
该年级4班这个月体育小组活动次数最多是 次．
（2023春·七年级课时练习）
68．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需 元．
（2023春·全国·七年级专题练习）
69．在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
（2023春·七年级课时练习）
70．某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题中的等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设小明今年岁，小明爸爸今年岁，
根据“十年前，小明爸爸的年龄是小明的倍”可得：，
根据“五年后，小明的年龄是小明爸爸的”可得：，
∴方程组为，
故选：C．
【点睛】本题考查列二元一次方程组，找出题中的等量关系是解题的关键．
2．D
【分析】由弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据哥哥与弟弟的年龄和是24岁，哥哥与弟弟的年龄差不变得出24-y=y-x，列出方程组即可．
【详解】解：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得
．
故选：D．
【点睛】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．
3．
【分析】根据题意列方程组即可得到答案．
【详解】解：设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，依题意有
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，解题的关键是找到等量系式．
4．
【分析】根据欢欢、乐乐年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵当欢欢的年龄是乐乐现在年龄时，乐乐才2岁，
∴y﹣（x﹣y）＝2；
∵当乐乐的年龄是欢欢现在的年龄时，欢欢将23岁，
∴x+（x﹣y）＝23．
∴根据题意可列出二元一次方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．24
【分析】设老师今年x岁，学生今年y岁，不论怎么怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解．
【详解】解：设老师现在的年龄是x,学生现在的年龄是y,
由题意得，，
解得：，
故老师现在的年龄是24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意抓住年龄差不变这一不变关系．
6．
【分析】根据父子二人的年龄和是54岁，年龄差是26岁列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系建立方程组是解题的关键．
7．
【分析】设今年哥哥的年龄为x岁，妹妹的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论
【详解】解：设今年哥哥的年龄为x岁，妹妹的年龄为y岁，根据题意得．
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
8．B
【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据每人出8钱，会多出3钱可得方程，根据每人出7钱，又差4钱可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设人数为x人，物价为y钱，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．A
【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．D
【分析】根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴．
∴列出的方程组为．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．C
【分析】根据5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子，可得方程，根据7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子，可得到方程，然后列出相应的方程组即可．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，找出等量关系是解题的关键．
12．A
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，即,
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
13．1
【分析】由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
14．兽有8只，鸟有7只
【分析】设兽有只，鸟有只，根据“今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设兽有只，鸟有只，根据题意得：
，
解得，
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
15．C
【分析】根据题意，可得等量关系：每组7人分成的组数课外活动小组人数余下3人；每组8人分成的组数课外活动小组人数少的5人，即可解答．
【详解】解：根据题意，可得等量关系：每组7人分成的组数课外活动小组人数余下3人；每组8人分成的组数课外活动小组人数少的5人，
根据等量关系，可列方程：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，按照题意列出等量关系是解题的关键．
16．A
【分析】根据用999文钱可以买梨和果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．(1)
(2)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）根据“将男生组的11个男生分到女生组，则女生组的总人数是男生组剩余人数的2倍“列出方程，变形即可；
（2）结合（1）列出方程组，求出m，n的值，根据m，n为正整数判断即可．
【详解】（1）解：由题意得，
整理得；
（2）根据题意得，
解得，
因为不是整数，所以嘉嘉的说法不正确．
【点睛】本题考查列代数式，涉及二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
18．每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元
【分析】设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，根据6个篮球的价格10个足球的价格1700元，10个篮球的价格20个足球的价格3100元列出方程组，求出解即可．
【详解】解：设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元．
解得：
答：每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
19．或##或
【分析】分两种情况可得如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，然后列出方程组，即可求解．
【详解】解：如图1，，
∴，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
∴若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
∵比的倍少，
∴或
解得：或，．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此类问题结合方程的思想解决更简单．根据题意得到如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
20．参加城镇职工养老保险的妇女人数为45万人，参加城乡居民养老保险的妇女人数为120万人
【分析】设2010年参加城镇职工养老保险的人数为x万人，参加城乡居民养老保险的人数为y万人，则2022年参加城镇职工养老保险的人数为1.5x万人，参加城乡居民养老保险的人数为8y万人，由题意：2022年某地区参加养老保险的妇女共165万人，与2010年相比，增加了120万人，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设2010年参加城镇职工养老保险的妇女人数为x万人，参加城乡居民养老保险的妇女人数为y万人，则2022年参加城镇职工养老保险的妇女人数为1.5x万人，参加城乡居民养老保险的妇女人数为8y万人，由题意得：
