资源简介

1.4 数列在日常经济生活中的应用4种常见考法归类
课程标准 学习目标
能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用 体会“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
知识点01三种常见的应用模型
(1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．
(3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．
【即学即练1】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算应大于使用单利计算所得的本利和．(　　)
(2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是－1.(　　)
【解析】(1)√　(2)√
【即学即练2】某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是(　　)
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C． D．
【解析】设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.∴x＝.故选C.
【即学即练3】李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)
【解析】10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
知识点02常用公式
(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n．
(2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x．
(3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．
【即学即练4】现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　)
A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364
C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366
【解析】由复利公式得S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365.故选C.
题型一：利用等差数列模型解题
1．（2023·全国·高二随堂练习）某车间全年共生产2250个零件，又已知1月生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增．平均每月比前一个月多生产多少个零件？12月生产多少个零件？
【答案】平均每月比前一个月多生产个零件，月生产个零件
【分析】设每个月生产的零件数成等差数列，为的前项和，且，，设公差为（），根据等差数列求和公式求出，再计算出即可.
【详解】设每个月生产的零件数成等差数列，为的前项和，且，，
设公差为（），则，
即，解得，
所以，
即平均每月比前一个月多生产个零件，月生产个零件.
2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（ ）
A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年
【答案】C
【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果.
【详解】哈雷彗星回到近日点的年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为，
则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与 76 的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则.
故选：C.
3．（2023下·高二单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：
(1)分期付款的第10个月应交付多少钱？
(2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？
【答案】(1)527.5元；
(2)12025元.
【分析】（1）根据给定条件，构建数列，计算前3项，得出规律并计算第10项即可.
（2）利用（1）的信息求出数列的通项，再求出项数及总和即得.
【详解】（1）设每月付款依次构成数列，，
则，，
，…，
显然，，
故第10个月应交付527.5元．
（2）由（1）可得，
则为等差数列，且，数列前20项的和为，
所以，
所以买家用电器实际花了12025元．
4．（2023·全国·高二课堂例题）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
【答案】，63.5万吨．
【分析】由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
【详解】设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，
每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），
则，，
．
当时，．
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
5．（2023·全国·高三专题练习）公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据题意写出与得递推关系式，利用错位相减求和得方法，求出的表达式，即可证明出结论.
【详解】
证明：根据题意可得，
，对反复使用上述关系式，得
①．
在①式等导两端同乘，得
②．
②－①，得
，
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，为公比的等比数列；
是以为首项，为公差的等差数列．
【方法技巧与总结】
在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型．
题型二：利用等比数列模型解题
6．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可.
【详解】设今后10年每年的销售额为，
因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加.
所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为，
所以今后10年每年的销售额构成等比数列，
公比为1.1，首项为.
所以今年起10年内这家超市的总销售额为
故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元.
故选：D
7．（2023·全国·高二随堂练习）小峰年元旦在银行存款万元，办理一年定期储蓄，年利率为，以后按约定自动转存．请计算小峰到年元旦得到的本利和．（精确到元）
【答案】元
【分析】建立等比数列模型计算求解即可.
【详解】记年后得到的本利和为，根据题意知，
即数列是一个首项为，公比为的等比数列，
∴小峰年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为：
元.
8．（2023下·高二课时练习）某厂去年的产值记为.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值约为 ．（保留一位小数，取）
【答案】
【分析】设第年的产值为，则，且，利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意可知，第一年要比上年增长，
设第年的产值为，则，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高二随堂练习）小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元，贷款期限为20年，银行住房贷款的年利率为，按复利计息，如果小王按年还款，每年还款的数额相同，那么每年需要还款多少元？小王为购买此房共要付房款多少元？（精确到0.01元）
【答案】每年需要还款元，小王为购买此房要付款元
【分析】利用复利的定义，结合等比数列的前项和公式列式即可得解.
