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3.2 等比数列的前n项和5种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数的函数关系． 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握与前n项和公式有关的计算．(数学运算) 3．能利用等比数列的通项公式及前n项和公式解决生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
知识点01等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
注：(1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn －1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便．
【即学即练1】（2024·贵州黔东南·高二期末（理））已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．64 B．42 C．32 D．22
【解析】设数列的公比为，依题意可得，
解得，
所以.
故选：D
【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为，若公比，，则______．
【解析】设等比数列的首项为，则，则
故答案为：
【即学即练3】（2024·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（ ）
A． B．32 C．64 D．
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知，
因为S3=，S6=，
所以，
解得，
所以.
故选：B
【即学即练4】（2024上·陕西渭南·高二统考期末）设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
【答案】A
【分析】由等比数列的通项列出方程，得出，，再由求和公式计算即可.
【详解】设比数列的公比为，由，得，
解得（舍）或，则，
.
故选：A
【即学即练5】（2024下·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知等比数列的前项和为，，则（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
【答案】D
【分析】先利用等比数列前项和公式及性质求出公比，然后利用等比数列通项公式求出首项即可.
【详解】设等比数列的公比为q，
由，
即，
可得，即，
又，所以．
故选：D.
知识点02 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*) qn＝(q为公比)．
4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
（1）在其前2n项中，＝q；
（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
【即学即练6】（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
【解析】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
【即学即练7】（2024·全国·高二单元测试）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．10 B．20 C．20或10 D．20或10
【解析】由等比数列的性质可得：
，，成等比数列，
，
解得，或，
，
，
．
故选：B．
【即学即练8】（2024·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
故选：C
【即学即练9】（2024下·安徽·高二校联考阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，则 .
【答案】
【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解.
【详解】解：设，所以
因为数列是等比数列，所以成等比数列，
因为数列的公比为2，
所以，
所以.
所以.
故答案为：
【即学即练10】（2024上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则 .
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
题型一：等比数列前n项和的基本运算
例1：（2024秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【答案】C
【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.
【详解】因为，代入得：，
即，解得，
故，
故选：C.
变式1：（2024秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由等比数列通项公式基本量计算出公比，进而求出首项和.
【详解】，，即，，
则，
所以，由，则，
由，则，所以．
故选：D
变式2：（2024·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．
【解析】由题意知，，解得或，又，则.
故答案为：.
变式3：（2024·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
变式4：（2024秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】设这三个数分别为，根据条件列方程组，求出，再得到这个等比数列的公比即可.
【详解】设这三个数分别为，则.
因为这三个数的和等于14，积等于64，所以.
联立方程组，可得或，
所以当时，这个等比数列的公比为；
当时，这个等比数列的公比为，
所以等比数列的公比是2或.
故选：A.
【方法技巧与总结】
(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
题型二：等比数列前n项和的性质的应用
等比数列的片段和性质的应用
例2：（2024上·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则 ．
【答案】8
【分析】根据等比数列的性质直接得出答案即可.
【详解】在等比数列中，，，也成等比数列，
因为，，
所以，
故答案为：
变式1：（2024·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，若，，则______.
【解析】设等比数列的公比为，由题可知，
方法一：由已知条件可列出方程组
两式作商得，
∴，
∴.
方法二：由性质得，
，即，
∴，
∴.
方法三：运用性质.
由已知条件，，易得，
∴，即，
∴.
由，解得.
方法四：运用性质，，，，…成等比数列解答.
∵，，成等比数列，
而，，∴，
即，
∴.
故答案为：70.
变式2：（2024·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
变式3：（2024·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
变式4：（2024上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则 .
【答案】13
【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解.
【详解】因为是等比数列的前项和且，
所以，， 也成等比数列，
则.
因为,，
所以，解得.
所以.
故答案为：.
变式5：（2023下·高二课时练习）在正项等比数列中，，，则＝ .
【答案】40
【分析】根据是等比数列，可得公比，和,由等比数列性质，得到成等比数列，求出.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则，,
由，，
所以，，
又由是等比数列，所以成等比数列，
所以，
即，
故，
解得或，
又，所以.
故答案为：40
等比数列奇偶项和的性质
例3：（2024·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
变式1：（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
【解析】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故答案为：450
变式2：（2024·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
变式3：（2024·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
变式4：（2024上·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 .