，解得：，
(万人)，(万人)，
答：2022年参加城镇职工养老保险的妇女人数为45万人，参加城乡居民养老保险的妇女人数为120万人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．A种相册每册50元，B种相册每册40元
【分析】设A种相册每册x元，B种相册每册y元，根据“A种相册的单价比B种相册的单价多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
【详解】设A种相册每册x元，B种相册每册y元，
根据题意，得，
解得，
经检验，符合本题要求．
答：A种相册每册50元，B种相册每册40元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
22．C
【分析】设小长方形的宽为cm，长为cm，再根据题意列方程组求得x、y，最后求面积即可．
【详解】解：设小长方形的宽为cm，长为cm，
根据题意得，解得，
所以一个小长方形的面积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
23． 不改变
【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图性质小长方形的长、宽和大长方形的长、宽之间的关系，列出方程组，解方程组得出x、y的值，再用大长方形的面积减去六个小长方形的面积即可得出答案；
（2）在平移的过程中，大长方形的面积不变，小长方形的面积不变，因此阴影部分面积不变．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：
，
解得：，
∴图中阴影部分面积为：
；
无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积总是大长方形的面积减去六个长方形的面积，均为，保持不变．
故答案为：；不改变．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、平移性质，解题的关键是根据图形中大、小长方形之间的长、宽之间的关系列出方程组．
24．
【分析】设每块地转的长是，宽是，根据图中的数据，得；根据图形中大长方形的长可得方程.联立解方程组．
【详解】设每块地转的长是，宽是，
根据题意，得，
解得．
则每块地转的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，此题关键是能够结合图形发现等量关系，列方程组求解．
25．
【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长宽7，据此可以列出方程组求解．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y．
由图可知，
解得．
所以长方形的长为30，宽为21，
∴长方形的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
26．69
【分析】设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，列方程组求出x即可．
【详解】解：设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，
则，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组的应用，找到等量列方程组是解题的关键．
27．
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据图形得到每个小长方形的长和宽的两个等量关系，列出方程组，解方程组得到小长方形的长和宽，再求出小长方形的面积即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，由题意，得
，
解得：．
∴小长方形的长为，宽为，
∴小长方形的面积．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．
28．(1)，
(2)
(3)，，
【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为，宽为；
（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；
（3）根据题意列出方程，联立求值．
【详解】（1）解：这张长方形大铁皮长为厘米，宽为厘米；
故答案为：，；
（2）根据题意得：
（平方厘米）；
（3）根据题意得：，，
整理得：，，
解得：，
，，
，
则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．
29．A
【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解．
【详解】解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔，
根据题意得：，且x，y为正整数，
符合条件的整数解有：
故共有3种购买方案，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用及解得情况；解题定关键是找到一元二次方程的整数解．
30．(1)甲乐团有30人；乙乐团有45人
(2)共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；
（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．
【详解】（1）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人，
根据题意，得，解得，
答：甲乐团有30人；乙乐团有45人；
（2）解：由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13﹣a
每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，
或，
共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【点睛】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．
31．(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨；
(2)该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车7辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车4辆；
方案3：租用A型车9辆，B型车1辆；
(3)方案1：租用A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用a辆A型车，b辆B型车，根据租用的两种型号车满载货物一次可运货31吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆车的租金×租用该车型数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）设租用a辆A型车，b辆B型车，
依题意得：3a+4b=31，
∴a=．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车7辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车4辆；
方案3：租用A型车9辆，B型车1辆．
（3）租车方案1所需费用100×1+120×7=940（元）；
租车方案2所需费用100×5+120×4=980（元）；
租车方案3所需费用100×9+120×1=1020（元）．
∵940＜980＜1020，
∴方案1：租用A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
32．(1)A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元
(2)所有购买方案：购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车
【分析】（1）设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，根据“辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；
（2）设购进辆A型汽车和辆型汽车，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，