【详解】依题意，得（万元），万元元，万元元
而元，
所以小王为购买此房要付款元，
假设小王每年需要还款元，则小王20年后一共还款
，
所以，解得，
所以小王每年需要还款元.
10．（2023·全国·高三专题练习）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25％的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量的最大值是多少？（附：）
【答案】
【分析】根据题意可得到每年年底的木材储存量与上一年的木材储存量之间的递推关系式，由此构造等比数列，求得的通项，由题意列出不等式，可解得答案.
【详解】设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为，
所以，当时，，即，
又，
∴是以为首项，公比为的等比数列，
即，
根据题意，即，
设 ，则，
则 ，即，代入上式整理得．
故每年砍伐的木材量的最大值是．
11．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入
【分析】（1）根据题意可知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列前项和公式即可求解；
（2）根据（1）中解析式列出不等式，令，化简不等式即可求解.
【详解】（1）2021年投入为1000万元，第年投入为万元，
所以年内的总投入为
，
2021年收入为500万元，第2年收入为万元，第年收入为万元
所以年内的总收入为．
（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即，化简得，
设，代入上式并整理得，
解此不等式，得或（舍去）．即，
不等式两边取常用对数可得，即
所以，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入.
12．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
参考数据：
【答案】(1)元
(2)当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息
【分析】（1）根据等比数列的知识求得正确答案.
（2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】（1）个月后，本息和为，
个月后，本息和为，
以此类推，个月后，本息和为，
所以个月能获得利息元.
（2）设按季结算的利率为，
个季度后，本息和为，
个季度后，本息和为，
以此类推，个季度后，本息和为，
所以个季度能获得利息，
由，
得，即，
所以.
所以当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
13．（2023·全国·高二课堂例题）李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1日都存人1000元，共存入3年.
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？
【答案】(1)元
(2)元
【分析】（1）根据题意，利用等比数列的求和公式，求得获得的利息，进而求得本息和；
（2）根据题意，求得3年后获得利息，进而得到办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益.
【详解】（1）解：每1000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是元，
第1个1000元存36个月，得利息元；
第2个1000元存35个月，得利息元；
…………
第36个1000元存1个月，得利息元.
因此，3年后李先生获得利息
元.
所以本息和为元.
（2）解：每1000元“零存整取”存一个月能得到的利息是元，
因此，若是“零存整取”，3年后李先生获得利息
元，
因此，李先生多收益元，
即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益元.
14．（2023上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
【答案】(1)
(2)该新产品将从2030年开始并持续赢利，理由见解析
【分析】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出；
（2）由（1）可得，根据的正负判断出的单调性，再根据的单调性即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元），
设第年的收入为，前年的累计收入为，
由题意得，，
所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，
则有（千万元），
（千万元），
所以，即（千万元）.
所以的表达式为；
（2）因为，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
又，，，
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.
所以该新产品将从2030年开始并持续赢利.
15．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：）
(2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付38元；
第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；
第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
你会选择哪种方式领取报酬？
【答案】(1)17000元
(2)答案见解析
【分析】（1）由等比数列前项和公式求解，
（2）由等差数列与等比数列的前项和公式分别求解，再由作差法比较大小．
【详解】（1），
∴在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为17000元.
（2）设到商场勤工俭学的天数为，则第一种方案领取的报酬为；
第二种方案每天报酬与天数成首项为4，公差为4的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得：
领取的报酬为；
第三种方案每天报酬与天数成首项为0.4，公比为2的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得：
领取的报酬为.，
当时，；当时，；当时，.
令，
则，
当时，，此时数列单调递减，则；
当时，，此时数列单调递增，即.
∵，则，又∵，，故当时，，即，
当时，，即.
令，其中，
则，
令，则，
当时，，此时数列单调递增，则，则，
∴当时，数列单调递增，则，即，
综上所述，当时，，应选第一种方案；
当时，，应选第三种方案.
【方法技巧与总结】
复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n.