【答案】
【分析】利用以及已知条件可求得的值.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
变式5：（2024上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B
等比数列前n项和其他性质
例4：（2024上·北京·高三校考阶段练习）设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（ ）
①数列具有单调性； ②数列有最小值为；
③前n项和Sn有最小值 ④前n项和Sn有最大值
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由，再结合分类讨论思想可得到数列的性质，从而可判断每一个问题.
【详解】由，有.
当时，有，解得，
此时数列是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前n项和Sn没有最大值，故④不正确；
当时，有，解得或.
当时，数列是摆动数列，不具有单调性，故可知①、②不正确.
当，时，，故前n项和Sn无最小值，故可知③不正确.
故选：A
变式1：（2024·浙江·镇海中学校联考模拟预测）设为等比数列，设和分别为的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则不一定是递增数列 B．若，则不一定是递增数列
C．若为递增数列，则可能存在 D．若是递增数列，则一定成立
【答案】D
【分析】对于选项A，当为：时，说明选项A正确；
对于选项B，当为：时，说明选项B正确；
对于选项C，当为：，时，说明选项C正确；
对于选项D，当为：，时，说明选项D不正确；
【详解】对于选项A，当为：时，，，，满足，但，所以不是递增数列，故选项A正确；
对于选项B，当为：时，，，，
满足，但不是递增数列，故选项B正确；
对于选项C，当为：，时，，满足为递增数列，此时，故选项C正确；
对于选项D，当为：，时，，满足是递增数列，但是，故选项D不正确.
故选：D
变式2：（2024·全国·高二）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；
，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
【方法技巧与总结】
1.处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
2.等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
．
题型三：等比数列中an与Sn的关系
例5：【多选】（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（ ）
A．
B．是数列的公比
C．数列可能为等比数列
D．数列不可能为常数列
【答案】ABD
【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列，
而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确；
因为，所以，又，
所以，故B正确；
，故A正确；
因为，也均不为0，所以不可能为一常数，
即数列不可能为等比数列，故C错误.
故选：ABD
变式1：（2024·全国·高二）已知是数列的前项和，且满足，.则（ ）
A． B． C． D．
【解析】当时，；
当时，由，可得.
两式相减得，所以，且.
则数列从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则，
所以，所以.
故选：D
变式2：（2024上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列的前项和，，则 .
【答案】
【分析】根据求出，再根据对数的运算性质计算可得.
【详解】因为数列的前项和，
所以，
所以.
故答案为：
变式3：【多选】（2024·云南·曲靖市第二中学高二期末）已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前项和为
【解析】，①
，②
两式作差得：，，
，，即，
，.
数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，.
由上述内容可知，选项A，C正确.
当时，，则选项B错误.
，，，
数列是首项为的等比数列.
则数列的前项和为，则选项D正确.
故选：ACD.
变式4：（2024·湖北武汉·高二阶段练习）已知数列的前项和为，在①＝－，②＝这两个条件中任选一个，并作答.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设＝，求数列{}的前项和.
【解析】(1)若选①，则当时，，得，
当时，由＝－，得，
所以，得，
所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列，
所以
若选②，则当时，，
当时，由＝可得，
两式相减，即，
满足上式，所以
(2)由（1）得，
所以，
所以，
所以，
所以
所以
变式5：（2024·广东·佛山市南海区九江中学高二期中）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【解析】(1)因为，①，
所以当时，，解得，
当时，②，
①－②得即，而，故，
故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
(2)由（1）得，
所以
.
【方法技巧与总结】
由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
题型四：等比数列前n项和公式的实际应用
例6：（2024·安徽滁州·高二期中）古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______．
【解析】设这女子每天分别织布的尺数构成数列，依题意，数列是公比为2的等比数列，前5项之和，即，得，
所以，
故答案为：
变式1：（2024·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
.
故选：A．
变式2：（2024上·黑龙江鸡西·高三校考期末）有一个人进行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第4天和第7天共走了 里.
【答案】27
【分析】根据题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，按照等比数列前项和公式及通项公式求解即可.
【详解】由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，
设等比数列的首项为，
则有，
所以有.
所以此人第4、7天共走了27里.
故答案为：27.
变式3：（2024上·安徽滁州·高二校考期末）朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家 数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列的知识即可求得结果.