由题意知：
，
解得：，
答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元．
（2）解：设购进辆A型汽车和辆型汽车，
则，
，
均为正整数，
∴当b=5时，a=7或b=10时，a=4或b=15时，a=1，
∴所有购买方案如下：
购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
33．(1)60-x-y
(2)方案有三种，方案见解析
(3)方案三获利最大，为元，即甲型台，乙型台，丙型台
【分析】（1）根据丙型设备的台数=60-甲的台数-乙的台数即可解决问题．
（2）列出方程，求出方程的整数解即可．
（3）分别求出三种方案的利润，即可判断．
【详解】（1）购买丙型设备的台数为60-x-y．
故答案为：60-x-y．
（2）由题意得，
化简整理得：
，
当时，，；
当时，，；
当时，，．
购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型台，乙型台，丙型台；
方案二：甲型台，乙型台，丙型台；
方案三：甲型台，乙型台，丙型台．
（3）方案一的利润为元，
方案二的利润元
方案三的利润元
所以方案三获利最大，为元，即甲型台，乙型台，丙型台．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是学会求二元一次方程的整数解，搞清楚利润、销售量、售价、进价之间的关系，所以中考常考题型．
34．(1)每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资；
(2)共有3种运输方案：方案1：安排7辆型货车；方案2：安排4辆型货车，5辆型货车；方案3：安排1辆型货车，10辆型货车；
(3)运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车．
【分析】（1）设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设应安排辆型货车，辆型货车，利用运输物资的吨数每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量每辆型货车满载物资的吨数安排型货车的数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各运输方案；
（3）利用选择各方案所需油费每辆型货车所需油费安排型货车的数量每辆型货车所需油费安排型货车的数量，可求出选择各方案所需油费，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆型货车满载能运吨生活物资，每辆型货车满载能运吨生活物资，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型货车满载能运10吨生活物资，每辆型货车满载能运6吨生活物资．
（2）解：设应安排辆型货车，辆型货车，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种运输方案，
方案1：安排7辆型货车；
方案2：安排4辆型货车，5辆型货车；
方案3：安排1辆型货车，10辆型货车．
（3）解：选择方案1所需油费（元）；
选择方案2所需油费（元）；
选择方案3所需油费（元）．
，
运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆型货车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需油费．
35．(1)医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元
(2)有3种购买方案：
①购买口罩个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；
②购买口罩个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；
③购买口罩个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．
【分析】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶，根据题意列二元一次方程组，利用加减法解方程组即可；
（2）设购买口罩a个，且，为正整数），购买洗手液瓶，则买医用口罩个，根据总费用5400元，列二元一次方程，再结合都为正整数分类讨论解题．
【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶，根据题意得
，
整理得：，解得，
答：医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元．
（2）设购买口罩a个,且，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个，根据题意得
，
整理得：，
即有，
∵都为正整数，，
∴，，，
即有3种购买方案
答：有3种购买方案：
①购买口罩个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；
②购买口罩个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；
③购买口罩个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．B
【分析】设船在静水中的速度为，水流速度为，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
即这艘轮船在静水中的速度是千米/时，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系，建立方程组是解题的关键．
37．B
【分析】设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，根据“两人同时相向而行，则需3分钟相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙”列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是x米/分，y米/分，
由题意得：，
解得：，
∴甲、乙两人的速度分别是55米/分，45米/分，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
38．A
【分析】设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，出发10分钟后两人同时到达了博物馆，可列方程，小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，可列方程，由此即可得到答案．
【详解】解：设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，
由题意得， ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
39．(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米
(2)出发后小时或小时两人相距1千米
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（小时），
相遇后：（小时）．
故在他们出发后小时或小时两人相距1千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
40．(1)（米）；
(2)小明的速度为3米秒；
(3)哥哥速度是小明速度的2倍；
(4)
【分析】（1）根据总长度＝（哥哥的速度＋小明的速度）×时间，求解即可；
（2）根据条件列出等量关系：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道的周长，列方程求解即可；
（3）等量关系为：他们沿相反方向出发：哥哥所跑路程＋小所跑路程＝环形跑道周长；同向时：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道周长，据此列出方程组求解；
（4）由（3）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为1:2，可知在时间相同时，他们所行的路程也为2:1．如果设小明跑了x，那么哥哥跑了2x圈，根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可．
【详解】（1）解：（米；
（2）设小明的速度为米秒，
由题意得，，
解得：，
答：小明的速度为3米秒；
（3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为米.