题型三：分期付款问题
16．（2023下·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】表示出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案．
【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得，
第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款为：,，
……，
第10个月末所欠银行贷款为：
由于分10次还清所有的欠款，故，解得，
故选：D．
17．（2017上·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数．
【详解】设每年应还万元，则有，
得 ，
解得．
故选：B．
18．（2023·全国·高二随堂练习）小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元）
【答案】元
【分析】以每年年底还款后的本利欠款数构造数列，令求解即可.
【详解】设小杨每年年底还银行贷款的金额为元，第年年底还款后的本利欠款数为，
则，

，

，

，
……



∵年后，到年年底全部还清，∴，
∴，
∴（元）
∴小杨每年年底还银行贷款的金额为元.
19．（2023下·湖北·高二校联考期中）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，
【答案】(1)290000元
(2)王先生该笔贷款能够获批
【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；
（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.
【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和.
则，故.
故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.
（2）设王先生每月还货额为元，则有
，
即，
故.
因为，故王先生该笔贷款能够获批.
20．（2023下·高二课时练习）王老师在手机店买了一部手机，价值元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分个月还清，试问每月应还款多少元？,
【答案】元
【分析】法一：根据已知条件设每月还款元，列出每月还款后还剩下的欠款元的通项公式，由计算值；
法二：将元以相同的条件存储个月，计算它的本利和，设每个月还款元，分个月还清，计算到还清时其本利和，根据两者相等列出方程求值.
【详解】[解析] 法一：设每个月还款元，第1个月后欠款为元，以后第个月还款元后，
还剩下欠款元，
则，，
，
…
由题意，可知，即，
所以 因为所以，
故每月应还款元．
法二：一方面，将元以相同的条件存储个月，则它的本利和为
（元）.
另一方面，设每个月还款元，分个月还清，到还清时，其本利和为
元.
由，得.
以下解法同方法一，得，故每月应还款元．
21．（2022上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ．
【答案】
【分析】根据等比数列求和公式即得.
【详解】由题意得，
，
.
故答案为：.
22．（2023·湖南郴州·统考三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
【答案】(1)购置设备的方案较好
(2)（万元）
【分析】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案.
（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，，由错位相减法即可求出.
【详解】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值
万元
若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为
（万元）.
因此，付全款较好.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为
（万元）
比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.
（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，
记，则
作差可得：
（万元）.
23．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值。例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．现有如下问题：小明想买一套房子有如下两个方案
方案一：一次性付全款50万元；
方案二：分期付款，每年初付款6万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为4%，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，假设存款的年利率为4%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）．参考数据：
．
【答案】(1)方案一更好.
(2)27.88万元
【分析】（1）从终值来考虑，分别求出全款购置和分期付款的总价值，两者比较即可得出答案．
（2）给出小明第十年房租到期后所获得全部租金的终值的表达式，运用错位相减法即可得出答案．
【详解】（1）若分期付款，十年后终值(万元).
若全款50万，十年后终值
所以方案一更好.
（2）十年房租到期后小明所获得全部租金的终值
记
则
所以
两式相减得
所以(万元).
24．（2023上·高二课时练习）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难的学生发放，用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费．
如果一名入校新生计划采用国家助学贷款的方式年内每年贷款元．请收集有关资料，解决以下问题：
(1)毕业前还清，求还款总额．
(2)如果该生在毕业后的第年还清贷款，对于等额本金法和等额本息法两种还款形式，求在下列条件下各还款多少元．
①毕业后即开始偿还本息；
②宽限期结束后开始偿还本息；
③该生毕业后的第年希望提前将剩余的欠款还清．
【答案】(1)元
(2)①等额本金法：元；等额本息法：元；②两种还法均需还元；③等额本金法：元；等额本息法：元.
