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10．2.2复数的乘法与除法 导学案
（原卷+答案）
课程标准
掌握复数代数表示式的乘除运算
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________．
知识点二　复数的乘法运算律
　对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝____________
结合律 (z1·z2)·z3＝____________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
知识点三　共轭复数的性质
(1)两个共轭复数的对应点关于________对称．
(2)实数的共轭复数是________，即z＝ z∈R.
利用这个性质，可以证明一个复数是实数．
(3)z·＝________＝||2∈R.
知识点四　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝________________．
知识点五　实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内一定有两个根．
Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ≥0时有两个实根．
①Δ>0时有两个不相等的实根：；
②Δ＝0时有两个相等的实根：－.
(2)Δ<0时有两个互为共轭的虚数根：.
(3)若x1，x2是其两个根，总有
基 础 自 测
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．－i　　　B．i　 　 　C．－1　　　D．1
2．i是虚数单位，复数＝________．
3．设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B． C． D．1
4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　复数代数形式的乘除运算
例1　计算下列各题．
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(4)；
(5)；
(6).
方法归纳
(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
(2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，(－±i)3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．
跟踪训练1　计算：
(1)(－i)(i)(1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．
题型2　共轭复数及其应用
例2　(1)已知复数z＝是z的共轭复数，则z·＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
(2)已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.
方法归纳
(1)已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
(2)关于共轭复数的常用结论
①z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质；
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数；
③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2　已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
题型3　虚数单位i的幂的周期性及其应用
【思考探究】　1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？
[提示]　1，i，－1，－i.
2．in(n∈N)有几种不同的结果？
[提示]　四种：1，i，－1，－i.
3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？
[提示]　0.
例3　(1)计算：＋()2 020；
(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 018的值．
方法归纳
(1)要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
②＝－i，＝i；
③＝－i.
跟踪训练3　(1)若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 019的值．
(2)＋()2 020.
题型4　复数范围内的一元二次方程(逻辑推理、数学运算)
例4　(1)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
(2)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________.
方法归纳
解决复数范围内的一元二次方程问题的注意点
(1)与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，根与系数的关系和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了．
(2)解决复系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件．
跟踪训练4　已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值．
参考答案
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
知识点二
z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3　
知识点三
(1)实轴　(2)它本身　(3)|z|2
知识点四
i
[基础自测]
1．解析：z＝＝－i.
答案：A
2．解析：＝＝＝2－i.
答案：2－i
3．解析：由z＝，得|z|＝＝＝.
答案：C
4．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)
＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
(4)＝＝＝3－2i.
(5)＝＝＝＝－1－i.
(6)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
跟踪训练1　解析：(1)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝i
＝－i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝i.
例2　【解析】　(1)方法一　因为z＝＝＝＝＝＝－，所以＝，所以z·＝.
方法二　因为z＝，所以|z|＝＝＝＝，所以z·＝.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得
即
解得或
因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是＝＝＝＝i，或＝＝＝＝i.
【答案】　(1)A　(2)见解析
跟踪训练2　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i
＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
例3　【解析】　(1)原式＝
＝i＋＝i＋i1 010＝i＋i4×252i2＝－1＋i.
(2)1＋z＋z2＋…＋z2 018＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝＝＝i.
跟踪训练3　解析：(1)∵z＝＝＝＝－i.
∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝＝＝＝＝0.
(2)原式＝＋()1 010
＝i(1＋i)＋(－i)1 010＝i＋i2＋(－1)1 010·i1 010
＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2.
例4　【解析】　(1)实系数方程虚根成对，所以1－i也是一根，所以b＝－2，c＝1＋2＝3.
(2)设x0是方程的实数根，代入方程并整理得＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得或
所以k的值为－2或2.
【答案】　(1)B　(2)±2
跟踪训练4　解析：由根与系数的关系可得
即
因为p，q均为实数，所以
解得从而有

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