资源简介

3.1 等比数列7种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算) 3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算) 4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象) 5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
知识点01等比数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列
注：(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．
【即学即练1】（2024·全国·高二课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.
故选：D.
知识点02等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
注：(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为q．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求q并写出通项公式；
(3)若，，，求项数n．
【解析】（1）因为，，
所以
（2）由题知，，解得
所以
（3）由题可知，，即
所以，所以
【即学即练3】（2024·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在各项均为负的等比数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否为该数列的项？若是，为第几项？
【解析】（1）因为，所以,数列是公比为的等比数列,
又，所以,
由于各项均为负，故，.
（2）设，则，，，
所以是该数列的项,为第6项.
【即学即练4】（2024·四川·德阳五中高二开学考试（文））已知在递减等比数列中，，，若，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】因为，，所以，
解得或，因为数列为递减等比数列，
所以，所以，解得，
所以；
故选：A
知识点03　等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么称G＝±为a，b的等比中项．
注：(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
【即学即练5】（2024·全国·高二课时练习）已知等比数列中的前三项为、、，则实数的值为______．
【解析】因为为与的等比中项，所以，解得.
故答案为：.
【即学即练6】（2024·北京平谷·高二期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，解得，
故.
故选：D.
【即学即练7】（2024·全国·高二专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
【解析】设与的等比中项为，
因为，所以，所以.
故答案为：
知识点04　等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
【即学即练8】（2024·广东·高二阶段练习）已知等比数列{an}中，a3 a13＝20，a6＝4，则a10的值是（　　）
A．16 B．14 C．6 D．5
【解析】∵是等比数列，∴， ∴．
故选D．
【即学即练9】（2024·广西梧州·高二期末（理））在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解析】由题意得，解得或，故或，
故，或
故选：C.
【即学即练10】（2024·四川·射洪中学高二开学考试）已知等比数列满足，，则（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【解析】设的公比为，则，解得（负值舍去），
所以．
故选：C．
【即学即练11】（2024·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解析】令公比为，
由，故且，
所以，则，
又，则，
所以，
综上，.
故选：A
【即学即练12】（2024·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
【解析】是等比数列，则，，，
，
故选：B．
题型一：等比数列概念的理解
例1：（2024·全国·高二课时练习）将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列______（选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为______．
【解析】由题意知：新数列为，
则，
故答案为：是，
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列的前n项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)讨论a的值，说明数列是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【解析】（1）当时，．
因为，所以当时，适合，
故；
当时，不适合，故．
（2）由（1）可知，
当时，，，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列；
当时，，不适合，
所以数列不是等比数列．
【方法技巧与总结】
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
题型二：等比数列的基本运算
例2：（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，可得，
故.
故选：C.
变式1：（2024·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（ ）
A． B． C． D．3
【解析】因为等比数列的公比，
所以.
故选：B.
变式2：（2024·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，，，则通项公式________．
【解析】由题意设等比数列的公比为（），，
因为，，
所以，
由，得，
所以，或（舍去），
所以将代入，得
，即，
解得或（舍去），
所以，
所以，
故答案为：
变式3：（2024上·云南临沧·高二校考期末）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求出等比数列的基本量，得通项公式，再由，得，将“1”代换，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】等比数列中，
，，.
，，，
∵正项等比数列，，则，.
，，，
，且，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
例3：（2024·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
【解析】根据后三个数成等差数列，和为可设后三个数为，
再根据前三个数成等比数列可得这四个数分别为：，
则由前三个数和为可列方程得，，
整理得，，解得或，
故该数列分别为：或
变式1：（2024·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【解析】设四个数依次为、、、．
则，解得或．
故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．
【方法技巧与总结】
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
题型三：等比数列与函数
例4：（2024·全国·高二课时练习）下列说法正确的是______．（填序号）
①数列图像上的点都在函数的图像上；
②数列的图像与函数的图像相同；
③函数图像上存在满足数列通项公式的点；
④数列图像上可能存在不满足函数关系式的点．
【解析】根据等比数列与指数型函数的关系知，
数列图像上的点都在函数的图像上，故①正确；
数列的图像是一系列分散在函数的图像上的点，
所以函数图像上存在满足数列通项公式的点，故③正确，②④错误.
故答案为：①③.
变式1：（2024·上海·华师大二附中高二开学考试）设是公比为的等比数列，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解析】若且，则，所以，，则，
所以，“”“”；
另一方面，取，则，但，
即“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
变式2：（2024·全国·高二专题练习）等比数列中，公比为q，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】由，
所以或，故不一定有，充分性不成立；
当时，，当则，当则，必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D
变式3：（2024上·福建龙岩·高二校考阶段练习）在等比数列中， ，，且，则 .