【分析】（1）根据国家助学贷款计息日期可确定只需还本金，由此可得结果；
（2）根据等额本金法和等额本息法的计息原则，结合等差等比数列通项公式，按照规定还款条件依次计算即可.
【详解】（1）国家助学贷款从毕业后当年的月日开始计算利息，
毕业前还清，没有利息，还款总额为元.
（2）国家助学贷款的年利率为，该生在毕业后的第年还清贷款；
①若采用等额本金法：每年还款本金为元，
则第年还款利息为：元；
还款总额为：元；
若采用等额本息法：设每年还款金额为元，第年还款后还欠元，
则当且时，，，
又，，
，又，
，解得：，
还款总额为：元；
②助学贷款还款宽限期为年，前年每年只还利息，利息为元；
第年，本金加利息为元；
等额本金法和等额本息法的还款总额均为：元；
③若采用等额本金法：由①知：第年还款利息为：元；
前年，共还利息元；
第年剩余的欠款利息为：元，
还款总额为：元；
若采用等额本息法：由①知：第年后还款还欠元，
第年将剩余的欠款还清需还：元，
还款总额为：元.
【方法技巧与总结】
分期付款的相关规定：(1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同；(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)；(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和．
题型四：其他模型
25．（2023·全国·高三专题练习）某地区2020年底有居民住房面积为a，现在居民住房划分为三类，其中危旧住房占，新型住房占．为加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），自2021年起居民住房只建设新型住房．从2021年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加，用表示第n年底（2021年为第一年）该地区的居民住房总面积．
(1)分别写出，，的计算公式并归纳出的计算公式（不必证明）．
(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积翻两番？（精确到年，，，）
【答案】(1)，，详见解析，
(2)年
【分析】（1）根据已知条件求得，，的计算公式，进而归纳出的计算公式.
（2）由，解不等式求得需要的时间.
【详解】（1）其他形式住房，
每年拆除危旧住房面积为，
则，
，
．
一般地，，
，
则．
（2）当时，令，
即，两边取常用对数得，
即，
故取，即至少再过年才能是居民住房总面积翻两番.
26．（2023·全国·高三专题练习）某地区森林原有木材存量为a，且每年的增长率为25％，因生产建设需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设为n年后该地区森林木材的存量．
(1)求的表达式．
(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)8年
【分析】（1）由题意写出各年的木材存量，结合等比数列前n项和公式化简，即可得.
（2）由题意，结合已知及指数不等式、对数运算性质解不等式，即可得结果.
【详解】（1）设第一年的森林的木材存量为，第n年后的森林的木材存量为，
则，，，…
．
（2）当时，有，得，即，
∴，n为正整数，故.
答：经过8年该地区开始水土流失．
27．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？
【答案】(1)；
(2)12年，万元.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式.
（2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得.
【详解】（1）依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以
，.
（2）设该车的年平均费用为S万元，
，
则有仅当，即时取等号，
所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元.
28．（2022上·高二单元测试）某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取平方米牧草，在第一次喷药前测得其中平方米为正常牧草，平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第次喷药前正常牧草的面积为平方米．
(1)求使得成立的的最大整数值；
(2)证明：在取（1）中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米．
【答案】(1)使得成立的的最大整数值为
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意先求出递推公式，从而求出，然后解不等式即可；
（2）由（1）得到递推公式，然后通过构造新数列法求出，证明即可.
【详解】（1）由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积平方米．
每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为，
①.
所以．
要使得成立，即要使得成立，解得．
所以，使得成立的的最大整数值为．
（2）证明：由题设得，代入①式可得
②.
用待定系数法，设实数满足
③.
将③-②可得，．
则数列是公比为的等比数列，通项公式为：
．
解得，又因为．
故．
又因为．
所以，
即无论取多少，正常牧草的面积不可能超过920平方米．
29．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二兵团二中校考阶段练习）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m ），其中拥有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m ）的旧住房.
(1)分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积表达式，并写出第n年年末与第n+1年年末实际住房面积的关系式.