由题意得，，
整理得，，
即.
答：哥哥速度是小明速度的2倍；
（4）设小明跑了圈，那么哥哥跑了圈.
根据题意，得，
解得，.
故经过了25分钟小明跑了20圈
【点睛】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
41．(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
42．乙的速度为150米分，甲的速度为375米分，环形场地的周长为900米．
【分析】由“4分钟后两人首次相遇”，可知跑步4分钟后，甲比乙多跑一圈，即可得到相等关系；设乙的速度为x米/分，则甲的速度是2.5x米/分，根据等量关系列出方程进行求解，即可得到乙和甲的速度；然后由乙跑了4分钟之后还差300米便可跑完一整圈，即可求出场地的周长.
【详解】设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min.
由题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300.
解得x＝150.
所以2.5x＝2.5×150＝375，
4x＋300＝4×150＋300＝900.
答：乙的速度为150米分，甲的速度为375米分，环形场地的周长为900米．
43．D
【分析】根据加工厂收购玉米150吨，计划用15天完成加工任务，列出方程组即可．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．
44．C
【分析】设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合生产的乙种玩具的零件总数是甲种玩具零件总数的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设生产甲种玩具零件x天，生产乙种玩具零件y天，
依题意，得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
45．B
【分析】根据足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
46．(1)甲工程队共修建的米数；乙工程队共修建的米数
(2)甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天
【分析】（1）根据嘉嘉同学所列方程组，可得出未知数、表示的意义；
（2）根据甲、乙工程队共用18天完成修建任务，可得、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）根据所列方程组可得，
未知数表示的是甲工程队共修建的米数，
未知数表示的是乙工程队共修建的米数；
（2）根据题意得：，
解得：，
所以甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，准确列出二元一次方程组是解题的关键．
47．(1)甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只；
(2)提升产能后，该厂家的日产量增加了万只．
【分析】（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，根据“每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，
由题意得：，
解得：，
答：甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只；
（2）解：设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，
由题意得：，
解得：，
答：提升产能后，该厂家的日产量增加了万只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据已知得出正确方程组或方程是解决本题的关键．
48．甲、丙合作完成这项工作需要天
【分析】设甲的效率为，丙的效率为，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设甲的效率为，丙的效率为，
∵甲、乙合作完成这项工作需要8天，
∴甲、乙的工作效率之和为，
则乙的效率为
∵甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的，
∴甲的效率的3倍等于乙和丙的效率，
乙的效率的4倍等于甲和丙的效率，
∴，
解得：
∴甲、丙的效率和为，
∴甲、丙合作完成这项工作需要天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
49．(1)180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；
(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米
【分析】（1）根据所列式子可知，小明同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用时的天数；据此补全方程组即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可解决问题．
【详解】（1）解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
根据题意得，
小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用时的天数；
得，
故答案为：180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数, ；
（2）解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，
由题意得：，
整理得：，
得：，
把代入得：，
方程组的解为，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
50．D
【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，
得，
解得，
∴原数是，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，能正确表示出新数和原数以及方程组是解答的关键．
51． 1001 8778
【分析】①根据“交替数”的概念结合求最小时让千位、百位、十位、个位上的数字尽可能小进行判断即可；②根据题意列出方程，利用“交替数”概念以及平方差公式进行变形得到二元一次方程组，然后根据求最大的“交替数”的要求进行计算即可．
【详解】解：①∵是四位正整数，
∴
最小为1
当时，
∴是“交替数”且最小，
∴最小的“交替数”是1001