【答案】64
【分析】根据等比数列性质结合题设求得，继而求出，再利用，即可求得答案.
【详解】等比数列中 ，，
故，结合，以及可得，
设等比数列公比为q，则，
故，
故答案为：64
变式4：（2024下·浙江·高一校联考期中）等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，若满足条件：a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，当Tn取得最大时，n＝ .
【答案】99
【分析】由已知结合等比数列的性质可得a99＞1＞a100，进而可求.
【详解】解：由a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，可得a99＞1＞a100，
所以当n＝99时，Tn最大.
故答案为：99
【点睛】此题考查等比数列的性质的简单应用，属于基础题.
【方法技巧与总结】
等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
题型四：等比数列的判定
例5：【多选】（2024·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设数列的首项为，公比为q．
对于A，，所以数列是公比为q的等比数列；
对于B，，所以数列是公比为的等比数列；
对于C，，所以当时，，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时，，,不是一个非零常数，所以数列不是等比数列．
故选：AB．
变式1：【多选】（2024·全国·高二课时练习）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设的公比为q，则，
A. （常数），故A正确；
B. 若q＝－1，则．（等比数列的各项不能为0），故B错误；
C. （常数），故C正确；
D. （常数），故D正确.
故选：ACD
变式2：（2024·四川·雅安中学高二阶段练习）数列满足.
(1)若，求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
【解析】（1）由于，
所以，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
所以.
变式3：（2024·全国·高二课时练习）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.
【解析】（1）因为，,
所以是首项为1，公比为的等比数列；
（2）由（1）得，所以，则
当时，，；②当时，，，又，所以，
所以，即.
变式4：（2024·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【解析】（1）由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）不等式对于恒成立
即对于恒成立
即对于恒成立
设，
由
当时，，即
即
当时，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值为
【方法技巧与总结】
(1)定义法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，将关系式代入后证明或(n≥2)为常数．
②涉及Sn与an的式子，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判断an，an－1或an＋1，an的关系证明．
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1，q为非零常数，n∈N＋) {an}为等比数列．
题型五：等比中项
例6：（2024上·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）与的等比中项是 ．
【答案】或
【分析】由等比中项性质列方程求等比中项即可.
【详解】令与的等比中项是，则，故.
故答案为：或
变式1：（2024·上海·华师大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
【解析】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件
故选：A
变式2：（2024·湖南·南县第一中学高二期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．
【解析】由题意得：
根据等比数列性质得
∴，
∴．
故答案为：
变式3：（2024·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
【解析】(1)由题意可知，和的等比中项为.
(2)由题意可得，解得或.
变式4：（2024·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．
【解析】由题意可得 ，整理得 ，
解得 或 ，
故答案为：2或8
变式5：（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即得.
【详解】由，是方程的两根，得，显然，
则，在等比数列中，同号，即，
又，，所以.
故答案为：
【方法技巧与总结】
应用等比中项解题策略
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．
题型六：等比数列的性质应用
例7：（2024下·高二课时练习）已知等比数列中，，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】在等比数列中，若，则.利用该性质可解决这个问题.
【详解】因为数列是等比数列，所以：，∴.
故答案为：
变式1：（2024·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
变式2：（2024·河南濮阳·高二开学考试（理））在等比数列中，，是的两根，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解析】，是的两根，，，，
等比数列的偶数项为负数，，
，，，.
故选：B.
变式3：（2024·福建·厦门外国语学校高二期末）在正项等比数列中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】在等比数列中，，
于是得，而，所以.
故选：C
变式4：（2024上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列下标和性质直接求解即可．
【详解】由为等比数列，则，
又，则，即，
所以．
故答案为：．
变式5：（2024·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则 .
【答案】
【分析】利用等比数列的性质即可得解.
【详解】因为等比数列中，，而，
所以
．
故答案为：.
【方法技巧与总结】
运用等比数列性质计算的策略
运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．
题型七：等比数列应用题
例8：（2024·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
变式1：（2024·辽宁·高二期中）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)求和的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
【解析】(1)由题意知，
，
(2)证明：由题意知．
即，所以．
由
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列．
(3)
由（2）知数列的首项为，公比为．
所以，所以．
当，得．
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以．
即至少经过年，该项目的资金达到翻一番．
【方法技巧与总结】
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
一、单选题
1．（2024上·江苏南通·高三统考期末）设为等比数列，，则（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可.
