资源简介

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STATISTICS
项目四
掌握统计综合指标
Regression
CONTENTS
认识总量指标
掌握相对指标
掌握平均指标与标志变异指标
01
02
03
● 掌握总量指标的计算方法
● 准确运用相对指标进行计算
● 能够运用平均指标解决实际问题
● 了解总量指标的含义和作用，理解总量指标的分类，了解总量指标的计算方法以及计算和应用总量指标应注意的问题
● 了解相对指标的意义和表现形式，理解计算和应用相对指标应注意的问题
● 掌握平均指标的概念和特点，了解平均指标的作用，理解权数及其作用
● 理解应用平均指标应注意的问题
知识目标
能力目标
思维导图
小董下个月结婚，他想去商店购买两种糖混合成喜糖发给同事。商店里有巧克力糖、奶糖、酥糖、椰糖、玉米糖，每千克的价格分别为 30 元、18 元、15 元、12 元和 10 元。小董拿出预算的一半全部购买了巧克力糖。如果他希望他的喜糖包平均质量为 100 克 / 包，平均成本为 2 元 / 包，那么他应该用剩下的一半预算购买另外哪种糖？
通过上述描述，你认为应该运用什么统计综合指标来计算？请查找资料，说说你的看法。
项目情境
03
掌握平均指标与标志变异指标
任务卡 2
小明：平均指标、标志变异指标，这两个指标的名字真的有意思，而且平均指标还分成算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。为什么这样分呢？还真想打破砂锅问到底。等把这几个“数”弄明白后，可以到爸爸那儿炫耀一番了。
你了解平均指标吗？说说平均指标和平均数的区别。
1. 平均指标的概念
平均指标是反映统计数据（即总体单位标志）一般水平的统计指标，又称统计平均数。其特点是将各统计数据的差异抽象化，代表了全部统计数据的一般水平，反映了现象总体的综合数量特征。
Regression
知识卡 1　平 均 指 标
一、平均指标的概念和作用
2.平均指标的作用
反映了总体分布的集中趋势。
1
利用平均指标便于进行对比分析。
2
利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。
3
平均指标是制定定额的依据。
4
利用平均指标可以做数量上的推算。
5
知识卡 1　平 均 指 标
算术平均数又称均值，是总体标志总量除以总体单位总量所得的平均数。算术平均数是计算平均指标最常用的方法和最基本的形式，适用于刻画定距数据的一般水平。其计算公式为
Regression
知识卡 1　平 均 指 标
二、算术平均数
（1）简单算术平均数。简单算术平均数适用于未分组的定距数据。设有 n个数据 x1 ， x2 ，…， xn ，则这 n 个数据的算术平均数为
Regression
知识卡 1　平 均 指 标
二、算术平均数
（2）加权算术平均数。加权算术平均数指根据经过分组所得的总体分组资料计算的算术平均数，即各组标志值或组中值乘以相应的各组单位数求出各组标志总量，并加总求得总体标志总量，然后除以各组单位数之和所得的算术平均数，其计算公式为
式中， xi 为各组标志值或组中值； fi 为各组单位数。
Regression
知识卡 1　平 均 指 标
二、算术平均数
由于算术平均数具有以上性质，在应用时具有以下特征：
可用于同类现象一般水平的比较。
对于一个数列来讲，算术平均数只有一个。
在组距数列中，特别是具有开口组的数列，计算算术平均数时，利用组中值作为该组的代表值，存在假定性，其结果只是一个接近实际平均数的近似值。
算术平均数受极端值的影响。在数列中，如果有一个数特别大或特别小时，计算出来的平均数会降低它的代表性。
01
02
03
04
知识卡 1　平 均 指 标
三、调和平均数
调和平均数是各个变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均指标的一种，与算术平均数一样，因给定资料的形式不同，也分为简单调和平均数与加权调和平均数。
1. 简单调和平均数
简单调和平均数的计算公式为
式中，H 为调和平均数；x 为各单位标志值；n 为标志值的项数。
课堂活动
若已知价格和购买量资料，求平均价格是用算术平均、还是用调和平均？
知识卡 1　平 均 指 标
【例 4-1】某厂生产甲、乙、丙 3 种不同的设备，单位成本分别为 0.125 万元 / 台、0.2 万元 / 台和 0.5 万元 / 台。
（1）若 3 种设备各生产 1 台，试计算 3 台设备的平均单位成本。
（2）假设报告期 3 种设备各发生成本费用 1 万元，平均每台设备的成本又是多少？
解：（1）应按简单算术平均数计算：
知识卡 1　平 均 指 标
