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17.1勾股定理(三)
[课时目标]
1. 能利用勾股定理作长为(n为大于1 的整数)的线段.能在数轴上表示任意一个无理数.(重点)
2. 能利用勾股定理解决展开图中的最短距离问题.(难点)
[知识梳理]
1. 在数轴上表示无理数 (c>0)的步骤:(如图①所示)
(1) 把c转化为两个正整数a、b的平方和，即、
(2) 以O为圆心，在数轴上截取OA=a;
(3) 过点A 作数轴的垂线AM,在AM上截取AB=b;
(4) 连接OB,根据勾股定理
(5) 以O为圆心，以OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，该点表示的数就是无理数 .
注：以O为圆心，以OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于一点，该点表示的数是无理数- .
2. 利用勾股定理解决“最短路径”问题的基本思路：将原来的立体图形展开成平面图形(一个或者多个)，运用“两点之间线段最短”和“勾股定理”在直角三角形中求出最短路径.
3. 如图②，在长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，两个最远顶点之间的距离为 ；如图③，在棱长为a的正方体中，两个最远顶点之间的距离为 ;如图④,在直径为 d，高为h的圆柱体中，两个最远顶点之间的距离为
[例题设计]
例1 在数轴上作出表示 的点.
提示:( 即以2、1为直角边作直角三角形；( 即以 5、2为直角边作直角三角形.
例2 如图①,长方体的底面边长分别为 1 c m 和 3cm,高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm.
提示：把长方体的侧面沿棱 AB剪开，然后展开得图②，则从点A绕4个侧面一圈到达点B的最短细线就是图②中线段AB的长.同理，当从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，AC的长度为8n，而BC的长不变，求出AB.
[当堂反馈]
1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的边数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图，一只蚂蚁沿棱长为 1 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B，则它走过的最短路程为( )
A. C. 3 D.
3. 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段 条.
4. 在数轴上作出表示 的点.
【课后巩固】
1. 如图,在△ABC中,a、b、c的大小关系是 ( )
A. aC. c2.如图,△ABC和△DCE都是边长为4 的等边三角形，点 B、C、E在同一条直线上，连接BD，则 BD的长为( )
A.
3.如图,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B 离点C的距离为5，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短路程是( )
B. 25
D. 35
4.如图，小正方形网格的边长是 1，等腰△ABC的顶点都在网格的格点上，则腰AB上的高是 (精确到 0.01).
5.一天，小明买了一张底面是边长为 260cm的正方形，厚30cm的床垫回家.到了家门口，发现门框的高为242cm,宽为 100 cm 你认为小明能拿进屋吗
6.一个长为 12cm,宽为4cm,高为 3cm的长方体箱子里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .
7.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、√ cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm.
8.如图,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE= .
9.如图,圆柱体的高为 10cm,底面圆半径为4cm,AA 、BB 为相对的两条母线.在 AA 上有一只蜘蛛Q,QA=3cm;在BB 上有一只苍蝇P, ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到点 P 吃苍蝇，最短的路径是 cm(用含π和根号的式子表示).
10.如图,由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 .
11.在数轴上作出表示 的点.
12.有一个长、宽、高分别为 2cm、1cm、3cm的长方体，如图，有一只小蚂蚁想从点 A 爬到点 C 处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由.17.1勾股定理(三)答案
[例题设计]
例1：如图所示
点评：将被开方数写成两个正整数的平方和，然后以这两个正整数的长为直角边长作直角三角形，利用圆规把符合条件的线段转移到数轴上.
例2:1(
点评：本题在立体图形表面求最短路径(折线段)的长，是把表面展开在平面上来求两点间的距离，这里蕴涵着数学中的转化(立体转化为平面)、化曲为直的思想.
[当堂反馈]
1. D 2. D 3. 8 4. 略
【课后巩固】
1. D 2. D 3. B 4. 3.58 5. 能 6. 13 cm7. 5 8. 2 11. 略
12. (1) 当蚂蚁在侧面A ABB 和侧面 B BCC 上爬行时，爬行的最短路线的长设为 d ，则
(2) 当蚂蚁在侧面 A ABB 和上底面A B C D 上爬行时,由 A 到 C 的最短路线的长设为 d ,则
(3) 同理可求得蚂蚁在侧面 A1ADD 和 D DCC 上爬行时, ;(4) 当 蚂 蚁 在 底 面 ABCD, 侧 面D DCC 上爬行时, 蚂蚁可沿 A—M—C 爬行,如图①所示
或蚂蚁沿 A—N—C 爬行,如图②所示
29
-5-4-3-2-1012
例1图
D
D
A
A
B
M
M
C
A
B
C
A
B
第12题①
A
D
B
B
第12题②

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