(2)如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30％，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取）
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的运算关系直接列式作答.
（2）利用（1）的结论结合构造法求出数列通项公式，再取求解作答.
【详解】（1）第1年年末的住房面积：；
第2年年末的住房面积：；
若记第n年年末的实际住房面积为，则第n年年末与第n+1年年末的住房面积：.
（2）由（1）中的递推关系式，将等式两边同时减10b，得，
首项为，当时，数列是等比数列，公比，
则有，当时，数列是常数列，满足上式，
于是，
可得，由，解得，
所以每年应拆除的旧住房面积为.
30．（2023·全国·高三专题练习）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
【答案】(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式；
（2）由时，，结合基本不等式，即可求解；
（3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
一、单选题
1．（2023·全国·高二随堂练习）小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理由．
A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万
【答案】B
【分析】设存入本金元，再列出方程求解即可.
【详解】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元），
所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间.
故选：B
2．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里 B．214里 C．112里 D．107里
【答案】A
【分析】由题意每天行程是公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，即得到结果.
【详解】由题设，每天行程是公比为的等比数列，
所以，可得，则第一天走的路程224里.
故选：A
3．（2022上·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（ ）倍
A．10 B．16 C．32 D．63
【答案】D
【分析】由等比数列求和公式即得.
【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列，
则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为，
所以5天后的患者人数将会是原来的63倍.
故选：D.
4．（2022上·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元 B．525万元，200万元
C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元
【答案】C
【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可.
【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）．
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是（万元）．
故选：C．
5．（2023下·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
【答案】D
【分析】设10名股东所持股份为，总股份为1，则由题意可推得，由此可判断A；结合即可判断B；推出，则可得，判断C；由因为，推得，结合，推出，判断D.
【详解】不妨设10名股东所持股份为，总股份为1，
∵，，的最小值为，
若，此时，
又因为，此时，A正确；
由于，且，
故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的，B正确；
因为，所以，
∴，C正确；
因为，所以，又，
所以，D错误，
故选：D．
6．（2023下·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
7．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
【答案】B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
8．（2023下·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A．7年 B．8年 C．9年 D．10年
【答案】B
【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案.
【详解】第一年年产量为，以后各年年产量为，，
当时也符合上式，∴．令，
得．设，对称轴为，
则当时，单调递增，又因为，，
则最大生产期限应拟定为8年，
，
故选：B．
9．（2023下·江西吉安·高二统考期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（ ）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？
（参考数据：，，）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】首先根据条件找到关于果园资金的递推公式，再根据递推公式求通项公式，再根据，结合对数不等式，即可求解.
【详解】设经过年之后，该果园的资金为万元，
由题意知，，
又，，
可知，数列为首项为，公比为的等比数列，
，
即，
令，可得，，
，
.
故选：D.
10．（2023下·广西钦州·高二统考期末）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为（ ）（参考数据：，，）
A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元
【答案】C
【分析】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，根据已知条件，依次写出，，，，，结合及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，
则，
，
，
，
因为，所以，
即，
所以小华每期付款金额约为883元.
故选：C.
11．（2023上·河南洛阳·高二统考期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ）
（参考数据：）
A．1429 B．1472 C．1519 D．1571
【答案】B
【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可.
【详解】由题可知，
设，
解得.
即，
故数列是首项为，公比为1.1的等比数列.
所以，
则，
所以.
故选：B.
二、多选题
12．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○ 丨 刂 川 ㄨ 〦 〧 〨 攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）
A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B．从A点到B点的所有里程碑个数为16
C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
【答案】ABD
【分析】由题意可知A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误.
【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，
则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；
从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；
从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；
故选：ABD.
13．（2023下·广西钦州·高二校考阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为元 D．
【答案】BCD
【分析】AB根据还款特点，得到还款方式；C选项，设出第一个月还款的现值为，列出方程，求出答案；D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案.
