资源简介

11．1.1空间几何体与斜二测画法
导学案
课程标准
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形．
2．能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　几何体
如果只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
知识点二　直观图的概念
定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
知识点三　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定的平面表示________.
(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在________、________的线段．
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度________，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
知识点四　立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度________．其他同平面图形的画法．
基 础 自 测
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(　　)
2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
3．下列说法中错误的是(　　)
A．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行
B．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
C．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　画平面图形的直观图
例1　按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
方法归纳
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
跟踪训练1　用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．
题型2　画空间几何体的直观图
例2　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
方法归纳
(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
跟踪训练2　用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
题型3　直观图的还原和计算问题
【思考探究】　
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示]　根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示]　由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示]　原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝a·h＝S.
例3　(1)如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
(2)利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图)，则原图形的形状是(　　)
(3)如图，已知△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为(　　)
A．3 B．6
C．3 D．6
方法归纳
(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.
跟踪训练3　
(1)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．
(2)已知等腰直角△ABC的直角边边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A． B．
C． D．
(3)有一块四边形的菜地，它水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠ABC＝45°，AD∥BC，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
教材反思
本节课掌握的规律方法
(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．
(2)画出空间几何体的直观图．
(3)直观图的还原与计算．
参考答案
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
形状　大小
知识点三
(1)45°　135°　水平面　(2)x′轴　y′轴　(3)不变
知识点四
不变
[基础自测]
1．解析：正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.
答案：C
2．解析：由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.
答案：B
3．解析：平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确．
答案：B
4．解析：如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
跟踪训练1　解析：画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
例2　【解析】　画法：(1)画轴：
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
跟踪训练2　解析：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
例3　【解析】　(1)①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
(2)因为直观图中正方形的对角线为，所以在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件．
(3)如图，过点C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于点M′，则C′M′就是△ABC的边AB上的高CM的直观图．在△C′M′B′中，C′M′＝＝3，所以CM＝2C′M′＝6.
【答案】　(1)见解析　(2)A　(3)D
跟踪训练3　解析：(1)如图所示，在原图形OABC中，应有OA綊BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4 (cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6 (cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
(2)如下图所示，设AB＝AC＝1，则A′C′＝AC＝，A′B′＝AB＝1，则S△A′B′C′＝A′B′·A′C′sin 45°＝×1×＝.
(3)在直观图中，因为∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，
所以BC＝1＋，
所以原来的平面图形上底长为1，下底长为1＋，高为2，
所以平面图形的面积为×(1＋1＋)×2＝2＋.
答案：(1)菱形　(2)D　(3)2＋

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