【详解】设等比数列的公比为，
，即，所以，所以，
由，
故选：B．
2．（2024上·河南·高二校联考期末）已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
【答案】B
【分析】由题意，解得，然后由即可得解.
【详解】设的公比为，则，
所以，所以.
故选：B.
3．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B．3 C．9 D．27
【答案】D
【分析】由等差中项的性质可得等比数列的公比，即可得解.
【详解】设数列的公比为，
由，，成等差数列，故，
即有，化简得，解得或（舍），
故.
故选：D.
4．（2024上·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质及对数运算性质计算即可.
【详解】在各项均为正数的等比数列中，，
因为，
所以
所以
，
故选：B.
5．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：B
6．（2023上·全国·高二期末）已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．28 B．63 C．189 D．289
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为,求出值.
【详解】设等比数列的公比为,由，
则 ，解得,
故.
故选：C
7．（2024上·山东威海·高二统考期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，是等差数列，且，，成等比数列，
所以，
，
由于，所以.
故选：A
8．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.
【详解】若数列的公比为，
由，故，则，
所以，当且仅当，即时取等号，故充分性成立；
由，故，若，则，故必要性不成立；
故选：C
9．（2024上·湖北十堰·高二统考期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】由韦达定理求得之间的关系，然后由这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，分类讨论求解即可.
【详解】由题可知，，则，这三个数可适当排序后成等比数列，
则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，
则3必不是等差中项，若是等差中项，则，又，
解得，则，故，
若是等差中项，则，又，解得，
则．故．
故选：D.
10．（2024上·海南海口·高二海南中学校考期末）已知是等比数列，且．那么的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由等比数列的下标和性质求解即可.
【详解】解：根据等比数列的性质，
得．
而．
故选：A
11．（2024上·广东·高三统考期末）已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设的公差为，，用表示，求出的关系，即可求出结果.
【详解】设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，
，化简得，因为，可得，
所以，，所以.
故选：D.
12．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：
A．17.9万亿 B．19.1万亿
C．20.3万亿 D．21.6万亿
【答案】B
【分析】确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，
其中，公比，
故2022年进出口累计总额约为（万亿），
故选：B
二、多选题
13．（2024上·江苏南京·高二统考期末）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C．是等比数列 D．是递增数列
【答案】ACD
【分析】根据题意利用构造法可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，进而可得，进而逐项分析判断.
【详解】因为，可得，且，
可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，
可得，即，
则，
且在上单调递增，可知是递增数列，故ACD正确；
因为，显然，可知不是等比数列，故B错误；
故选：ACD.
14．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
【答案】ACD
【分析】AC选项，得到公差，，结合等差数列求和公式得到对恒成立，A正确，推出得到C正确；BD选项，得到公比，举出反例得到C错误，由，且，得到D正确.
【详解】因为，，所以，且，
AC选项，若为等差数列，则公差，，
则，对恒成立，
则数列为递增数列，A正确；
由于，故，又，故，
则，数列为递增数列，C正确；
BD选项，若为等比数列，则公比，不妨设，，
则，故，
则数列不为递增数列，B错误；
由于，故，又，故数列为递增数列，D正确.
故选：ACD
15．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）.
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
【答案】ACD
【分析】求得等比数列的通项公式判断A，根据周期数列的定义判断BC，利用累加法求通项判断D．
【详解】选项A，若是等比数列，则公比，，A正确；
选项BC，若满足，则，B错，C正确；
选项D，若满足，则，
所以时，，
又适合上式，因此D正确．
故选：ACD．
16．（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时，
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，确定数列，再结合数列性质即可求解作答.
【详解】正项等比数列前n项之积，由得：，
于是得，解得，所以，因为，所以，，故A正确；
因为， ，即，因为等比数列的各项均为正数，所以，故B正确；
，因为，
当时，取得最大值，所以，故C正确；
由， 当时，即，解得或（舍），
所以时，，故D错误，
故选：ABC.
17．（2024上·山东威海·高二统考期末）记为数列的前项和，若，，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
【答案】AB
【分析】根据数列递推式，可得时，，采用两式相减的方法可推出，结合等比数列定义，可判断A；继而求出，可得，根据等差数列定义判断B；继而求出的表达式，可得，即可求出以及的通项公式，结合等比数列以及等差数列定义，即可判断C，D.
【详解】由题意知，，
故时，，则，即，
由，，得，，
故，故为等比数列，A正确；
由以上分析知，则，
故为以为首项，公差为的等差数列，B正确；
则，即，
则，
即，则，
则不为常数，故不为等比数列，C错误；
由于，
故不为常数，
故不为等差数列，D错误，
故选：AB
三、填空题
18．（2024上·广东肇庆·高二统考期末）等差数列的公差为，前n项和为，且是与的等比中项，则 ．
【答案】
【分析】根据等比中项性质，列式求得等差数列的首项，根据等差数列的前n项和公式，即可得答案.