【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确；
C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确；
D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为，
第二个月末所欠银行贷款为，
第三个月末所欠银行贷款为，
……
第12个月末所欠银行贷款为
，
由于分次还清所有的欠款，故，
解得，D正确.
故选：BCD
14．（2022下·福建福州·高二统考期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（ ）
A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
【答案】CD
【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．
【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故C正确；
所以，当时，，故A错误；
前三轮被传染人数累计为，故B错误；
当时，，当时，由，故D正确.
故选：CD
15．（2023下·河北秦皇岛·高二统考期末）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）
A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化
D．若在某一时期内，则这期间人口数不变
【答案】ABD
【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，得当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对；
对于B选项，当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对；
对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错；
对于D选项，当时，，
故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.
故选：ABD.
三、填空题
16．（2023·全国·高三对口高考）为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总费用支出投资额），则 （用n表示）；从第 年开始盈利．
【答案】 5
【分析】根据题意结合等差数列前项和公式写出的表达式即可，再令即可得解.
【详解】由题意可得第年的支出费用为万元，
则前n年的总支出费用为，
所以，
令，解得，
又，所以从第年开始盈利．
故答案为：；.
17．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，）
【答案】1472
【分析】根据条件建立等量关系，构造新数列求通项即可.
【详解】由题意可得，所以，
即，
故.
故答案为：1472.
18．（2023下·江苏镇江·高二统考期中）某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为 万元，到第 年的年初，可以一次性还清贷款.
【答案】
【分析】根据题意列出第年年初时借贷总额和总收益，即可求解.
【详解】由题知，到第年年初，
借贷总额为，
总收益为，
当时，，
当时，，
故第年年初该项目总收益为，
到第年的年初，可以一次性还清贷款.
故答案为：；
19．（2022上·高二单元测试）某工厂2022年1月的生产总值为万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2023年8月底该厂的生产总值为 万元.
【答案】
【分析】利用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由已知可得2022年1月到2023年8月底每月的生产总值是以为首项，
公比为的等比数列，
则到2023年8月底该厂的生产总值为万元.
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49）
【答案】59
【分析】利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】设每年应扣除的消费资金为x万元，设年后投入的再生产资金为，
则1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金，…
5年后投入再生产的资金
，
∵
∴，取整数为59.
故答案为：59
四、解答题
21．（2023上·高二课时练习）某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是多少？（精确到）
【答案】
【分析】设出未知数，由题目条件得到方程，求出答案
【详解】设每次革新后成本下降的百分率为，
故，解得（负值舍去），
故每次革新后成本下降的百分率是.
22．（2023下·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
【答案】(1)，
(2)该公司从第8年开始盈利，理由见解析.
【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式求解即可.
（2）根据题意得到当时，总利润，时，，再分类讨论即可得到答案.
【详解】（1）由题知：，
当，，解得，
所以.
.
（2）当时，
总利润.
因为，
为增函数，
且，，
所以当时，，当时，，
因为，
，
所以时，，即前6年未盈利.
当时，，
令，解得，所以该公司从第8年开始盈利.
23．（2023·全国·高三专题练习）某人向银行贷款10万元用于买房．
(1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元）
(2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元）
【答案】(1)12245元
(2)12330元
【分析】（1）根据不复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果；
（2）根据复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果.
【详解】（1）设每年还款元，依题意得
，
解得（元），
当年利率为，按单利计算，每年应归还12445元．
（2）设每年还款元，依题意得
，
解得（元），
当年利率为，按复利计算时，每年还款12330元．
24．（2023上·高二课时练习）（1）在自然界，死亡生物体中的有持续稳定的衰变现象．已知的半衰期为5730年，设的衰变率为q，试建立一个用确定生物体死亡时间的模型．
（2）考古学家发现一个古人猿的颅骨，测得该颅骨仅残留原含量的，那么古人猿的颅骨已存在了大约多少年？
【答案】（1）答案见解析；（2）38069年.