②解;设
由题意得：（为正整数）
，
或
解得：或
（为正整数）
或或
∴的最大值为8778
【点睛】本题主要考查新定义的理解以及运用和平方差公式，二元一次方程组的求解，熟练掌握平方差公式变形以及二元一次方程组的解法，对新定义的概念的充分理解是解决本题的关键．
52．36
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
53．5
【分析】设十位数字为，个位数字为，根据“把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多36”，可得出关于，的二元一次方程，把相关数值代入求小于10的自然数解即可．
【详解】解：设十位数字为，个位数字为，
根据题意得：，即，
∴．
又∵，，且，均为整数，
∴或或或或，
∴这样的两位数有5个．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
54．
【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字，十位数字+个位数字个位数字+十位数字，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，
根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数．
55．(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
(3)第二次拼成的两位数是54
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
56．(1)1287，2376
(2)任意一个“极数”都是99的倍数，理由见解析
(3)1188或2673或4752或7425
【分析】（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
（2）由“极数”的定义可得出，进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；
（3）由（2）可得出，由为完全平方数，可得出，，，，解之可得出，的值，进而可得出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：由“极数”的定义得，1287，2376，
故答案为1287，2376；
（2）解：任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为，，且、为整数），
则，
，，且、为整数，
是整数，
任意一个“极数”都是99的倍数．
（3）解：设四位数为，，且、为整数），
四位数为“极数”， ，
．
是完全平方数，，，且、为整数，
，，，，
或或或，
可以为1188或2673或4752或7425．
【点睛】本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出；（3）根据是完全平方数，找出的值．
57．C
【分析】根据“上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高”列方程组即可．
【详解】解：设上衣和裤子在调价前单价分别为和元，根据题意可列方程组为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组．
58．C
【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到结果．
【详解】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：，
解得：，
则该商品的原售价为300元．
该商品的成本为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
59．该商场购进甲种商品200件，乙种商品160件
【分析】设购进甲种商品件，乙种商品件，根据甲种商品总价乙种商品总价元，甲种商品获利乙种商品获利元，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设购进甲种商品件，乙种商品件，
解得：，
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品160件．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组．
60．(1)商场购进衬衫50件，长袖T恤70件
(2)107元
【分析】（1）设商场购进衬衫a件，长袖T恤b件，根据“用10600元分别以每件100元和80元的价格购进衬衫和长袖T恤共120件”列出方程组，即可求解；
（2）设每件衬衫降价后的售价应是m元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解∶设商场购进衬衫a件，长袖T恤b件，根据题意得：
，
解得：，
答：商场购进衬衫50件，长袖T恤70件；
（2）解：设每件衬衫降价后的售价应是m元，根据题意得：
解得：，
答：每件衬衫降价后的售价应是107元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键足：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
61．甲种型号水杯的销售单价为30元，乙种型号水杯的单价为55元
【分析】设甲种型号水杯的销售单价为x元，乙种型号水杯的销售单价为y元，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲种型号水杯的销售单价为x元，乙种型号水杯的销售单价为y元
由题可知：
解方程组得
答：甲种型号水杯的销售单价为30元，乙种型号水杯的单价为55元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程是解题关键．
62．(1)学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
(2)这次义卖活动共获得元利润
【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；
（2）(元)．
答：该校这次义卖活动共获得元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
63．(1)40，30
(2)购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【分析】（1）设甲商品的进价为x，根据题意列出方程即可求出甲商品的进价；根据利润=售价-进价，即可求出每件乙种商品所赚利润；
（2）根据题意，列出方程组，求解即可；