【详解】由题意知等差数列的公差为，
由于是与的等比中项，故，
即，解得，
故，
故答案为：
19．（2024上·新疆·高二校联考期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 ．
【答案】3
【分析】由等差中项得，结合等比数列的通项公式可解.
【详解】由题意，，，成等差数列，所以，
又，
所以，解得或，负值舍去．
故答案为：3
20．（2024上·福建莆田·高二莆田第五中学校联考期末）已知等比数列满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，则，由已知条件求出的值，即可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，则，即，所以，，
因此，.
故答案为：.
21．（2024上·上海普陀·高三校考期末）公差不为零的等差数列，，如果成等比数列，求数列的通项 .
【答案】
【分析】根据给定条件，列出方程组求出数列的首项及公差，再求出通项即得.
【详解】设数列的公差为，由，得，即，
由成等比数列，得，化简整理得，
因此，所以数列的通项为.
故答案为：
22．（2024上·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考期末）在正项等比数列 中，若 ， ．
【答案】5
【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可
【详解】正项等比数列 中，，
，
解得，舍去负值，所以.
故答案为：5
四、解答题
23．（2024上·河南·高二校联考期末）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得，即可得结果；
（2）由（1）可知：等差数列的首项为，公差为，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解.
【详解】（1）设的公比为，
因为成等差数列，则，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.
所以.
24．（2024上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果；
（2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前项和即可得结果.
【详解】（1）由于等差数列的首项为1，公差
所以，
由数列为公比是2的等比数列且成等差数列，
知，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
.
25．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式直接代入计算即可；
（2）根据等比数列的性质得到，通过代入和整理，得到对于每个，存在实数使此式成立，则，结合不等式特征求解即可.
【详解】（1）因为等差数列的首项，公差为，
所以，，，
因为，所以，
化简得，因为，所以，
所以
（2）由题意得，，，
，
因为成等比数列，
所以，
则，
化简整理得，对于每个，存在实数使此式成立，
则，即，
即，
当时，符合题意；
当时，则二次函数开口向上，
则，原不等式解为，
所以相差距离为，则之间一定有一个整数，
所以只能为，即，所以.
综上所述，公差的取值范围为
26．（2024上·湖北武汉·高二武汉市常青第一中学校联考期末）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先列出方程组求出数列的首项和公比，从而得到数列的通项公式，再求出数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求解.
【详解】（1）由题意得，即，
则，
化简得：，解得（舍去）
则，解得，所以．
则，
设等差数列的公差为，则，
所以．
（2）由（1）可得：
所以，
故，
两式相减得：
，
化简可得：
27．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知递增等差数列满足，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列性质，设出等差数列基本量列方程求解即可；
（2）利用裂项相消法数列求和.
【详解】（1）设的公差为，
成等比数列，，
即，，
或，
单调递增，，
（2）由（1）可知，，则，
则，
．
28．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲 乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
(1)用表示，并求使数列是等比数列的实数．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析．
【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值；
（2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解.
【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，，
则，
即．
设，则，
令，解得．
又，
所以当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，则，．
所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．
对于任意，所以，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上．
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到数列的递推关系，根据题意有代入消去得到递推关系.3.1 等比数列7种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算) 3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算) 4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象) 5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
知识点01等比数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列
注：(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．
【即学即练1】（2024·全国·高二课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
知识点02等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
注：(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为q．
(1)若，，求通项公式；
(2)若，，求q并写出通项公式；
(3)若，，，求项数n．
【即学即练3】（2024·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在各项均为负的等比数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否为该数列的项？若是，为第几项？
【即学即练4】（2024·四川·德阳五中高二开学考试（文））已知在递减等比数列中，，，若，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
知识点03　等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么称G＝±为a，b的等比中项．
注：(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
【即学即练5】（2024·全国·高二课时练习）已知等比数列中的前三项为、、，则实数的值为______．
【即学即练6】（2024·北京平谷·高二期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【即学即练7】（2024·全国·高二专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
知识点04　等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
【即学即练8】（2024·广东·高二阶段练习）已知等比数列{an}中，a3 a13＝20，a6＝4，则a10的值是（　　）
A．16 B．14 C．6 D．5
【即学即练9】（2024·广西梧州·高二期末（理））在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【即学即练10】（2024·四川·射洪中学高二开学考试）已知等比数列满足，，则（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【即学即练11】（2024·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【即学即练12】（2024·四川·射洪中学高二开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
题型一：等比数列概念的理解
例1：（2024·全国·高二课时练习）将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列______（选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为______．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列的前n项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)讨论a的值，说明数列是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【方法技巧与总结】
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
题型二：等比数列的基本运算
例2：（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1：（2024·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（ ）
A． B． C． D．3
变式2：（2024·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，，，则通项公式________．
变式3：（2024上·云南临沧·高二校考期末）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3：（2024·全国·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【方法技巧与总结】
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
题型三：等比数列与函数
例4：（2024·全国·高二课时练习）下列说法正确的是______．（填序号）
①数列图像上的点都在函数的图像上；
②数列的图像与函数的图像相同；
③函数图像上存在满足数列通项公式的点；
④数列图像上可能存在不满足函数关系式的点．
变式1：（2024·上海·华师大二附中高二开学考试）设是公比为的等比数列，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
变式2：（2024·全国·高二专题练习）等比数列中，公比为q，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
变式3：（2024上·福建龙岩·高二校考阶段练习）在等比数列中， ，，且，则 .