【分析】（1）先计算出，设年后测得生物体内含量为，则；
（2）在（1）的基础上，代入求解，得到答案.
【详解】（1）设生物体内含量最初为，则5730年后的含量为，
则，解得，
设年后测得生物体内含量为，则，
（2）由题意得，即
两边取对数得，故，
故古人猿颅骨已存在了大约38069年.
25．（2023·全国·高三专题练习）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年1月1日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：
（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）计算本利（n为年数）；
（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按计算本利（n为年数）．
问：用哪种存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利较高？
【答案】第一种存款方式到期的全部本利较高
【分析】这两种存款的方式区别在于不计复利与计复利，但由于利率不同，最后的本利也不同．复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，本利和为y，存期为n，则复利函数式为．单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为．
【详解】第（1）种方式：不计复利，则5年的零存整取本利是
（元）；
第（2）种方式：计复利，则5年的零存整取本利是
（元）．
所以第一种存款方式到期的全部本利较高．1.4 数列在日常经济生活中的应用4种常见考法归类
课程标准 学习目标
能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用 体会“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
知识点01三种常见的应用模型
(1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．
(3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．
【即学即练1】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算应大于使用单利计算所得的本利和．(　　)
(2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是－1.(　　)
【即学即练2】某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是(　　)
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C． D．
【即学即练3】李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)
知识点02常用公式
(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n．
(2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x．
(3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．
【即学即练4】现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　)
A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364
C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366
题型一：利用等差数列模型解题
1．（2023·全国·高二随堂练习）某车间全年共生产2250个零件，又已知1月生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增．平均每月比前一个月多生产多少个零件？12月生产多少个零件？
2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（ ）
A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年
3．（2023下·高二单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：
(1)分期付款的第10个月应交付多少钱？
(2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？
4．（2023·全国·高二课堂例题）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
5．（2023·全国·高三专题练习）公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
【方法技巧与总结】
在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型．
题型二：利用等比数列模型解题
6．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高二随堂练习）小峰年元旦在银行存款万元，办理一年定期储蓄，年利率为，以后按约定自动转存．请计算小峰到年元旦得到的本利和．（精确到元）
8．（2023下·高二课时练习）某厂去年的产值记为.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值约为 ．（保留一位小数，取）
9．（2023·全国·高二随堂练习）小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元，贷款期限为20年，银行住房贷款的年利率为，按复利计息，如果小王按年还款，每年还款的数额相同，那么每年需要还款多少元？小王为购买此房共要付房款多少元？（精确到0.01元）
10．（2023·全国·高三专题练习）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25％的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量的最大值是多少？（附：）
11．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设年内（2021年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
（参考数据：，，）
12．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
参考数据：
13．（2023·全国·高二课堂例题）李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1日都存人1000元，共存入3年.
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？
14．（2023上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
15．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：）
(2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付38元；
第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；
第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
你会选择哪种方式领取报酬？
【方法技巧与总结】
复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n.