【详解】由题意可知一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为，
则可以将每个音的频率看作等比数列，共13项，且，
因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
所以，即，所以，
所以，，
所以，
故选：A
变式4：（2024·全国·高二课时练习）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列．已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要______万元．
【解析】设每个实验室的装修费为，每个实验室的设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，其公比为，
由题设可得：，即，解得：，
，且，
由可得：，
研究所改建这十个实验室投入的总费用（万元），
故答案为：4808．
变式5：（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．3937万元 B．3837万元
C．3737万元 D．3637万元
【答案】A
【分析】根据配凑法、分组求和法求得正确答案.
【详解】设，，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
则
（万元）.
故选：A
【方法技巧与总结】
解数列应用题的具体方法步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
题型五：等差数列、等比数列的综合问题
例7：（2024·全国·高二课时练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【解析】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
变式1：（2024·重庆·高二期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设的公比为，　因为，，成等差数列，
所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）．
所以．
故选：A．
【方法技巧与总结】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解
一、单选题
1．（2024上·安徽滁州·高二统考期末）已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ）
A．256 B．255 C．128 D．127
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式，建立基本量的方程组求解，再应用前项和公式即可得.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
可得解得，，
所以数列前项的和.
故选：D.
2．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列是首项为1的等比数列，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式列出等式可求出结果.
【详解】设公比为，因为，所以，
又，所以，所以或0（舍去），
故，，
故.
故选：C.
3．（2024上·山东滨州·高三统考期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件中的规律，利用累加法求出数列的通项公式，进而求得，利用裂项相消法求出数列的前20项和即可.
【详解】根据已知条件有，
当时，，，，，，
以上各式累加得：，
又，所以，经验证符合上式，
所以；所以，
设数列的前项和为，
则，
所以.
故选：C
4．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列递推式可判断数列是等比数列，求出其前n项和，结合其单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知，则，且，
两式相减得：，因为，所以，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由于随n的增大而减小，故单调递增，所以，
综上，.
故选：C
5．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前项和为 D．数列是递增数列
【答案】D
【分析】先利用求出数列的通项公式，再依次判断各选项即可.
【详解】由题意可知，当时，，解得，
当时，，则，即，
显然，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，当时仍成立，，AB说法错误；
令，则，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，C说法错误；
令，则，
又由可得，所以数列是递增数列，D说法正确；
故选：D
6．（2024上·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知数列满足，则的值是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】B
【分析】根据所给递推关系可得，即可得解.
【详解】由，
故，
，
则，
故，
故.
故选：B.
7．（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）记为等比数列的前项和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为，令，则，可以求出的公比，即可求出答案.
【详解】因为，令，则，
所以是首项和公比都为2的等比数列，
所以.
故选：B.
8．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由可判断充分性；取可判断必要性.
【详解】在等比数列中，，则，
当时，，所以单调递增，故充分性成立；
当单调递增时，时，单调递增，但是推不出，故必要性不成立.
故选：A.
9．（2024上·黑龙江绥化·高二校考期末）若数列满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知推导出数列的首项，并得到为等比数列，根据等比数列求和公式求解.
【详解】令，根据已知可得，
令，则，所以，
所以数列是首项和公比都为的等比数列，
所以是首项为，公比为的等比数列前项之和.
所以.
故选：A
10．（2023上·广东深圳·高二校考期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.
【详解】因为等比数列满足，
又，所以，A错误；
，即,B错误；
当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确；
由题意得，，则,D错误.
故选：C.
11．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）已知数列及其前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，即可得，即可计算.
【详解】由，故，
当时，，，
故当为奇数时，有，，
故，
即，有，即，
则
，
故选：A.
12．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ）
A．2048 B．2046 C．4608 D．4606
【答案】B
【分析】根据题意分析可知：满足的和为，利用裂项相消法运算求解.
【详解】满足的n的值共有k个，对应的数列的项也有k个，
这k项的和为，
设，
且当时，可得，此时的最大值为28，
可知数列的前28项和就是数列的前7项和，
其和为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：裂项相消的规律
（1）裂项系数取决于前后两项分母的差．
（2）裂项相消后前、后保留的项数一样多．
13．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数列是公比为2的等比数列，可得，则有，累加法结合等比数列求和公式，计算.
【详解】，数列是公比为2的等比数列，则，
即，
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列的通项得到，用累加法即可计算.
二、多选题
14．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，，则的最小值为12．
C．若对任意的恒成立，则
D．设若数列的前n项和为，则
【答案】CD
【分析】A.利用等比数列的前n项和公式的特点；B.由，利用对勾函数的性质求解判断；C.由对恒成立求解判断；D.由求解判断.