变式4：（2024下·浙江·高一校联考期中）等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，若满足条件：a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，当Tn取得最大时，n＝ .
【方法技巧与总结】
等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
题型四：等比数列的判定
例5：【多选】（2024·全国·高二课时练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
变式1：【多选】（2024·全国·高二课时练习）若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
变式2：（2024·四川·雅安中学高二阶段练习）数列满足.
(1)若，求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
变式3：（2024·全国·高二课时练习）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.
变式4：（2024·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【方法技巧与总结】
(1)定义法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，将关系式代入后证明或(n≥2)为常数．
②涉及Sn与an的式子，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判断an，an－1或an＋1，an的关系证明．
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1，q为非零常数，n∈N＋) {an}为等比数列．
题型五：等比中项
例6：（2024上·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）与的等比中项是 ．
变式1：（2024·上海·华师大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
变式2：（2024·湖南·南县第一中学高二期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．
变式3：（2024·江苏·高二课时练习）若、、成等比数列，则称为和的等比中项．
(1)求和的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是，求．
变式4：（2024·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．
变式5：（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ．
【方法技巧与总结】
应用等比中项解题策略
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．
题型六：等比数列的性质应用
例7：（2024下·高二课时练习）已知等比数列中，，，则的值是 ．
变式1：（2024·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2：（2024·河南濮阳·高二开学考试（理））在等比数列中，，是的两根，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
变式3：（2024·福建·厦门外国语学校高二期末）在正项等比数列中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式4：（2024上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，则 ．
变式5：（2024·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则 .
【方法技巧与总结】
运用等比数列性质计算的策略
运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．
题型七：等比数列应用题
例8：（2024·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
变式1：（2024·辽宁·高二期中）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)求和的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
【方法技巧与总结】
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
一、单选题
1．（2024上·江苏南通·高三统考期末）设为等比数列，，则（ ）
A． B． C．3 D．9
2．（2024上·河南·高二校联考期末）已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
3．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B．3 C．9 D．27
4．（2024上·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
5．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
6．（2023上·全国·高二期末）已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．28 B．63 C．189 D．289
7．（2024上·山东威海·高二统考期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
9．（2024上·湖北十堰·高二统考期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
10．（2024上·海南海口·高二海南中学校考期末）已知是等比数列，且．那么的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
11．（2024上·广东·高三统考期末）已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：
A．17.9万亿 B．19.1万亿
C．20.3万亿 D．21.6万亿
二、多选题
13．（2024上·江苏南京·高二统考期末）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C．是等比数列 D．是递增数列
14．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
15．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）.
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
16．（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时，
17．（2024上·山东威海·高二统考期末）记为数列的前项和，若，，则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
三、填空题
18．（2024上·广东肇庆·高二统考期末）等差数列的公差为，前n项和为，且是与的等比中项，则 ．
19．（2024上·新疆·高二校联考期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 ．
20．（2024上·福建莆田·高二莆田第五中学校联考期末）已知等比数列满足，，则的值为 ．
21．（2024上·上海普陀·高三校考期末）公差不为零的等差数列，，如果成等比数列，求数列的通项 .
22．（2024上·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考期末）在正项等比数列 中，若 ， ．
四、解答题
23．（2024上·河南·高二校联考期末）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
24．（2024上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
25．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围．
26．（2024上·湖北武汉·高二武汉市常青第一中学校联考期末）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
27．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知递增等差数列满足，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
28．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲 乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
(1)用表示，并求使数列是等比数列的实数．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．

展开更多......

收起↑