题型三：分期付款问题
16．（2023下·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
17．（2017上·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
18．（2023·全国·高二随堂练习）小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元）
19．（2023下·湖北·高二校联考期中）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，
20．（2023下·高二课时练习）王老师在手机店买了一部手机，价值元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分个月还清，试问每月应还款多少元？,
21．（2022上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ．
22．（2023·湖南郴州·统考三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
23．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值。例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．现有如下问题：小明想买一套房子有如下两个方案
方案一：一次性付全款50万元；
方案二：分期付款，每年初付款6万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为4%，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，假设存款的年利率为4%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）．参考数据：
．
24．（2023上·高二课时练习）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难的学生发放，用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费．
如果一名入校新生计划采用国家助学贷款的方式年内每年贷款元．请收集有关资料，解决以下问题：
(1)毕业前还清，求还款总额．
(2)如果该生在毕业后的第年还清贷款，对于等额本金法和等额本息法两种还款形式，求在下列条件下各还款多少元．
①毕业后即开始偿还本息；
②宽限期结束后开始偿还本息；
③该生毕业后的第年希望提前将剩余的欠款还清．
【方法技巧与总结】
分期付款的相关规定：(1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同；(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)；(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和．
题型四：其他模型
25．（2023·全国·高三专题练习）某地区2020年底有居民住房面积为a，现在居民住房划分为三类，其中危旧住房占，新型住房占．为加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），自2021年起居民住房只建设新型住房．从2021年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加，用表示第n年底（2021年为第一年）该地区的居民住房总面积．
(1)分别写出，，的计算公式并归纳出的计算公式（不必证明）．
(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积翻两番？（精确到年，，，）
26．（2023·全国·高三专题练习）某地区森林原有木材存量为a，且每年的增长率为25％，因生产建设需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设为n年后该地区森林木材的存量．
(1)求的表达式．
(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）
27．（2023上·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？
28．（2022上·高二单元测试）某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取平方米牧草，在第一次喷药前测得其中平方米为正常牧草，平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第次喷药前正常牧草的面积为平方米．
(1)求使得成立的的最大整数值；
(2)证明：在取（1）中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米．
29．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二兵团二中校考阶段练习）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m ），其中拥有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m ）的旧住房.
(1)分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积表达式，并写出第n年年末与第n+1年年末实际住房面积的关系式.
(2)如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30％，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取）
30．（2023·全国·高三专题练习）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
一、单选题
1．（2023·全国·高二随堂练习）小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理由．
A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万
2．（2023·内蒙古包头·一模）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里 B．214里 C．112里 D．107里
3．（2022上·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（ ）倍
A．10 B．16 C．32 D．63
4．（2022上·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元 B．525万元，200万元
C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元
5．（2023下·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
6．（2023下·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
7．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
8．（2023下·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A．7年 B．8年 C．9年 D．10年
9．（2023下·江西吉安·高二统考期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（ ）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？
（参考数据：，，）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2023下·广西钦州·高二统考期末）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为（ ）（参考数据：，，）
A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元
11．（2023上·河南洛阳·高二统考期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ）
（参考数据：）
A．1429 B．1472 C．1519 D．1571
二、多选题
12．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○ 丨 刂 川 ㄨ 〦 〧 〨 攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）
A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B．从A点到B点的所有里程碑个数为16
C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
13．（2023下·广西钦州·高二校考阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为元 D．
14．（2022下·福建福州·高二统考期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（ ）
A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
15．（2023下·河北秦皇岛·高二统考期末）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）
A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化
D．若在某一时期内，则这期间人口数不变
三、填空题
16．（2023·全国·高三对口高考）为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总费用支出投资额），则 （用n表示）；从第 年开始盈利．
17．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，）
18．（2023下·江苏镇江·高二统考期中）某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为 万元，到第 年的年初，可以一次性还清贷款.
19．（2022上·高二单元测试）某工厂2022年1月的生产总值为万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2023年8月底该厂的生产总值为 万元.
20．（2023·全国·高三专题练习）某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49）
四、解答题
21．（2023上·高二课时练习）某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元．如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是多少？（精确到）
22．（2023下·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
23．（2023·全国·高三专题练习）某人向银行贷款10万元用于买房．
(1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元）
(2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元）
24．（2023上·高二课时练习）（1）在自然界，死亡生物体中的有持续稳定的衰变现象．已知的半衰期为5730年，设的衰变率为q，试建立一个用确定生物体死亡时间的模型．
（2）考古学家发现一个古人猿的颅骨，测得该颅骨仅残留原含量的，那么古人猿的颅骨已存在了大约多少年？
25．（2023·全国·高三专题练习）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年1月1日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：
（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）计算本利（n为年数）；
（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按计算本利（n为年数）．
问：用哪种存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利较高？

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