（2）这时，作为计算平均指标基础的总体单位数不是 3 台，而是 15 台，即\
故要计算这 15 台的平均单位成本，就必须采取简单调和平均数计算：
知识卡 1　平 均 指 标
2. 加权调和平均数
在大多数情况下，分配数列中各标志值所对应的标志总量往往不相等，在这种情况下，要求平均数，就必须应用加权调和平均数。加权调和平均数的计算公式为
式中， mi 为各变量值； xi 为所对应的权数。
知识卡 1　平 均 指 标
【例 4-2】某年甲乙两个工厂某种产品的销售情况如表 4-1 所示。
试计算两个工厂产品的平均价格。
解：产品的平均价格是产品销售额与销售量之比，但是，在没有掌握商品销售量资料的情况下，要求计算某种产品的平均价格，就不能直接用算术平均数的方法计算，而必须先求出产品销售量，再以产品销售量除产品销售额。
知识卡 1　平 均 指 标
因此，产品的平均价格应按下式计算：
调和平均数的特点如下：
（1）调和平均数也易受极端值的影响。
（2）当组距数列有开口组时，所遇到的问题与计算算术平均数是一样的。
几何平均数是 n 个变量值乘积的 n 次方根，它常用于计算平均比率或平均速度。凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象都适合用几何平均数来计算其平均比率或平均速度。几何平均数的计算公式为
式中，G 为几何平均数； xi 为各个变量值；n 为变量个数；∏为连乘号。
知识卡 1　平 均 指 标
四、几何平均数
在变量数值比较多的情况下，运算较为复杂，可借助计算器或采用对数计算。若采用对数计算，则
几何平均数的对数等于变量值对数的算术平均数，这里也可以看出几何平均数和算术平均数之间的关系。
知识卡 1　平 均 指 标
四、几何平均数
众数是指在某一总体中出现次数最多的标志值，或者在变量数列中具有最多次数的变量值，用 M0 表示。
如果各个变量值都不相同，那就没有众数。如果项数很多，则可以编制组距次数分布数列，求众数的近似值。
Regression
知识卡 1　平 均 指 标
五、众数
知识卡 1　平 均 指 标
众数的概念通俗易懂，不必进行很复杂的计算，同时不受个别极大值或极小值的影响，所以在统计分析中可用于以下情况：
（1）通过其频数的多少来反映研究总体频数分配的集中状况。其频数在总体单位总量中所占比重越大，表明被研究的总体集中程度越大，众数对总体的代表性也越大。
（3）众数与算术平均数结合，可使分析更全面。
（2）在没有必要或不可能计算平均数和中位数时，可利用众数说明问题。
知识卡 1　平 均 指 标
众数的确定方法有两种：一种是在单项数列的情况下确定，另一种是在组距数列的情况下确定。
在单项数列中，确定众数比较简单，只需找出次数最多的标志值即可。
在组距数列中，众数不能直接看出，要通过公式计算，然后确定众数（M0）的近似值，其计算公式为
知识卡 1　平 均 指 标
【例 4-3】某企业 500 名工人按工资分组，所得组距分布如表 4-2 所示，试计算工人工资的众数。
知识卡 1　平 均 指 标
解：首先需确定众数组。表中 60~70 元这一组的人数最多，故该组为众数组。将表 4-2 中的数据代入下限公式计算：
或代入上限公式计算：
知识卡 1　平 均 指 标
六、中位数
1. 中位数的概念及特点
中位数是指将统计数据按大小顺序排列后，居于中间位置的数据。中位数的概念表明，在数列中，应有一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。中位数不受极值的影响，通过中位数，可以从一个侧面反映频数分配的集中状况。
2. 中位数的计算方法
（1）由未分组资料确定中位数。在数据未分组的情况下，计算中位数的方法是先把各数据按大小顺序排列，如果项数是奇数，则按（n+1）/2 的公式计算即得中位数的位置；如果项数是偶数，直接取中间两个数的平均数。
知识卡 1　平 均 指 标
【例 4-4】两个公司的职工文化程度资料如表 4-3 所示，试比较两个公司的职工文化程度。
知识卡 1　平 均 指 标
解：甲公司的职工总人数为 115 人，按文化程度高低排序后，中位数位置为（115+1）÷2=58，根据向上累计频数可知中位数在第三组，故甲公司的职工文化程度中位数为“本科”。同理，乙公司职工文化程度中位数也为“本科”。这说明两个公司职工的文化程度的一般水平是相同的。
知识卡 1　平 均 指 标
（2）在组距分布情况下确定中位数。在组距分布情况下中位数的计算比较复杂，要运用公式计算，计算公式为
式中， Me 为中位数；L 为中位数所在组的下限； fm 为中位数所在组的次数；
∑ f 为总次数；i 为中位数所在组的组距；U 为中位数所在组的上限； Sm 1 为中位数所在组下限以前各组的累计次数；Sm+1 为中位数所在组上限以后各组的累计次数。