【详解】由为等比数列，其前n项和，则，故A不正确；
由，，令，则当，时，，
当，时则，故B不正确；
由，可得，则，若对恒成立，
即对恒成立，
令，则
当时，；当时，，当时，，则，则，故C正确；
，则
，故D正确.
故答案为：CD
15．（2024上·陕西西安·高二统考期末）已知数列满足，，为的前项和，则（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递减数列
D．当或时，取得最大值
【答案】AC
【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项.
【详解】因为，所以，即，，
又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；
，所以，B错误；
因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；
令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.
故选：AC
16．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）设数列的前n项和为，已知，且（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】BC选项，变形得到，得到为等比数列，公比为3，求出通项公式；A选项，利用等比数列的定义进行判断；D选项，利用错位相减法求和.
【详解】BC选项，变形为，
所以为等比数列，公比为3，首项为，
故，所以，BC正确；
A选项，，故，不是常数，
故数列不是等比数列，A错误；
D选项，，
故①，
所以②，
故①-②得，
故，D正确.
故选：BCD
17．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则为等差数列
D．若为正项等比数列，则为等差数列
【答案】ACD
【分析】根据等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项AC：设等差数列的公差为，则，
，
同理可得，
所以，
所以仍为等差数列，故A正确；
因为，则，
所以为等差数列，故C正确；
对于选项B：取数列为，
当为偶数时，，则不能成等比数列，故B错误；
对于选项D：因为，设等比数列的公比为，则，
则（定值），
所以数列为等差数列，故D正确.
故选：ACD.
18．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是递增数列或递减数列
B．若是递减数列，则
C．任意为等比数列
D．若，则存在为等比数列
【答案】AD
【分析】先由题意得，再对和进行分类判断符号，进而得到单调性，从而可判断A选项；由是递减数列可得的范围，即可判断B选项；讨论使得的的值，可判断C选项；假设存在为等比数列，由求值，再验证等比数列，即可判断D选项.
【详解】对于A：由题意知，则，
所以，当或时，，则是递减数列；
当或时，，则是递增数列.
综上可知，若且，则是递增数列或递减数列，故A正确；
对于B：若是递减数列，则，
可得或，故B错误；
对于C： 因为，所以时，，
于是任意为等比数列不成立，故C错误；
对于D：当时，等比数列的前项和，
假设存在为等比数列，
则，
，
，
，
，
，
，
.
此时，，
则有.
所以，若，则存在为等比数列，故D正确.
故选：AD.
【点睛】等比数列的首项为，公比为，前项和为，则
1.当或时，等比数列为递减数列；
2.当或时，等比数列为递增数列；
3.当时，等比数列为常数列（这个常数列中各项均不等于0）；
4. 当时，等比数列为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号）；
5. 若，则存在，使得为等比数列，即.
19．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若为正整数，则的前项和为
【答案】BCD
【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反推即可；对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式即可求解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B， 若，则只能（否则，于是奇数矛盾），从而（否则，于是奇数矛盾），
进而由递推关系，故B正确；
对于C，，
所以从开始数列呈现周期为3，均能被3整除，所以，故C正确；
对于D，，则的前项和为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：B选项的关键是结合是正整数进行反推，由此即可顺利得解.
三、填空题
20．（2024上·山东济宁·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ．
【答案】121
【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，故，解得，
所以，
故.
故答案为：121
21．（2024上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则等比数列的公比为 .
【答案】/0.2
【分析】根据，，成等差数列，可得，结合等比数列的通项公式可得的公比．
【详解】由题意，，，成等差数列，可得，
设等比数列的公比为，
．
解得：
故答案为：．
22．（2024上·湖南长沙·高二长郡中学校联考期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 .
【答案】1
【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾，
所以数列为等比数列，且公比为，
又由，解得.
故答案为：1.
23．（2024上·广东潮州·高二统考期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ．
【答案】
【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解.
【详解】根据题意，等比数列中，有，
则，，
，
因为是等比数列，则有，即，解可得.
故答案为：.
24．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）设是等比数列的前n项和， 成等差数列，且则n= .
【答案】10
【分析】设，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，可得不等于1，然后利用等比数列的前项和的公式，化简，得到关于的方程，求出的值，然后求解．
【详解】若，则有，，．
但，即得，与题设矛盾，．
又依题意，
可得，整理得．
由，得方程，，
，．
，得，
故答案为：10．
25．（2024上·贵州六盘水·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ．
【答案】
【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得，结合已知条件即可进一步求解.