（3）根据题意，分两种情况进行讨论：当商品原价超过450元，但不超过600元时；当商品原价超过600元时．
【详解】（1）解：设甲商品的进价为x，
，
解得：，
每件乙种商品所赚利润：（元），
故答案为：40，30；
（2）设购进甲商品a件，购进乙商品b件，
，解得：，
∴购进甲商品50件，购进乙商品12件，
（元），
答：购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
（3）设购买乙商品y件，
当商品原价超过450元，但不超过600元时：，
解得：；
当商品原价超过600元时：，
解得：；
答：小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式，根据题意找出等量关系，列出方程和方程组求解．
64．572
【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；
【详解】解：由题意可得：
，解得：
所以大长方形的长和宽分别为：
所以大长方形的面积为．
故答案为572．
【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关键．
65．640
【分析】设玫瑰的成本单价为元，则牡丹的成本单价为元，菊花的成本单价为元，根据题意得每束甲种花束的鲜花成本，得到，每束乙种花束的鲜花成本是：，求出每束乙种花束的包装成本和鲜花成本都是每束甲种花束包装成本和和鲜花成本的倍，设每束甲种花束的成本为m元，求出两种花束的成本和售价，设该店销售甲花束束，销售乙花束束，根据根据总利润率为得到方程，化简得，再根据该店销售这两种花束的总销售额为6240元，得到，从而求出结果．
【详解】解：设玫瑰的成本单价为元，则牡丹的成本单价为元，菊花的成本单价为元，
根据题意得：每束甲种花束的鲜花成本是，化简得：，
每束乙种花束的鲜花成本是：，
∵，
∴每束乙种花束的鲜花成本是每束甲种花束的鲜花成本的倍，
∵每束乙种花束的包装成本是每束甲种花束包装成本的倍，
∴设每束甲种花束的成本为m元，则每束乙种花束的成本为元，
∴乙每束的售价为：，
∵每束乙种花束的售价是甲种花束售价的2倍，
∴甲每束的售价为：，
设该店销售甲花束束，销售乙花束束，
根据总利润率为得，，
化简得：，
根据该店销售这两种花束的总销售额为6240元，
∴，
∴，
化简得：，
∴销售甲种花束的总利润是：元，
故答案为：640．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的综合应用，解题关键是整体思想．
66． 10 155
【分析】根据蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱可知B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱总数量，再根据B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，可求B盒中多接口优盘数量．再根据B盒中蓝牙耳机和迷你音响数量比为，可求出B盒中蓝牙耳机和迷你音响的数量．然后设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x，y，z元，根据A盒成本145元，B盒成本245元，列方程，进而可求C盒成本．
【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量（个）．
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，
∴B盒中多接口优盘数量(个)，
蓝牙耳机的数量(个)，
迷你音响数量(个)，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x，y，z元，
由题得：，
得：，
∴C盒的成本为155元．
故答案为：10；155．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量，并根据题意列方程组．
67．8
【分析】设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，根据1、2、3班每班活动总时间列方程组求解即可；设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，根据4班总活动时间列方程求得方程的正整数解即可；
【详解】解：设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，则
得：，
代入①得：，
得：，
，，
∴体育小组每次活动时间为0.75小时，科技小组每次活动时间为1小时，文艺小组每次活动时间为0.5小时；
设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，则
，
，
1.5m+n=14，
∵m，n为正整数，
∴，或，或，或，；
m最大值为8次，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三元一次方程的实际应用，二元一次方程的正整数解，利用加减消元法解方程是解题关键．
68．##
【分析】根据题意，设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，由购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，则
，
①②得，
现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需元，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程，根据问题灵活求解是解决问题的关键．
69．(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
70．(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．
【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：，
解得：．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：，
解得：．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当时，把48元恰好用完；
②当时，把48元恰好用完；
③当时，把48元恰好用完；
④当时，把48元恰好用完；
⑤当时，把48元恰好用完；
⑥当时，把48元恰好用完；
⑦当时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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