资源简介

圆梦杯题目交流：A卷：941515385，B卷：941513515
2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一考试
B卷参考答案
一、单选题
1. D 2. A 3. C 4. B
5. C 6. C 7. D 8. B
二、多选题
9. AC 10. ACD 11. BCD
三、填空题
12. 4 13. 2 2- 6 2 2； 3
14. -2
四、解答题
15.解：
z
AB⊥BB B1⑴ 1⊥ AB⊥面BBC1C AB⊥B
C1
AB BC 1
C，
又BC1⊥B1C B1C⊥面ABC1，∴AC1⊥B1C. A1
⑵ ∠B1BC= 120° ，建立如图所示的空间直角坐标系， B C y
则有B 0,0,0 ，C1 0,1, 3 ，C 0,2,0 ，A 2,0,0 ，
x A
BA= 2,0,0 ，AC1= -2,1, 3 ，C1C = 0,1,- 3 ，

m= 0,- 3,1 ，n= 3, 3,1 ，
1-3
cosθ = = 77 , sinθ= 1-cos
2θ= 42
2 7 7
16.解：
a
⑴ n+2 ≥ an+1a a ,
a
设 n+1a = qn ∴ q1≤ q2≤ ≤ qn,n+1 n n
∵ a2= 3, ∴ q = 3, a n-1 n-11 n= a1 q1 q2 qn-1≥ a1 q1 = 3
⑵ a10= a1 q1 q2 q 39= 512≥ q1 q2 q3 a1， ∴ q1 q2 q9≤ 8
∴ a4最大值为 8，当且仅当 q1 q2 q3= q4 q5 q6= q7 q8 q9时取等号。
而 q1≤ q2≤ ≤ qn， ∴ q1= q2= = q9= 2
而 n≥ 10时，qn≥ qn-1≥ ≥ q9= 2
∴ a ≥ a qn-1= 2n-1n 1
1 1- 1n
∴ 1a +
1
a + +
1 ≤ 2a 1 = 2 1-
1
n < 21 2 n 1- 22
17.解：
⑴ f ' x =-1+ axa-1
① a≤ 0, f ' x < 0，f x ↘
1
② a> 0 1，x = a-10 a ，
1 1 1 1
i a> 1，f x 在 0, a-1a ↘， a-1a ,+∞ ↗ .
1 1
ii 0< a< 1,f x 1 在 0, a-1a ↗， 1 a-1a ,+∞ ↘ ;
1 1
⑵ 要证 ln a-1a ↗ lna ↗ =
alna-a+1
，即证 a = 1-a ， a ， a a-1 2
w a = alna- a+ 1 w' a = lna， ∴w a ≥w 1 = 0
∵ a≠-1, ∴再证：a> 1时， a >-1,a< 1时， a <-1,
即 u a = lna- a+ 1≤ 0, 而u' a = 1 a - 1
显然u a 在 0,1 ↗ , 1,+∞ ↘，∴ u a ≤u 1 = 0成立！
综上，x0随 a的增大而增大.
18.解：
⑴ X3的可能取值为 0，1，2，3，
3 1 2
P X=0 = 12 =
1
8， P X=1 =C
1
3 1 1 32 2 = 8 ,
2 1 3
P X=2 1 1 =C 23 2 2 =
3
， P X=3 =C 3 18 3 2 =
1
8，
X3的分布列为
X3 0 1 2 3
P 1 3 3 18 8 8 8
E X = 0× 1 + 1× 3 + 2× 3 + 3× 1 3 8 8 8 8 =
3
2 .
E 1 i Xi = i 2 = 2 .
⑵ 可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布
且 Yi=Xi- i-Xi = 2Xi- i
i+1 i-1
①当 i为奇数时，第奇数次抽奖共进行 2 次，第偶数次抽奖共进行 2 次，、
Yi+1 B i+1 1 i-1 2
2 2
, 2 ， Z i-1 B 2 2 , 3
而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立，
∴D Yi =D 2Xi-i = 4D Xi =4 D Yi+1 +D Z i-1 2 2
= 4 i+1 1 2 2 1-
1
2 +
i-1 2 2
2 3 1- 3
= 17i+118
②当n为偶数时,
D Yi = 4D Xi = 4 D Yi +D Z i 2 2
= 4 i 1 1 i 2 2 2 2 × 1- 2 + 2 × 3 1- 3
= 1718 i
19.解：
⑴ 2x2- y2= 2, ∴ 4x2= 8 x=± 2
2x2+ y2= 6, 由 x2= 2 y=± 2
∴ AB=BC=CD=DA且AB⊥BC, ∴ABCD为正方形
⑵ 2(x-m)2+ y2+n2- 6= 2yn [2(x-m)2+ y2+n2- 6]2= 4y2n2
将 y2= 2x2- 2代入,由“公式”知
x1+x2+x2+x4=2m x1x2+x1x3+x1x4+x2x 23+x2x4+x3x4=2m -4
OA2+OB2+OC2+OD2= x2+ x2+ x2+ x2+ y21 2 3 4 1+ y2 2 22+ y3+ y4
= 3(x2+ x2+ x23+ x24) - 8
= 3[(x + x + x + x )2- 2(x x + x x + x x + x x + x x +x x ) ]A1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
- 8
= θ3 4m2-2 2m2-4 4 - 8= 16 θ1 O
B θ D3
⑶ 记OA= a， OB= b， OC= c， OD= d θ2
① 当O在内部时， C
S = 12 (absinθ1+ bcsinθ2+ cdsinθ3+ adsinθ4)
≤ 12 (ab+ bc+ cd+ ad) (θ1= θ2= θ3= θ4= 90°)
1 a2≤ +b
2 b2+c2 2 2 2 2
2 2 + 2 +
c +d + d +a2 2 (a= b= c= d)
= 1 (a2+ b22 + c
2+ d2) = 8
O
当且仅当四边形ABCD为正方形 (m=n= 0)取等 α γβ D
② 当O在外部时， A
S = 12 absinα+bcsinβ+cdsinγ-adsin α+β+γ
< 12 (ab+ bc+ cd+ ad)≤ 8. B C
综上，四边形ABCD面积最大值为 8

展开更多......

收起↑