【详解】设等比数列公比为，则（否则，矛盾），
所以数列的通项公式为，它是以为首项、为公比的等比数列，
所以，
而，所以，
所以.
故答案为：.
26．（2024上·海南·高二校联考期末）在数列中，.若对任意的，不等式恒成立，则实数
【答案】
【分析】利用等比数列求和公式得，再对分奇偶数讨论即可.
【详解】若，可得
，
且符合上式，所以，
则，，，
即的所有偶数项都小于，所有奇数项都大于，
故对任意的恒成立.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用累加法和等比数列求和公式得，最后对分奇偶数讨论即可.
四、解答题
27．（2024上·河南周口·高二西华县第一高级中学校联考阶段练习）正项数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）利用构造法整理递推公式即可证明；
（2）求出数列通项公式，利用分组求和求出前n项和即可.
【详解】（1）整理得，即，
令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）由（1）可得，即，
根据分组求和可得
28．（2024上·山东济宁·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，并求通项公式即可.
（2）分析题意求出新数列，再用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，①
当时，，所以．
当时，，②
由①－②得，即，
所以，又，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故．
（2）因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得．
．
所以．
29．（2024·全国·高三专题练习）已知一个行列的数阵，它的每一行都是等差数列，且第一行的首项和公差均为1，每一列都是公比为2的等比数列．记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，进而可得为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意，得，该数阵第n行的公差为，
所以.
两边同除，得，即．
又，所以数列是首项和公差均为的等差数列．
所以，即．
（2）因为，
所以．
两式相减，得，
即．
所以．
30．（2024上·山东威海·高二统考期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元.
(1)求，；
(2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.
【答案】(1)，
(2)在第年甲企业兼并收购乙企业
【分析】（1） 根据前n项和公式求通项结合累加计算即可；
（2）根据数列的单调性判断即可.
【详解】（1）当时，
，
所以，
由题意知，，
所以
，
相加得，
当时也满足上式，所以.
（2）当时，，，可得，
因此当或时，不可能出现兼并收购的情况，
当时，，，所以，
由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业，
如果出现兼并收购的情况，必满足，
由，化简得，
令，
当时，，所以满足，
，
当时，，即，
所以，
当时，，即，
，
综上可知，当时，，
所以在第年甲企业兼并收购乙企业.
31．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件先求解出的公差，则的通项公式可求；将的通项公式求出，则的通项公式可知；
（2）先分析前项的组成情况，然后采用分组求和求得结果.
【详解】（1）设的公差为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项，
所以
.
32．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由与的关系式易得关于通项的递推式，根据等比特征求出通项，代入的通项可求出；
（2）因属于“差比数列”，运用错位相减法可求得，由恒成立，即恒成立，利用数列的函数思想，求函数的最大值即可.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，两式相减得，
即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故．
又，故．
（2）因为，所以①，②，
①②得:．
所以．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，
单调递减，
所以实数的取值范围为.3.2 等比数列的前n项和5种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数的函数关系． 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握与前n项和公式有关的计算．(数学运算) 3．能利用等比数列的通项公式及前n项和公式解决生活中的实际问题．(数学建模、数学运算)
知识点01等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
注：(1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn －1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便．
【即学即练1】（2024·贵州黔东南·高二期末（理））已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．64 B．42 C．32 D．22
【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为，若公比，，则______．
【即学即练3】（2024·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（ ）
A． B．32 C．64 D．
【即学即练4】（2024上·陕西渭南·高二统考期末）设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
【即学即练5】（2024下·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知等比数列的前项和为，，则（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
知识点02 等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*) qn＝(q为公比)．
4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
（1）在其前2n项中，＝q；
（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
【即学即练6】（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
【即学即练7】（2024·全国·高二单元测试）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．10 B．20 C．20或10 D．20或10
【即学即练8】（2024·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
【即学即练9】（2024下·安徽·高二校联考阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，则 .
【即学即练10】（2024上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则 .
题型一：等比数列前n项和的基本运算
例1：（2024秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
变式1：（2024秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
变式2：（2024·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．
变式3：（2024·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
变式4：（2024秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
【方法技巧与总结】
(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
题型二：等比数列前n项和的性质的应用
等比数列的片段和性质的应用
例2：（2024上·上海·高二校考期中）在等比数列中，若，，则 ．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，若，，则______.
