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19.2.3 一次函数与方程、不等式
八年级下
人教版
1. 认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、 二元一次方程组之间的联系；
2. 会根据一次函数图象求解方程(组)和不等式的解 (解集) ；
学习目标
重点
难点
新课引入
方程、 不等式与函数之间有着密切的联系.本节课我们就从函数的角度看解一元一次方程、一元一次不等式、 二元一次方程组.
下面3个方程有什么共同点和不同点？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1.
新知学习
一 一次函数与一元一次方程的关系
思考1
共同点：等号左边都是 2x+1.
不同点：等号右边不同，分别是3、0、-1.
2x + 1 = 3 的解
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数 y = 2x +1的函数值分别为 3、0、-1 时，求自变量x 的值.
或者说，在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少.
归纳
ax + b =0 (k≠ 0) 解得：x=
数：（方程的解）
形：（直线与x轴交点横坐标）
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b=0 (a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值为0时，求自变量 x 的值.
y = ax + b
利用一次函数的图象解一元一次方程ax+b=0的步骤：
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数.
（2）画图象：画出一次函数的图象.
（3）找交点：找出一次函数图象与 x 轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
归纳
分析：∵ 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为(-3,0)，
∴ 当 x=-3 时，一次函数 y=kx+b 的函数值为0，
∴ x=-3 为kx+b=0 的解.
x=-3
例1 已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为(-3,0)，则一元一次方程 kx+b=0 的解为 .
下面3个不等式有什么共同点和不同点？
(1) 3x + 2 > 2； (2) 3x + 2 < 0； (3) 3x + 2 < -1.
思考2
二 一次函数与一元一次不等式的关系
共同点：不等号左边都是 3x + 2 .
不同点：不等号及不等号右边不同.
y = 2
y = -1
你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？
从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1 时，求自变量x 的取值范围.
或者说，在直线 y=3x + 2 上取纵坐标分别满足大于2，小于0，小于-1 的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
归纳
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b>0 或ax＋b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值大于0或小于0时，求自变量 x 的取值范围.
y = ax + b
x 的取
值范围
x 的取
值范围
利用一次函数的图象解一元一次不等式ax+b>0或ax＋b<0(a≠0)的步骤：
（1）转化：将一元一次不等式变形为ax+b>0或ax＋b<0的形式.
（2）画图象：画出一次函数y=ax＋b的图象.
（3）找交点：找出一次函数图象与 x 轴的交点，根据不等式大于0或小于0求自变量 x 的取值范围.
归纳
例2 根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
（1）一元一次不等式-x+3>0 的解集为： .
x<3
y
x
O
3
3
y=-x+3
（2）一元一次不等式-x+3<0 的解集为： .
x>3
问题：1 号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升. 与此同时，2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升. 两个气球都上升了 1 h.
三 一次函数与二元一次方程(组)
分析：气球上升时间满足0≤x≤60.
对于1 号气球，y关于x的函数解析式为
y = x + 5；
对于2号气球，y关于x的函数解析式为
y = 0.5x + 15 .
(1) 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y (单位：m) 关于上升时间x (单位：min) 的函数关系.
(2) 在某个时刻两个气球能否位于同一个高度？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？
分析：在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0 ≤ x≤60) ，函数y= x+5和y=0.5x+15有相同的值y .如能求出这个x和y，则问题得到解决.
由此容易想到解二元一次方程组.
y=x +5，
y=0.5x+15，
x-y=-5 ，
0.5x-y=-15 ，
解得
x=20 ，
y=25.
这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
即
(2) 在某个时刻两个气球能否位于同一个高度？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？
我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答.如图，在同一直角坐标系中，
画出一次函数y=x +5和y=0.5x+15的图象，这
两直线的交点坐标为(20 , 25)，这也说明当上升 20 min 时，两气球都位于海拔 25 m 的高度.
归纳
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx＋b (k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．
这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.
y = kx + b
(x,y)是二元一次
方程y=kx＋b的解
由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．
归纳
y
x
O
P(x1, y1)
y=k1x +b1
y=k2x+b2
(x,y)是二元一次
方程组的解
数：（二元一次方程组方程的解）
形：（两条直线交点的坐标）
k1x +b1=0 (k1≠ 0) 解得： x=x1
k2x+b2=0 (k2≠ 0)
y=y1
利用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤：
归纳
（1）转化：把方程组化为一次函数 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2.
（2）画图象：画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标，则交点坐标即二元一次方程组的解.
所以交点坐标是（2，1）.
x+y=3，
2x+y=5，
x=2，
y=1.
解法1：将直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 转化为一个二元一次方程组，即
例3 求直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 的交点坐标.
解得
解法2：在同一平面直角坐标系中分别画出直线 y=-x+3和直线 y=-2x+5 的图象.
由图象可知交点坐标是（2，1）.
y
x
O
y=-x+3
y=-2x+5
（2，1）
5
3
3
1
2
随堂练习
1.利用函数方法解方程 6x-3 = 2x+5.
解：将方程 6x-3 = 2x+5 变形为 4x-8=0，
画出函数 y=4x-8 的图象.
由图象可知，直线 y=4x-8与 x 轴的交点为（2，0）
即 x=2 是方程的解.
y
x
O
2
（1）一元一次不等式 x+1>0 的解集为： .
（2）一元一次不等式 x+1<0 的解集为： .
x>-2
x<-2
y
x
O
1
-2
y=x+1
2.根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
3.利用一次函数的图象解二元一次方程组
y-2x-1=0，
y-x+1=0.
解：将方程组化为一次函数 y=2x+1与 y=x-1.如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y=2x+1 与 y=x-1 的图象.
它们的交点坐标为（-2，-3），
所以二元一次方程组的解
为 .
x=-2
y=-3
一次函数与
一元一次方程
一次函数
与方程、
不等式
①转化；②画图象；③找交点.
一次函数与
一元一次不等式
①转化；②画图象；③找交点.
①转化；②画图象；③找交点.
课堂小结
一次函数与
二元一次方程(组)

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