知识卡 1　平 均 指 标
01
计算平均指标必须以同质总体为基础
平均指标是同质总体中各单位某一数量标志值在一定时间和空间的条件下
所达到的一般水平的综合指标。
02
进行平均分析时必须结合组平均数和次数分配
为了更深入地说明、认识事物的全面情况，必须利用分组法，将总体各单位分组，把组平均数和总体平均数结合起来进行分析，用组平均数来补充总体平均数，这样才能深入地揭示所研究对象发展变化的原因。
03
以变异指标补充说明平均指标
平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化，只能反映这些标志值的一般
水平，所以平均指标只能反映各单位某一数量标志的共性，而不能反映它们之间的差异性。
七、运用平均指标需要注意的问题
任务卡 2
王叔家里有两个孩子，王叔把两个孩子的期末考试成绩列入一个表格（见表 4-4）进行分析。
通过计算，两个孩子的平均成绩为 80 分，然而王叔说二宝偏科严重并把二宝教育了一番。你知道王叔教育二宝的原因吗？说说你的看法。
知识卡 2　标志变异指标
一、标志变异指标的含义和作用
1. 标志变异指标的含义
标志变异指标则表明总体各个数据之间的差异程度，或者说是离散程度，所以又称为标志变动度。它与平均指标的作用是相辅相成的。
2. 标志变异指标的作用
（1）平均指标是衡量平均指标代表性大小的依据。
（2）平均指标是抽样调查和相关分析中需要使用的一个重要指标。它是影
响和计量抽样误差的一个重要因素，也是计算相关关系的一个重要依据。
1. 全距
全距是指总体中单位标志值的最大值与最小值的差距，即数列中两个极端数值之差，故又称极差。全距用公式可表示为
全距（R）= 最大标志值 - 最小标志值
一般来说，全距越小说明标志变动值越集中，全距越大说明标志变动值越分散。
如果统计资料经过整理并形成组距分配数列，则全距的近似值为
全距（R）= 最高组的上限 - 最低组的下限
Regression
知识卡 2　标志变异指标
二、标志变异指标的计算方法
2. 平均差
平均差是指总体中各数据与平均数离差的绝对值的算术平均数。在统计中把每个统计数据与平均数的差（ xi - x ）称为离差，离差的平均数就是平均差。
计算平均差的公式有两种：
（1）简单平均式。对于未分组数据可采用简单平均式来计算平均差，即
式中，n 为总体单位数即离差的项数； xi 为统计数据； x 为平均数。
Regression
知识卡 2　标志变异指标
二、标志变异指标的计算方法
课堂活动
公式中的分子为什么要用绝对值符号，能取消它吗？
知识卡 2　标志变异指标
【例 4-5】表 4-5 是某车间两个生产小组的日产量资料，试通过平均差比较两组平均数的代表性。
知识卡 2　标志变异指标
解：两个小组工人的平均日产量都为 x = 70 件。
根据简单平均式计算出两组工人日产量的平均差：
计算结果表明，第一组的平均差大于第二组，因此第一组的平均数的代表性比第二组小。
知识卡 2　标志变异指标
（2）加权平均式。如果数据被整理成了频数分布，就要采用加权平均式来计算标准差。其计算公式为
式中， fi 为次数即计算平均离差的权数。
（3）是非数据标准差。是非数据是指统计数据只表现为“是”或“非”两
种情况。由于是非数据属于定性数据，不能用数字表示，因而也不能据以计算其平均数和标准差，所以有必要将其虚拟数量化
知识卡 2　标志变异指标
一般将反映“是”的数据记为 1，将反映“非”的数据记为 0，同时，用 n 表示数据总数，用 n1 表示总体中“是”的数据个数，用 n0 表示总体中“非”的数据个数，用 p 表示总体中“是”的数据所占比重，用 q 表示总体中“非”的数据所占比重，则
由于 n= n1 + n0 ，故 p + q=1。
是非数据的频数分布及平均数计算如表 4-6 所示。
知识卡 2　标志变异指标
则
可见，是非数据的平均数就是“是”的数据所占的比例。
是非数据的方差为
知识卡 2　标志变异指标
是非数据的标准差为
由此可见，是非数据的标准差就是 p 和 q 乘积的平方根。
知识卡 2　标志变异指标
例如，某批产品有 1 000 件，其中合格品 900 件，则产品合格率为 90%。将“合格”记为“是”或“1”，“不合格”记为“非”或“0”，则该批产品质量状况的平均数为
4. 标准差系数
标准差系数是指标准差与算术平均数的比值，通常用百分数表示。其计算公式为
标准差虽能正确反映标志变动度的大小，但利用它来比较平均数的代表性是有限的。只有在平均数相等的情况下，才能直接进行比较。
Regression
知识卡 2　标志变异指标
二、标志变异指标的计算方法

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