变式2：（2024·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
变式3：（2024·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式4：（2024上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则 .
变式5：（2023下·高二课时练习）在正项等比数列中，，，则＝ .
等比数列奇偶项和的性质
例3：（2024·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
变式1：（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
变式2：（2024·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
变式3：（2024·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
变式4：（2024上·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 .
变式5：（2024上·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
等比数列前n项和其他性质
例4：（2024上·北京·高三校考阶段练习）设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（ ）
①数列具有单调性； ②数列有最小值为；
③前n项和Sn有最小值 ④前n项和Sn有最大值
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1：（2024·浙江·镇海中学校联考模拟预测）设为等比数列，设和分别为的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则不一定是递增数列 B．若，则不一定是递增数列
C．若为递增数列，则可能存在 D．若是递增数列，则一定成立
变式2：（2024·全国·高二）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
【方法技巧与总结】
1.处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
2.等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
．
题型三：等比数列中an与Sn的关系
例5：【多选】（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（ ）
A．
B．是数列的公比
C．数列可能为等比数列
D．数列不可能为常数列
变式1：（2024·全国·高二）已知是数列的前项和，且满足，.则（ ）
A． B． C． D．
变式2：（2024上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列的前项和，，则 .
变式3：【多选】（2024·云南·曲靖市第二中学高二期末）已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前项和为
变式4：（2024·湖北武汉·高二阶段练习）已知数列的前项和为，在①＝－，②＝这两个条件中任选一个，并作答.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设＝，求数列{}的前项和.
变式5：（2024·广东·佛山市南海区九江中学高二期中）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【方法技巧与总结】
由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
题型四：等比数列前n项和公式的实际应用
例6：（2024·安徽滁州·高二期中）古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______．
变式1：（2024·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
变式2：（2024上·黑龙江鸡西·高三校考期末）有一个人进行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第4天和第7天共走了 里.
变式3：（2024上·安徽滁州·高二校考期末）朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家 数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（ ）
A． B． C． D．
变式4：（2024·全国·高二课时练习）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列．已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要______万元．
变式5：（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．3937万元 B．3837万元
C．3737万元 D．3637万元
【方法技巧与总结】
解数列应用题的具体方法步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
题型五：等差数列、等比数列的综合问题
例7：（2024·全国·高二课时练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
变式1：（2024·重庆·高二期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解
一、单选题
1．（2024上·安徽滁州·高二统考期末）已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ）
A．256 B．255 C．128 D．127
2．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列是首项为1的等比数列，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山东滨州·高三统考期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前项和为 D．数列是递增数列
6．（2024上·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知数列满足，则的值是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
7．（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）记为等比数列的前项和．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024上·黑龙江绥化·高二校考期末）若数列满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·广东深圳·高二校考期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
11．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）已知数列及其前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ）
A．2048 B．2046 C．4608 D．4606
13．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，，则的最小值为12．
C．若对任意的恒成立，则
D．设若数列的前n项和为，则
15．（2024上·陕西西安·高二统考期末）已知数列满足，，为的前项和，则（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递减数列
D．当或时，取得最大值
16．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）设数列的前n项和为，已知，且（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
17．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则为等差数列
D．若为正项等比数列，则为等差数列
18．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是递增数列或递减数列
B．若是递减数列，则
C．任意为等比数列
D．若，则存在为等比数列
19．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若为正整数，则的前项和为
三、填空题
20．（2024上·山东济宁·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ．
21．（2024上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则等比数列的公比为 .
22．（2024上·湖南长沙·高二长郡中学校联考期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 .
23．（2024上·广东潮州·高二统考期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ．
24．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）设是等比数列的前n项和， 成等差数列，且则n= .
25．（2024上·贵州六盘水·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ．
26．（2024上·海南·高二校联考期末）在数列中，.若对任意的，不等式恒成立，则实数
四、解答题
27．（2024上·河南周口·高二西华县第一高级中学校联考阶段练习）正项数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
28．（2024上·山东济宁·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
29．（2024·全国·高三专题练习）已知一个行列的数阵，它的每一行都是等差数列，且第一行的首项和公差均为1，每一列都是公比为2的等比数列．记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
30．（2024上·山东威海·高二统考期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元.
(1)求，；
(2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.
31．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
32．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

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